2020版高考数学复习专题8立体几何第64练向量法求解空间角理.docx

第64练 向量法求解空间角 基础保分练1.如图所示，已知空间四边形OABC中OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为_2.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成的角的余弦值为_4已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成角的余弦值为_5(2019无锡模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为_6.如图，在三棱锥OABC中，OAOBOC1，AOB90，OC平面AOB，D为AB的中点，则OD与平面OBC所成的角为_7平面的一个法向量为n(1，0)，则y轴与平面所成的角的大小为_8(2019江苏盐城中学期中)如图所示，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，则异面直线OA与BC所成的角的余弦值为_9在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1D与CD1所成的角为_，二面角BA1CD的大小为_10.如图，在三棱锥SABC中，SASBSC，且ASBBSCCSA，M，N分别是AB和SC的中点则直线SM与平面SAC所成角的大小为_能力提升练1.如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成角的余弦值是_2已知空间向量a，b满足|a|b|1，且a，b的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足2ab，3ab，则OAB的面积为_3过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD.若PABA，则平面ABP和平面CDP所成二面角的大小是_4.如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E为BC的中点则异面直线NE与AM所成角的余弦值为_5(2019江苏南通中学月考)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于_6已知ABC是边长为1的正三角形，PA平面ABC，且PA1，若点A关于直线PC的对称点为D，则直线AD与BC所成角的余弦值是_答案精析基础保分练102.603.4.5.645解析以O为原点，以OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，D，C(0,0,1)，由题意得OBOA，OAOC，是平面BOC的法向量，设OD与平面OBC的夹角为，0，90，则sin|cos，|，45，OD与平面OBC的夹角为45.7.解析y轴的一个方向向量为m(0,1,0)，设y轴与平面所成的角为，则sin|cosm，n|.cosm，n，sin，.8.解析因为，所以|cos，|cos，84cos13586cos1202416，所以cos，.所以OA与BC的夹角的余弦值为.96060解析以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)，(1,0，1)，(0，1,1)，设异面直线A1D与CD1所成的角为，(0，90，则cos，60，异面直线A1D与CD1所成的角为60.(1,0,1)，(0,1,0)，(1，1,1)，(1,0,0)，设平面DCA1的法向量n(x1，y1，z1)，则取x11，得n(1,0，1)，设平面BCA1的法向量m(x2，y2，z2)，则取y21，得m(0,1,1)，设二面角BA1CD的大小为，为锐角，则cos，60，二面角BA1CD的大小为60.10.解析因为ASBBSCCSA，所以以S为坐标原点，SA，SB，SC为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)设SASBSC2，则M(1,1,0)，B(0,2,0)，N(0,0,1)，A(2，0,0)，C(0,0,2)，所以(1,1,0)，设平面SAC的一个法向量为(0,2,0)，则由cos，得，所以直线SM与平面SAC所成角的大小为.能力提升练1.2.345解析以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB1，易得平面APB的一个法向量为n1(0,1,0)，平面PCD的一个法向量为n2(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为，故所求二面角的大小是45.4.解析如图，以D为坐标原点，DA，DC，DM所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.依题意得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E，所以，(1,0,1)，因为|cos，|.所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为.5.解析设A1在底面ABC内的射影为O，过O作OHBC交AB于点H，以O为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)设ABC的边长为1，则A，B1，平面ABC的法向量n(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角的正弦值sin|cos，n|.6.解析如图，取AC的中点O，连结BO，PO，ABC是边长为1的正三角形，BOAC，PA平面ABC，BO平面ABC，BOPA，ACPAA，A