数学建模动态规划库存问题

随机库存的分配摘要卖方管理库存（VMI，Vendor-Managed Inventory）是现代物流中一个比较新的管理思想，它是指货物的提供者根据所有客户的当前库存量决定在一定时间内对他们的货物分配量。基于VMI思想，设计出当供货方的供应能力有限、客户需求随机情况下的分配方案，能够应用到实际的物流管理信息系统中，具有实际意义。针对此问题，在客户需求量服从同一指数分布的前提条件下，首先通过MATLAB软件编写程序，得到50个客户的随机需求量和初始库存量，然后从车辆配载能力出发，以客户的库存费用最小为目标函数，以供货总量和每辆车的承载能力为约束条件，建立非线性随机规划模型，通过lingo软件求解模型，得到所有客户库存费用最小时的分配方案，同时得到最小库存费用为699.5543。关键词：随即需求 库存分配 随机规划一、 问题重述考虑由一个供货方和n个客户组成的配送网络，配送活动的组织基于VMI思想。假设供货方的供应能力有限(意味着某些客户可能得不到供应)，可供应的货物总量为A；拥有车辆数为K，车辆k的载重量为bk(kK)。每个客户的需求量是随机的，但需求的分布函数Fi已知(假设Fi是严格增函数，并假设不同客户的需求是相互独立的，且服从相同分布)，周期初的初始库存为i，h+i为单位货物的保管费，h-i为单位货物的缺货损失费。令qi(wi)表示客户i在得到配送量wi时的库存费用函数。令yik表示车辆k是否服务客户i，是取1，否取0。当yik (i=1，n；k=0，K)的取值确定后，也就意味着确定了对所有客户的一个划分，如令Yk表示车辆k服务的客户集合，其应满足Yk=iyik=1。请写出库存分配问题的模型，并带入适当规模的数据进行计算，分析其计算结果，得出结论。二、 问题分析本问题讨论的是当供货方的供应能力不足、客户需求随机情况下的库存分配问题。客户的需求量是随机的，但需求的分布函数Fi已知(假设Fi是严格增函数，并假设不同客户的需求是相互独立的，且服从相同分布)，在处理问题时，可以将需求量当作服从相同参数的同一指数分布，通过MATLAB软件来产生指数分布的随机数作为客户需求量，要使得所有客户的库存费用最小，需要构造与配送量、库存费、保管费等有关的目标函数，将有限的车辆数和每辆车的承载能力以及供货方的总供应量作为约束条件，建立模型，通过lingo软件求解得到具体的配送方案。三、 模型假设1. 假设客户的随即需求量服从参数为0.5的指数分布；2. 假设每个客户的初始库存量在0.11.5吨之间随即取值；3. 假设所有客户的库存保管费和缺货损失费相同；4. 假设供货方的总供应量为所有客户随即需求量之和的0.8倍；5. 假设不考虑运货车辆的运费。四、 符号说明A：供货方的总供货量K：可调用的车辆数：车辆k的载重量 ：客户数量 ：客户需求量分布函数：第个客户周期初的初始库存：第个客户单位货物的保管费：第个客户单位货物的缺货损失费：给第i个客户的配送量：客户i在得到配送量wi时的库存费用函数：车辆k是否服务客户i，是取1，否取0：车辆k服务的客户集合：指数分布函数中的自变量五、 对问题的分析和处理5.1 问题分析本问题讨论的是当供货方的供应能力不足、客户需求随机情况下的库存分配问题。为了得到具体的分配方案，使得所有客户的库存费用最小，需要构造与配送量、库存费、保管费等有关的目标函数，将有限的车辆数和每辆车的承载能力以及供货方的总供应量作为约束条件，建立模型，通过lingo软件求解得到具体的配送方案。由于客户的需求量是随机的，假设每个客户的需求量均服从参数为0.5的指数分布，于是可以通过MATLAB软件来产生指数分布的随机数作为客户需求量。首先分析单个客户的库存费用，具体由货物的保管费和货物的缺货损失费两部分组成，分配给客户的配送量为，客户的初始库存为，客户的需求量为服从参数为0.5的指数分布，记指数分布函数中的自变量为 ，则客户需求量为，当配送量小于客户需求量与客户的初始库存为时，会产生缺货损失费，2中给出的具体表达式为：当配送量大于客户需求量与客户的初始库存为时，会产生货物保管费，具体表达式为：于是得到客户的库存费用函数为：由此得到目标函数为：同一辆车可以一次给若干个客户送货，用表示车辆k是否服务客户i，是取1，否取0，车辆k服务的客户集合为，由于每辆车一次的运货量不能超过其承载能力，于是有对于供货方来说，给所有客户配送量之和不能超过总供货量A，于是有由此得到约束条件为 5.2 模型建立由以上分析，建立以下模型：S.t.其中，。5.3 模型求解首先确定的具体表达式，假设所有客户的库存保管费和缺货损失费相同，均为10，即假设客户总量为50，客户需求量服从参数为0.5的指数分布，即编写MATLAB程序，产生服从该指数分布的50个随机数，即得到每个客户的需求量（见附录3），求其总和sum，将供货方的总供货量定为总和sum的0.8倍，即A=0.8sum。程序得到的结果为：A=17.5334吨。第个客户周期初的初始库存取为0.11.5吨之间的随机值，编写MATLAB程序得到50个客户的初始库存量（见附录4）。假设一共有8辆载货卡车，每辆车的承载能力相同，考虑到8辆卡车的总运货量与总供货量A之间的关系，现将每辆车的承载能力分两种情况讨论：第一种，每辆车的承载能力为6吨，那么8辆卡车的总运货量为48吨，大于总供货量A，此时必须考虑约束条件。