《数学分析华师大》PPT课件.ppt

18.4 条件极值,一、极值,二、 条件极值拉格朗日乘数法,一、极值,若函数 在点 的某个邻域内成立不等式,则称 在点 取到极大值 ，点 称为函数 的极大点；,类似地，,若函数 在点 的某个邻域内 成立不等式,则称 在点 取到极小值 ， 点 称为函数 的极小点；,极大值与极小值统称为极值；极大点与极小点统称为极值点。,由定义可见，若 在点 取得极值，则当固定 时，一元函数 必定在 取相同的极值。,同理，一元函数 在 也取相同的极值。于是 由一元函数极值的必要条件，可得,上述条件不是充分的，例如函数 在原点 （0，0）有,但此函数的图形是一马鞍面， 因而在原点没有极值。,设二元函数 在点 的偏导数存在，若 在 取得极值，则,于是得到二元函数取得极值的必要条件如下：,称满足上式的点 为 的驻点或稳定点。,此外，函数在偏导数不存在的点仍然可能有极值，例如：,这是交于 Y 轴的两个平面。虽然， 的点都是函数的极小点，但是当 时，偏导数不存在。,综上所述，函数的极值点只可能在偏导数等于零的点和偏导数 不存在的点中产生。因此要求函数的极值，首先要求出所有使 偏导数等于零的点（驻点）和偏导数不存在的点。然后考察该 点周围函数的变化情况，以进一步判定是否有极值。,如何从驻点中找出极值点，关键在于判定表达式,为此我们考察,当点 在 附近变动时是否有恒定的符号。,的符号。,设 的二阶偏导数连续，且 ，由泰勒公式有,由于 的二阶偏导数连续，所以,记,从而,于是,因为当 时， 都是无穷小量，所以当,时，存在点 的一个邻域，使得 的符号与 的符号相同，而当 ， 的符号便取决于 的符号了。,对于二次型,它的判别式为,实二次型 为正定的必要条件是行列式,实二次型 为正定的充要条件是矩阵 A 的顺序主子式都大于零。,实二次型 为负定的充要条件是矩阵 A 的奇数阶顺序主子式都小于零，偶数阶顺序主子式都大于零。,那末有以下结论：, 当 时，函数有极值；,若 ，则函数有极大值。,若 ，则函数有极大值。, 当 时，函数没有极值；, 当 时，函数有无极值还需进一步考察判定。,例 1 求 的极值。,解,分别对 和 求偏导数并令其等于零，得方程组,解方程组得 的稳定点,再求 的二阶偏导数在 的值：,因为,且,所以 有极小值：,例 2 讨论 是否存在极值。,解,分别对 和 求偏导数并令其等于零，得方程组,解方程组得 的稳定点为原点：,再求 的二阶偏导数在 的值：,因为,所以 无极值。,最大值、最小值问题,设函数 在某一有界闭区域 中连续且可导，则 必在 上达到最大值（或最小值）。若这样的点 位于 区域的内部，那末在这点函数显然有极大值（或极小值）。因此在这种情形，函数取到最大值（或最小值）的点必是极值点之一。然而函数的最大值（或最小值）也可能在区域的边界上达到。 因此，为了找出函数在区域 上的最大值 （或最小值），必需要找出所有有极值的内点，算出这些 点的函数值，再与区域边界上的函数极值相比较，这些数值 中的最大者（或最小者）就是函数在闭域 上的最大值（或最小值）,例 3 有一块薄铁皮，宽 24 厘米，把两边折起，做成一槽，求 和倾角 ，使槽的梯形截面的面积最大。,解,槽的梯形截面面积为,问题归结为求 的最大值，先求稳定点,解方程组，得符合题意的唯一一组稳定点,由于在这个问题中，最大值必达到，因此当,时，槽的梯形截面积最大，这时截面积为,条件极值：对自变量有附加条件的极值,二 条件极值拉格朗日乘数法,求解方程组,解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标.,解,则,例4 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积.,设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V .,则问题就是条件,求函数,的最大值.,令,即,由(2), (1)及(3), (2)得,由(2), (1)及(3), (2)得,于是，,代入条件，得,解得,这是唯一可能的极值点。,因为由问题本身可知，,所以，,最大值就在此点处取得。,故，最大值,最大值一定存在，,解,则,由 (1)，(2) 得,由 (1)，(3) 得,将 (5)，(6) 代入 (4)：,于是，得,这是唯一可能的极值点。,因为由问题本