《致收敛性》PPT课件-2.ppt

第十三章函数列与函数项级数,1 一致收敛性,设,是一列定义在同一数集 E 上的函数，称为定义在 E 上的函数列，简记为 fn 或 fn , n = 1, 2, . . . 设 x0 E , 将 x0 代入上述函数列，可得数列,一、函数列及其一致收敛性,若此数列收敛，则称 x0 为函数列 (1) 的收敛点，若此 数列发散，则称函数列 (1) 在 x0 发散,使函数列 (1) 收敛的全体收敛点构成的集合，称为函数 列 (1) 的收敛域 若函数列 (1) 在数集 DE 上每一点都收敛，则称函数 列 (1) 在数集 D 上收敛 记极限函数为 f , 则有,此极限的 N 的定义是：对任何 xD , 任给的 0 , 存在 N 0 , 使得当 n N 时，总有 | fn(x) f (x) | 其中 N 既与有关也与 x 有关,对于函数列，我们不仅要研究它在哪些点上收敛， 而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质：即 连续性、可微性、可积性 为此讨论函数列的一致收敛性 定义 1 设函数列 fn 与函数 f 都在数集 D 上有 定义, 若对任给的 0 , 存在 N 0 , 使得当 n N 时， 对任何 xD , 都有 | fn(x) f (x) | 则称 fn 在 D 上一致收敛于 f ，记为,若函数列 fn 在 D 上一致收敛，则必在 D 上每 一点都收敛，反之，不一定成立 例2 证明函数列,在 ( , +) 上一致收敛,证,对任给的 0 ,取 N = 1/ ,当 n N 时，,对任何 x( , +) , 都有,所以函数列,在 ( , +) 上一致收敛于 0 ,函数列 fn 在 D 上不一致收敛于 f 的定义： 若存在0 0 , 对任何 N 0 , 都存在 n0 N ， 且存在 x0D , 使得 | fn0(x0) f (x0) | 0 则称 fn 在 D 上不一致收敛于 f ,例 证明函数列 xn 在 ( 0, 1 ) 上不一致收敛于 0 ,证,取,对任何正整数 N ，,当 n N 时，,取,则有,所以 xn 在 ( 0, 1 ) 上不一致收敛于 0 ,定理 13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列 fn 在 D 上一致收敛于 f 的充要条件是： 对任给的 0 , 存在 N 0 , 使得当 n, m N 时， 对任何 xD , 都有 | fn(x) fm (x) | ,定理 13.2 函数列 fn 在 D 上一致收敛于 f 的 充要条件是：,设 un(x) 是定义在数集 E 上的一个函数列，表达式,二、函数项级数及其一致收敛性,称为定义在 E 上的函数项级数，简记为,或,称,为函数项级数 (9) 的部分和函数列,若 x0 E 时，数项级数,收敛，则称 x0 为函数项级数 (9) 的收敛点，若此级数 发散，则称函数项级数 (9) 在 x0 发散函数项级数 (9) 在数集 DE 上每一点都收敛，则称函数项级数 (9)在 D 上收敛级数 (9)全体收敛点构成的集合 D 称为级数 (9) 的收敛域级数 (9)在收敛域 D 上的和 S(x) 称为级 数 (9) 的和函数记为,即,函数项级数 (9) 的一致收敛性定义如下： 定义 2 设 Sn(x) 是函数项级数un(x) 的部分 和函数列 若 Sn(x) 在数集 D 上一致收敛于函数 S(x) ，则称函数项级数un(x)在数集 D 上一致收敛 于函数 S(x)，或称un(x)在 D 上一致收敛 由于函数项级数的一致收敛性是由其部分和函数列的 一致收敛性来定义的，所以由函数列一致收敛的定理 可推出相应的函数项级数的定理：,定理 13.3 (一致收敛的柯西准则) 函数项级数un(x) 在 D 上一致收敛的充要条件是： 对任给的 0 , 存在 N 0 , 使得当 m n N 时， 对任何 xD , 都有 | Sm(x) Sn (x) | 或,推论 函数项级数un(x) 在 D 上一致收敛的必要 条件是：函数列 un(x) 在 D 上一致收敛于零,设函数项级数un(x) 在 D 上的和函数为 S(x), 称 Rn(x) = S(x) Sn (x) 为函数项级数un(x) 的余项,定理 13.4 函数项级数un(x) 在 D 上一致收敛于 S(x) 的充要条件是,例 4 函数项级数,的收敛域为 (-1, 1)，其和函数为,级数在 -a , a ( a 1 ) 上一致收敛于,而在 (-1, 1) 上不一致收敛于,证,级数的部分和函数为,由此可得级数xn 在 -a , a 上一致收敛,但在 (-1, 1) 上,由此可知级数xn 在 (-1 , 1) 上不一致收敛,定理 13.5 （魏尔斯特拉斯判别法） 设函数项级数un(x) 定义在数集 D 上，若对一切 xD ，有 |un(x)|Mn , n = 1, 2, . . . 且正项级数 Mn 收敛， 则函数项级数un(x)在数集 D 上一致收敛 此判别法也称为 M 判别法或优级数判别法称级数 Mn 为级数un(x)的优级数,三、函数项级数的一致收敛性判别法,例 5 函数项级数,在 (- , +) 上一致收敛,定理 13.6 （阿贝尔判别法） 设 un(x) 在区间 I 上一致收敛； 对每一个 xI ， vn(x) 是单调的； vn(x) 在 I 上一致有界，即存在 M 0, 使得对 任何 xI ， |vn(x)|M , n = 1, 2, . . . 则函数项级数un(x)vn(x) 在数集 I 上一致收敛