通过调用lingo程序，求解出所有客户的库存费用最小为699.5543，得到具体分配方案如下：表 1 每辆车承载能力为6吨时的库存分配客户序号配送量（吨）客户序号配送量（吨）10.0000000260.425572020.0000000270.247138030.0981670280.000000040.0869770290.126607050.1637470300.839217161.0064710310.525988170.0000000320.000000080.7084040330.846526190.8626021340.2483600100.6711520350.0000000110.8190090360.6321621120.8631091370.0000000130.9014411380.0000000140.4748031390.2633160150.5541081400.2246750160.0000000410.4069940170.0714270420.3024530180.9567221430.0000000190.9687631440.0000000200.0239070450.2029731210.0000000460.0000000220.9344731470.7426500230.0000000480.9325591240.2710080490.0984370250.0314811500.0000000对应的卡车调用方案为：表 2 每辆车承载能力为6吨时的卡车分配卡车序号服务的客户序号113222,31,36330,33,48418525614,15,1976,9,1283,4,5,8,10,11,17,20,24,26,27,29,34,39,40,41,42,45,47,49第二种，每辆车的承载能力为2吨，那么8辆卡车的总运货量为16吨，小于总供货量A，此时不需要考虑约束条件。通过调用lingo程序，求解出所有客户的库存费用最小为702.3088，得到具体分配方案如下：表 3 每辆车承载能力为2吨时的库存分配客户序号配送量（吨）客户序号配送量（吨）10.0000000260.330771220.0000000270.216061830.0670907280.000000040.0559007290.095530750.1326708300.714462061.0359990310.429893370.0000000320.000000080.7071147330.807218390.7378470340.2172838100.5476910350.0000000110.9594310360.4543340120.8238013370.0000000131.0405690380.0000000140.3787083390.2322398150.5515247400.1935988160.0000000410.3689803170.0403507420.2713768180.8606272430.0000000190.7909350440.0000000200.0000000450.1706028210.0000000460.0000000220.9640010470.7413607230.0000000480.7547310240.2399318490.0673607250.0000000500.0000000对应的卡车调用方案如下：表 4每辆车承载能力为2吨时的卡车分配卡车序号服务的客户序号119,36,4826,22311,13412,33,4158,15,4769,10,30714,18,26,3183,4,5,17,24,27,29,34,39,40,42,45,49分析两种情况下的库存费用及表1和表3数据可知：当卡车的总运货量大于供货方的总供应量的情况下，得到的库存费用最小，但没有得到配送的客户是一样的，只是得到配送的客户在两种情况下的配送量不同，卡车的总运货量大于供货方的总供应量时能得到更多的配送。由此得出结论：在不考虑卡车费用的情况下，应选择大型卡车或者增加卡车数量，以此确保总供应量能够更大程度的配送出去，在满足客户要求的同时也使得库存费用达到最小。六、 模型优缺点分析6.1 模型优点（1） 该模型以所有客户库存费用最小为目标函数，以供货总量和每辆车的承载能力为约束条件，通过MATLAB编程实现每位客户的随即需求量和初始库存量，结合lingo软件对模型的求解，可以得到在供货方供货能力不足情况下的货物分配方案。（2） 在求解模型过程中，分别对所有车辆的运货总量大于供货总量和小于供货总量两种情况进行讨论，得出在供货总量一定，以及不考虑车辆运费的情况下，提高车辆的承载能力即调用大型卡车或增加卡车数量，能够使总供应量更大程度的配送出去，在满足客户要求的同时也使得库存费用达到最小。6.2 模型缺点（1） 由于指数分布函数的参数是随即设定的，导致卡车调用时出现不均衡问题。（2） 模型建立中，没有考虑卡车费用的影响，导致对卡车的利用率不高。七、 模型推广与应用该模型解决了当供货方的供应能力不足、客户需求随机情况下的库存分配问题，通过建立非线性目标规划，以供货总量和每辆车的承载能力为约束条件，得到具体的货物分配方案，能够应用到实际的物流管理信息系统中。参考文献1 姜启源 谢金星 叶俊，数学模型（第四版），北京：高等教育出版社，20112 黎青松 袁庆达，随即库存分配问题的一种求解方法，四川工业学报，2002附录1. 产生50个客户的随即需求量和初始库存量clc;clear;sum=0;mu=0.5;%指数分布的参数为2for i=1:50 f(i)=exprnd(mu);%产生50位客户的随机需求 beta(i)=random(unif,0.1,1.5);%随机产生50位客户的初始库存量 sum=sum+f(i);%50位客户需求之和endA=0.8*sum;%供货商的供货总量为50位客户需求之和的0.8倍%-将产生的随机数存入xuqiu2.txt文本文件中-%fid=fopen(xuqiu2.txt,wt);fprintf(fid,%gn,f,beta);fclose(fid);disp(可供应的货物总量为：)disp(A)2. 求解最小库存费用和具体配送方案model:sets:supplier/s1/:A,mu;vehicles/v1.v8/:b;clients/c1.c50/:w,beta,h1,h2;links(clients,vehicles):y;end setsdata:A=17.5334;b=2,2,2,2,2,2,2,2;mu=0.5;beta=file(shuju.txt);h1=10;h2=10;end datamin=sum(clients(i):h1(i)*(exp(-mu(1)*(beta(i)+w(i)/mu(1)+h2(i)*(beta(i)+w(i)-1/mu(1)+exp(-mu(1)*(beta(i)+w(i)/mu(1);for(vehicles(j):sum(links(i,j):y(i,j)*w(i)=b(j);for(clients(i):sum(links(i,j):y(i,j)=0);sum(clients(i):w(i)A(1);for(links(i,j):bin(y);for(clients(i):(1-sum(links(i,j):y(i,j)=0);end3. 