浙江专用高考数学新增分大一轮复习第六章平面向量复数6.1平面向量的概念及线性运算讲义含解析_第1页
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文档简介

6.1平面向量的概念及线性运算最新考纲考情考向分析1.理解平面向量及几何意义,理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念2.掌握平面向量加法、减法、数乘的概念,并理解其几何意义.主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理,常与三角函数、解析几何交汇考查,有时也会有创新的新定义问题;题型以选择题、填空题为主,属于中低档题目偶尔会在解答题中作为工具出现.1向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的(3)单位向量:长度等于1个单位的向量(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量平行(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律:abba;结合律:(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|,当0时,a与a的方向相同;当0时,a与a同方向;当0时,a与a反方向;当0或a为零向量时,a为零向量,方向不确定3如何理解共线向量定理?提示如果ab,则ab;反之,如果ab,且b0,则一定存在唯一一个实数,使得ab.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小()(2)|a|与|b|是否相等与a,b的方向无关()(3)若ab,bc,则ac.()(4)若向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上()(5)当两个非零向量a,b共线时,一定有ba,反之成立()(6)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反()题组二教材改编2P86例4已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O,且a,b,则_,_.(用a,b表示)答案baab解析如图,ba,ab.3P92B组T4在平行四边形ABCD中,若|,则四边形ABCD的形状为_答案矩形解析如图,因为,所以|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知,四边形ABCD是矩形题组三易错自纠4对于非零向量a,b,“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若ab0,则ab,所以ab.若ab,则ab0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件5设向量a,b不平行,向量ab与a2b平行,则实数_.答案解析向量a,b不平行,a2b0,又向量ab与a2b平行,则存在唯一的实数,使ab(a2b)成立,即aba2b,则解得.6设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,ADAB,BEBC.若12(1,2为实数),则12的值为_答案解析(),1,2,即12.题型一平面向量的概念1给出下列命题:若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;若A,B,C,D是不共线的四点,且,则ABCD为平行四边形;ab的充要条件是|a|b|且ab;已知,为实数,若ab,则a与b共线其中真命题的序号是_答案解析错误,两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点;正确,因为,所以|且;又A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形;错误,当ab且方向相反时,即使|a|b|,也不能得到ab,所以|a|b|且ab不是ab的充要条件,而是必要不充分条件;错误,当0时,a与b可以为任意向量,满足ab,但a与b不一定共线故填.2判断下列四个命题:若ab,则ab;若|a|b|,则ab;若|a|b|,则ab;若ab,则|a|b|.其中正确的个数是()A1B2C3D4答案A解析只有正确思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任何向量共线题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例1已知点O为ABC外接圆的圆心,且0,则ABC的内角A等于()A30B60C90D120答案A解析由0得,如图,由O为ABC外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形,且CAO60,故ABC的内角A等于30,故选A.命题点2向量的线性运算例2(1)在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,BE与AC的交点为F,设a,b,则向量等于()A.abBabCabD.ab答案C解析()ab,故选C.(2)(2018全国)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则等于()A.B.C.D.答案A解析作出示意图如图所示()().故选A.命题点3根据向量线性运算求参数例3在直角梯形ABCD中,A90,B30,AB2,BC2,点E在线段CD上,若,则的取值范围是_答案解析由题意可求得AD1,CD,2.点E在线段CD上,(01),又2,2,即.01,0.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则(2)求已知向量的和共起点的向量求和用平行四边形法则;求差用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形法则(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系,通过向量的运算将向量表示出来,进行比较,求参数的值跟踪训练1(1)在ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且2,3,若a,b,则等于()A.abB.abCabDab答案C解析()ab,故选C.(2)在平行四边形ABCD中,E,F分别为边BC,CD的中点,若xy(x,yR),则xy_.答案2解析由题意得,因为xy,所以,所以解得所以xy2.题型三共线定理的应用例4设两个非零向量a与b不共线(1)若ab,2a8b,3(ab),求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使kab和akb共线(1)证明ab,2a8b,3(ab),2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5,共线又它们有公共点B,A,B,D三点共线(2)解假设kab与akb共线,则存在实数,使kab(akb),即(k)a(k1)b.又a,b是两个不共线的非零向量,kk10.消去,得k210,k1.引申探究1若将本例(1)中“2a8b”改为“amb”,则m为何值时,A,B,D三点共线?解(amb)3(ab)4a(m3)b,即4a(m3)b.若A,B,D三点共线,则存在实数,使.即4a(m3)b(ab)所以解得m7.故当m7时,A,B,D三点共线2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?解因为kab与akb反向共线,所以存在实数,使kab(akb)(0)所以所以k1.又1,因为,所以m,即,又知A,B,D三点共线,所以1,即m,所以1,故选B.15已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是ABC的重心,动点P满足,则点P一定为ABC的()ABC边中线的中点BBC边中线的三等分点(非重心)C重心DBC边的中点答案B解析设BC的中点为M,则,(2),即32,也就是2,P,M,A三点共线,且P是AM上靠近A点的一个三等分点16设W是由一平面内的n(n3)个向量组成的集合若aW,且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模则称a是W的极大向量有下列命题:若W中每个向量的方向都相同,则W中必存在一个极大向量;给定平面内两个不共线向量a,b,在该平面内总存在唯一的平面向量cab,使得Wa,b,c中的每个元素都是极大向量;若W1a1,a2,a3,W2b1,b2,b3中的每个元素都是极大向量,且W1,W2中无公共元素,则W1W2中的每一个元素也都是极大向量其

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