方程的类型及相应解法教学课件.ppt

方程的类型及相应解法,描述流体或磁流体等现象的方程通常可写成如下形式,双曲型,条件 类型 举例,抛物型,椭圆型,波动方程,热传导方程,泊松方程,模型方程,（磁）流体力学的基本方程是复杂的非线性方程组，其数学性质（如解的存在性、唯一性、提法的适定性等）都在研究中。故计算流体力学中常先对模型方程（具有相同方程类型的线性方程）分析计算方法的精度、收敛性、稳定性及误差特征，进而推广到非线性方程（组）。,双曲型,抛物型,椭圆型,单波方程,热传导方程,Laplace方程,1. 椭圆型方程,令,则泊松方程记为,边条：,其中： 是边界为 的有界区域,Dirichlet问题是适定的， Neumann问题（给定导数）是部分适定的 部分边界给定函数值、其余给定导数也是适定的 Cauchy问题（同时给定函数值及其导数是不适定的）,边值问题,定解条件,定理1：若 则 若 则,1.1 相关定理,引理：考虑边界误差及舍入误差，存在最佳的x和y (增加网格点舍入误差增大),定理2：若 任意，则,参见程一心著作计算流体动力学,以均匀网格为例，且x=y,1.2 差分格式,正五点格式,斜五点格式,对非均匀网格，则微分方程化为代数方程,多重网格法 multigrid,参考文献：Smedinghoff, M. L. 2005 Demmel, J. 请自习,2. 双曲型方程,初条：,精确解为熟知的DAlembert公式,2. 1 二阶波动方程,初值问题,注：椭圆方程中任一点的解受所有点的影响。,t,x,(x*,t*),x*-ct* x*+ct*,依赖区间,c为常数,N阶线性双曲型方程可化为基本的一阶线性双曲型偏微分方程组,2. 1 . 1 备注,如,初条：,初条：,可化为,若采用中心差分形式，则差分方程为,2. 1 . 2 差分问题的适定性,若ct x, 则差分问题的依赖区间（仅3点）位于微分问题的依赖区间内部，故3点之外的值可任意改变而不影响该点的新值，此与原微分问题冲突，因此，此差分问题的收敛必要条件是Courant-Friedrichs-Lewy条件（CFL条件），即,t,x,不稳定,稳定,若r1多余的初值使差分问题产生误差，此误差须在t，x 0时趋于0，此为稳定性的条件,初条：,其解为 即沿x的正向(c0)或负向(c0)传播的波，波形保持不变，波速为|c|,2. 2 一阶波动（或对流）方程 （Euler方程的模型方程）,初值问题,注:扰动波以有限速度传播乃双曲型方程解的重要特征。,t,x,对于有限边界（初边值问题，以c0为例），则左边界必须给定边界值（否则为欠定），右边界不能给定边界值（否则为过给定）。欠定和过给定的边条均称为数学提法不适定。,c为常数,0,L,特征线,2. 2 . 1 差分格式,1. 迎风格式（up-wind scheme）,(c0) (c0),精度： 稳定条件：,迎风指差分方向总是迎着传播方向,2. 蛙跳（leapfrog）格式,精度： 稳定条件：,附: 稳定性分析,假设存在一个扰动，取其Fourier级数中任一项,代入差分方程，解出放大因子,稳定性条件是放大因子小于等于1。,参见傅德薰、马延文著计算流体力学,作业：推导上述差分格式的稳定性条件,4. Lax格式或Friedrichs格式 （为克服上式问题）,精度： 稳定条件：,3. 时间前差，空间中心差分的显格式,精度： 稳定条件：即使 也不稳定,将 在（n, i）点附近作Taylor展开并代入,修正方程 差分方程所准确逼近的微分方程，称为该差分方程的修正方程,修正方程是差分方程的微分表达式，它与原微分方程之差即差分方程的截断误差。截断误差的偶次导数项是耗散误差项（或差分粘滞项、又称为隐式人工粘滞项），奇次导数项是色散误差项。若截断误差中最低导数项是偶次，则该差分方程以耗散误差为主，若为奇次，则以色散误差为主。上述格式以耗散为主，且为逆耗散，故不稳定。,5. Lax-Wendroff格式,精度： 稳定条件：,6. 全隐格式,精度： 稳定条件：恒稳,它也等价与半步长下的Lax格式半步长下蛙跳格式 对于非齐次方程，此格式精度为 注意：对欧拉方程，采用此格式前先化为守恒形。,7. Crank-Nicholson格式,精度： 稳定条件：恒稳,相当于中间时刻的中心差分,8. 跳点（hopscotch）格式,精度： 稳定条件：,x,tn,tn+1,显格式实现了 隐格式的效果,3. 抛物型方程,初条：,精确解为,（以热传导或磁扩散方程为例）,初值问题,不论初始分布如何集中，它总在瞬间影响于无穷远，虽该影响随距离按指数衰减，然而它是以无限速度传播。此乃抛物型方程解的特征。,3.1 差分格式,1. 显格式,精度： 稳定条件：,2. 蛙跳（Dufort-Frankel）格式,精度： 稳定条件：恒稳,而 恒不稳,说明,由于蛙跳格式涉及三个时间步的值，而已知条件仅1个时间步的值，故第一步可随便采用其它格式由初始值算出第一时间步的值，然后方可采用蛙跳格式。,3. Crank-Nicholson格式,精度： 稳定条件：恒稳,4. 全隐格式,精度： 稳定条件：恒稳,相当于中间时刻的中心差分,5. 跳点（hopscotch）格式,精度： 稳定条件：恒稳,6. Friedric