50个客户的随即需求量客户序号需求量客户序号需求量123456789101112131415161718192021222324250.3998731.5815100.8324570.2668430.5094080.1046511.2392200.2143540.4538000.6575660.5518150.5277650.0615630.0362641.5245500.1532860.3035710.0562300.5959210.8161570.1630360.2702710.0402010.6259750.007670262728293031323334353637383940414243444546474849500.0877900.3768470.6563520.3427010.5892410.3716180.1190570.2013501.9185500.6006230.0096410.1110590.2574780.0289570.1584621.8275800.2182440.4940110.0934460.4937130.0681660.2013860.2124380.4498070.0342864. 50个客户的初始库存量客户序号初始库存量客户序号初始库存量123456789101112131415161718192021222324251.4489401.4621401.0339701.0451600.9683900.1269601.4647200.4237330.2708290.4609850.3131280.2703220.2319900.6586280.5793231.2125601.0607100.1767090.1646681.1082301.3289200.1989581.2205200.8611291.101950262728293031323334353637383940414243444546474849500.7065650.8849991.1486301.0055300.2942140.6074431.1924100.2869050.8837771.4151700.5012691.3545601.3376200.8688210.9074620.7251430.8296841.4119901.2887200.9304581.4069000.3894870.2008721.0337001.2353305. 卡车的载重为6吨时的lingo运行结果：Local optimal solution found. Objective value: 699.5543 Objective bound: 699.5542 Infeasibilities: 0.1387779E-16 Extended solver steps: 88 Total solver iterations: 24419 Variable Value Reduced Cost A( S1) 17.53340 0.000000 MU( S1) 0.5000000 0.000000 B( V1) 6.000000 0.000000 B( V2) 6.000000 0.000000 B( V3) 6.000000 0.000000 B( V4) 6.000000 0.000000 B( V5) 6.000000 0.000000 B( V6) 6.000000 0.000000 B( V7) 6.000000 0.000000 B( V8) 6.000000 0.000000 W( C1) 0.000000 0.000000 W( C2) 0.000000 0.000000 W( C3) 0.9816700E-01 0.4380305E-07 W( C4) 0.8697700E-01 0.4441234E-07 W( C5) 0.1637470 0.4378645E-07 W( C6) 1.006471 0.000000 W( C7) 0.000000 0.000000 W( C8) 0.7084040 0.4396517E-07 W( C9) 0.8626021 0.9520717E-07 W( C10) 0.6711520 0.4396455E-07 W( C11) 0.8190090 0.4396636E-07 W( C12) 0.8631091 0.9520723E-07 W( C13) 0.9014411 0.9504373E-07 W( C14) 0.4748031 0.9519772E-07 W( C15) 0.5541081 0.9519417E-07 W( C16) 0.000000 0.000000 W( C17) 0.7142700E-01 0.4350985E-07 W( C18) 0.9567221 0.9522073E-07 W( C19) 0.9687631 0.9522284E-07 W( C20) 0.2390700E-01 0.000000 W( C21) 0.000000 0.000000 W( C22) 0.9344731 0.9521706E-07 W( C23) 0.000000 0.000000 W( C24) 0.2710080 0.4410307E-07 W( C25) 0.3148112E-01 0.1044389E-06 W( C26) 0.4255720 0.4395632E-07 W( C27) 0.2471380 0.4368417E-07 