《代表名额的分配》PPT课件.ppt

公平的席位分配,1. 问题：美国众议院如何根据各州人口的比例分配众议院议员的名额。 m: 州数, pi: 第 i 州人口数, p = pi: 总人口数 N: 议员数, ni: 第 i 州议员数, N=ni. qi=(pi/p)N: 第 i 州应占有的议员的份额. 根据按人口比例分配的原则给出公平的议员席位分配的方案n1, , nm，即ni尽可能地接近其应得的份额qi.,美国宪法自1788年生效开始之日起，其第1条第2款就明确指出：“众议院议员名额 将根据各州的人口比例分配。”200年以来，关于“公正合理”地实现宪法中所规定的分配原则，美国的政治家和科学家们展开了激烈的争论，虽然设计了多种方案，但没有一种得到普遍认可 。,一. 问题与背景,2. 背景 1787年美国颁布宪法,规定“众议院议员的名额将根据各州的人口比例分配”, 并于1788年生效. 1791年 Alexander Hamilton（财政部长） 提出了议员席位分配的方法, 并于1792年通过。 1792年 Thomas Jefferson 提出了议员席位分配的除子法。 1851年开始用Hamilton法分配议员的席位。,1881年当议会的总席位由299席变为300席时，各州的人口数都没有变化，重新调整议员席位的结果却使Alabama亚拉巴州的议员席位却从 8人减少为 7人。这就是著名的 Alabama 悖论 后来，1890年人口普查之后，在各州人口数没有改变的情况下，当总席位由359席增加到360席时，Arkensas 州的议员的席位又丢掉了一个。Maine 州也出现了类似的情况。 1910年，Hamilton 的分配方法被停止使用了。,1920年，Harvard 大学的数学家 Edward Huntington，Joseph Hill 开始研究这个问题。 1941年，基于代表性不公平度的数学模型，他们提出了EP（Equal Proportions）法，用以分配议员的席位。并且由Roosevelt 总统将它写入了法律，至今仍然延用。 1970年Michael Balinsky & Peyton Young 进一步研究，提出公理准则体系。 1980 年提出了著名的 Balinsky & Young 不可能定理。,二：Hamilton (比例加惯例) 方法,已知: m方人数分别为 p1, p2, pm, 记总人数为 p= p1+p2+pm, 待分配的总席位为N。,记 qi=Npi /p, 称为第i方的份额(i =1,2, m),各方先分配qi的整数部分qi, 总余额为,记ri =qi-qi, 则第i方的分配名额ni为,要求,已知份额向量q=(q1, , qm), 找一个整数分配向量n=(n1, , nm), N= n1+n2+nm，使n与q最接近。,问题,Hamilton 法（比例加惯例）及有关悖论,例子,三个系学生共200名(甲100，乙60，丙40)，代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10, 6, 4席.,因学生转系, 三系人数为103, 63, 34, 如何分配20席?,若代表会议增加1席，如何分配21席?,比例加惯例,对丙系公平吗,Hamilton方法的不公平性,1. Alabama 悖论： p1, p2, , pm 不变, N 的增加会使某个 ni 减少 （上例）。,2. 人口悖论： N不变, pi 比pj 的增长率大, 反使 ni 减少 nj 增加 (例1) 。,3. 新州悖论： p1, p2, pm不变, m增加1, N 的增加会使某个ni增加而某个ni 减少(例2)。,例1,例2,衡量公平分配的数量指标,当p1/n1= p2/n2 时，分配公平,p1/n1 p2/n2 对A的绝对不公平度,p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10,p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100,p1/n1 p2/n2=5,但后者对A的不公平程度已大大降低!,虽二者的绝对不公平度相同,若 p1/n1 p2/n2 ，对A不公平,p1/n1 p2/n2=5,不公平度和Huntington（Q值）方法,公平分配方案应使两者之间的不公平度rA (或 rB) 尽量小, 对A的相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似若p2/n2 p1/n1，定义rB(n1,n2),若 p1/n1 p2/n2 ，定义,席位公平分配的Huntington法则：若一州转让一个席位给另一州导致两州间相对不公平度的降低，则进行这种转让。连续进行这种席位的转让，直到任意两州间的转让不可能再降低它们之间的不公平度,则可得到最优的席位分配方案 。,注：在每一个分配方案后，对于A，B两者之间满足且只满足下面三种情况之一： 两者分配绝对公平，此时两者之间相对不公平度为0； 对A不公平，此时两者之间相对不公平度为rA (n1,n2)； 对B不公平，此时两者之间相对不公平度为rB (n1,n2)；,Huntington-Hill 定理：在席位分配方案（ni, nj）的基础上,再增加一个席位, 方案(ni+1, nj)优于(ni, nj+1),当且仅当 Qi Qj, 其中,分配策略：将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即初始分配给A，B各一个名额，再依次增加分配1个名额，直至名额分配完为止。,给出分配的量化指标：Q值。,1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,即使A得到该席位仍对A不公平，给A,应讨论以下几种情况,初始 p1/n1 p2/n2,2）若p1/n1p2/(n2+1) ，,不可能!,此两个不等式左边乘左边，右边乘右边。,解释,不妨设此时A, B已分别有n1, n2 席, 若增加1席, 问应分给A, 还是B? 此时 p1/n1 p2/n2 ，即对A不公平.,3）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,4）若 p1/n1 p2/(n2+1)，,若A得到此席位，则对B不公平，两者之间的相对不公平度为rB(n1+1, n2),若B得到此席位，对A更加不公平，两者之间的相对不公平度为rA(n1, n2+1),若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 则这席应给A,若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 则这席应给 B,应比较两种情况的相对不公平度rB(n1+1, n2)和 rA(n1, n2+1) .,当 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 该席给A（另一种情况同理）,该席给A。