W( C28) 0.000000 0.000000 W( C29) 0.1266070 0.4382485E-07 W( C30) 0.8392171 0.9520456E-07 W( C31) 0.5259881 0.9519513E-07 W( C32) 0.000000 0.000000 W( C33) 0.8465261 0.9520535E-07 W( C34) 0.2483600 0.4368242E-07 W( C35) 0.000000 0.000000 W( C36) 0.6321621 0.9519332E-07 W( C37) 0.000000 0.000000 W( C38) 0.000000 0.000000 W( C39) 0.2633160 0.4366060E-07 W( C40) 0.2246750 0.4371188E-07 W( C41) 0.4069940 0.4394255E-07 W( C42) 0.3024530 0.4394516E-07 W( C43) 0.000000 0.000000 W( C44) 0.000000 0.000000 W( C45) 0.2029731 0.9484485E-07 W( C46) 0.000000 0.000000 W( C47) 0.7426500 0.6555134E-07 W( C48) 0.9325591 0.1039358E-06 W( C49) 0.9843700E-01 0.4377548E-07 W( C50) 0.000000 0.000000 BETA( C1) 1.448940 0.000000 BETA( C2) 1.462140 0.000000 BETA( C3) 1.033970 0.000000 BETA( C4) 1.045160 0.000000 BETA( C5) 0.9683900 0.000000 BETA( C6) 0.1269600 0.000000 BETA( C7) 1.464720 0.000000 BETA( C8) 0.4237330 0.000000 BETA( C9) 0.2708290 0.000000 BETA( C10) 0.4609850 0.000000 BETA( C11) 0.3131280 0.000000 BETA( C12) 0.2703220 0.000000 BETA( C13) 0.2319900 0.000000 BETA( C14) 0.6586280 0.000000 BETA( C15) 0.5793230 0.000000 BETA( C16) 1.212560 0.000000 BETA( C17) 1.060710 0.000000 BETA( C18) 0.1767090 0.000000 BETA( C19) 0.1646680 0.000000 BETA( C20) 1.108230 0.000000 BETA( C21) 1.328920 0.000000 BETA( C22) 0.1989580 0.000000 BETA( C23) 1.220520 0.000000 BETA( C24) 0.8611290 0.000000 BETA( C25) 1.101950 0.000000 BETA( C26) 0.7065650 0.000000 BETA( C27) 0.8849990 0.000000 BETA( C28) 1.148630 0.000000 BETA( C29) 1.005530 0.000000 BETA( C30) 0.2942140 0.000000 BETA( C31) 0.6074430 0.000000 BETA( C32) 1.192410 0.000000 BETA( C33) 0.2869050 0.000000 BETA( C34) 0.8837770 0.000000 BETA( C35) 1.415170 0.000000 BETA( C36) 0.5012690 0.000000 BETA( C37) 1.354560 0.000000 BETA( C38) 1.337620 0.000000 BETA( C39) 0.8688210 0.000000 BETA( C40) 0.9074620 0.000000 BETA( C41) 0.7251430 0.000000 BETA( C42) 0.8296840 0.000000 BETA( C43) 1.411990 0.000000 BETA( C44) 1.288720 0.000000 BETA( C45) 0.9304580 0.000000 BETA( C46) 1.406900 0.000000 BETA( C47) 0.3894870 0.000000 BETA( C48) 0.2008720 0.000000 BETA( C49) 1.033700 0.000000 BETA( C50) 1.235330 0.000000 H1( C1) 10.00000 0.000000 H1( C2) 10.00000 0.000000 H1( C3) 10.00000 0.000000 H1( C4) 10.00000 0.000000 H1( C5) 10.00000 0.000000 H1( C6) 10.00000 0.000000 H1( C7) 10.00000 0.000000 H1( C8) 10.00000 0.000000 H1( C9) 10.00000 0.000000 H1( C10) 10.00000 0.000000 H1( C11) 10.00000 0.000000 H1( C12) 10.00000 0.000000 H1( C13) 10.00000 0.000000 H1( C14) 10.00000 0.000000 H1( C15) 10.00000 0.000000 H1( C16) 10.00000 0.00000