,推广到m方分配席位,计算,该席给Q值最大的一方,Huntington(Q 值)方法,称Q为HuntingtonHill 数,由于Q值只用到了本州自身的参数，所以可推广到多州的情况。,推导,实际上此方法我们做了如下假设：,1：每一个州的每一个人都有选举权；,2：每一个州至少应该分配一个名额，如果一个州不应该分配一个名额的话，则剔除在分配之外；,3：在分配过程中，分配是稳定的，不受如何其它因素影响。,HuntingtonHill 算法 1. 令 ni(0 )= 1, 计算 Qi(0), i =1,2,s . 2. 对于 k = 1,2, 取 Qh(k) = max Qi(k-1) 3. 令 nh(k) = nh(k-1)+1, ni(k) = ni(k-1), i h 4. ni(k) =N 计算结束, 否则转 2 继续 .,n A B C 1 5304.5(4) 1984.5(5) 578.0(9) 2 1768.2(6) 661.5(8) 192.7(15) 3 884.1(7) 330.8(12) 96.3(21) 4 530.5(10) 198.5(14) 5 353.6(11) 132.3(18) 6 252.6(13) 94.5 7 189.4(16) 8 147.3(17) 9 117.9(19) 10 96.4(20) 11 80.4 11个 6个 4个,三系用Q值方法重新分配 21个席位,甲系11席, 乙系6席, 丙系4席,Q值方法分配结果,公平吗？,1.公理化建模: 事先根据具体的实际问题给出一系列的约束, 称之为“公理”。它是所研究问题的基本要求，或所希望达到的基本目标。并据此寻求适当的数学结构来满足这些基本的要求。 如果存在唯一确定的数学结构，将它表达出来。 如果不可能有一个数学系统与公理体系相容，则需要找出虽然违背公理但是可以接受的模型。 如果存在许多模型满足公理的要求，则需要寻出其中最优者。,模型的公理化研究,2.席位公平分配的公理模型（1974） 公理 1. (份额单调性) 一个州人口的增加不会导致它失去席位. 公理 2.(无偏性) 在整个时间上平均, 每个州应得到它自己应分摊的份额. 公理 3.(名额单调性) 总席位增加不会导致某个州名额减少. ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) 公理 4. (公平分配性) 任何州的席位数都不会偏离其比例的份额数. qi ni qi+1 (i=1,2, m) 公理 5. (接近份额性) 没有从一个州到另一个州的名额转让会使得这两个州都接近它们应得的份额.,3：两类公理： 避免各种悖论的公理(I, III) ； 关于份额法则的公理(II, IV, V)。 这些公理表明: 一个理想的席位分配方案不应该产生任何前面所提到的悖论, 而且还应该满足关于份额的法则. 4：席位分配的不可能定理. 1982年 Balinsky 和 Young 研究的结果表明: 不存在既能避免所有席位分配的悖论同时又满足份额法则的席位分配的方法。 M. L. Balinsky & H.P.Young, Fair Representation, Yale Univ. Press, 1982,“比例加惯例”方法满足公理IV，但不满足公理III. Q值方法满足公理III, 但不满足公理IV .,附录1： Jefferson的除子法 考虑 qi = N 且 qi N 的情形： 选择适当的除子，计算 qi* = qi/， 使得qi* =N。 取 ni = qi*得到分配名额。 除子法的数学模型？ “名额分配问题”，淑生，自然杂志，2（1993），4650。,例 1 . P = 200, s = 3, N = 20, N=21 州 pi qi ni qi ni A 103 10.3 10 10.815 11 B 63 6.3 6 6.615 7 C 34 3.4 4 3.570 3 = 0.92 qi* ni qi* ni A 103 11.2 11 11.75 11 B 63 6.8 6 7.19 7 C 34 3.4 3 3.88 3,悖论1,例2 . P=1000, s=3, N=3 州 pi qi ni pi qi ni A 420 1.260 1 430 1.17 1 B 455 1.365 1 520 1.42 2 C 125 0.375 1 150 0.41 0 = 0.65 qi* ni pi qi* ni A 420 1.93 1 430 1.80 1 B 455 2.10 2 520 2.18 2 C 125 0.57 0 150 0.63 0,悖论2,例3. p=1000, s=2, N=4; p=1200, s=3, N=5 州 pi qi ni pi qi ni A 623 2.492 2 A 623 2.595 3 B 377 1.508 2 B 377 1.570 1 C 200 0.835 1 = 0.80 qi ni pi qi ni A 623 3.12 3 A 623 3.24 3 B 377 1.88 1 B 377 1.96 1 C 200 1.04 1,悖论3,例4. 六个州分配100个席位 州 人口p 份额q H法 J法 EP法 A 9215 92.15 92 95 90 B 159 1.59 2 1 2 C 158 1.58 2 1 2 D 157 1.57 2 1 2 E 156 1.56 1 1 2 F 155 1.55 1 1 2 10000 100 100 100 100,dHondt方法,有k个单位，每单位的人数为 pi ，总席位数为n。,做法：,用自然数1,2,3,分别除以每单位的人数，从所得的数中由大到小取前 n 个，（这n个数来自各个单位人数用自然数相除的结果），这n个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。,思考题： 1：请指出Jefferson方法不会产生人口悖论和新州悖论。 2：55页第1题。 3：编程用Q方法计算书中的例子。,Hamilton 法的数学模型 q = (q1,qs)T: 份额向量, 1Tq = qi =N n = (n1,ns)T: 分配向量, 1Tn = ni =N 它们均位于s维空间的s-1维单形 (s维空间的超平面)中 . 以s = 3 的情形为例： 10. n, q 是高为 N 的正三角形上的点，该点到三个边的距离为它们的坐标。 20. 将三角形各边N等分