浙江专用高考数学复习第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第4节函数的奇偶性与周期性习题含解析.docx

第4节函数的奇偶性与周期性考试要求1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知 识 梳 理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.常用结论与易错提醒1.函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|).(3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.2.函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a；(2)若f(xa)，则T2a；(3)若f(xa)，则T2a.(a0)3.函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数yx2在x(0，)时是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)0.()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故yx2在(0，)上不是偶函数，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x0处有意义时才满足f(0)0，(2)错.答案(1)(2)(3)(4)2.已知f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，那么ab的值是()A. B. C. D.解析依题意b0，且2a(a1)，a，则ab.答案B3.(2019金华十校调研)下列函数中，是偶函数且在(0，)上为增函数的是()A.ycos x B.y1x2C.ylog2|x| D.yexex解析ycos x是偶函数，在(0，)上不具有单调性，所以选项A错误；y1x2是偶函数，在(0，)上是减函数，所以选项B错误；ylog2|x|是偶函数，在(0，)上是增函数，所以选项C正确；令f(x)exex，则f(x)exex(exex)f(x)，所以yexex是奇函数，所以选项D错误，故选C.答案C4.若函数yf(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，则f(2 020)f(2 019)()A.2 020 B.0C.1 D.2 020解析因为f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，所以f(1)f(1)f(1)，所以f(1)0，且f(0)0，而f(2 020)f(21 0100)f(0)0，f(2 019)f(21 0091)f(1)0，故选B.答案B5.偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_.解析f(x)为偶函数，f(1)f(1).又f(x)的图象关于直线x2对称，f(1)f(3).f(1)3.答案36.设a0且a1，函数f(x)为奇函数，则a_，g(f(2)_.解析f(x)是R上的奇函数，f(0)0，即a0120，a2；当x0时，x0，g(f(2)g221222.答案22考点一函数奇偶性的判断【例1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解(1)由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由得定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称.x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称.当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0且a1)，则函数f(x)的奇偶性()A.与a无关，且与b无关 B.与a有关，且与b有关C.与a有关，但与b无关 D.与a无关，但与b有关(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数解析(1)函数f(x)b的定义域为(，0)(0，)，f(x)bb.当b1时，易知函数f(x)为奇函数，当b1时，函数f(x)为非奇非偶函数，所以函数f(x)的奇偶性与a无关，但与b有关，故选D.(2)依题意得对任意xR，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此，f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错.答案(1)D(2)C考点二函数奇偶性的应用【例2】 (1)(一题多解)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.(2)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.解析(1)法一令x0，则x0.f(x)2x3x2.函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x).f(x)2x3x2(x0).f(2)2232212.法二f(2)f(2)2(2)3(2)212.(2)f(x)为偶函数，则yln(x)为奇函数，所以ln(x)ln(x)0，则ln(ax2x2)0，a1.答案(1)12(2)1规律方法(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式或函数值.【训练2】 (1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)等于()A.3 B.1 C.1 D.3(2)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)x22(x0)，若f(a2)0，则a的取值范围为()A.2，22，)B.2，2C.2，2D.2，)解析(1)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)g(1)f(1)g(1)(1)3(1)211.(2)函数f(x)的图象如图所示，由题可知f(0)0且f()0，则a20或a2，解得2a2或a2，故选A.答案(1)C(2)A考点三函数的周期性及其应用【例3】 设定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0，2)时，f(x)2xx2，则f(0)f(1)f(2)f(2 019)_.解析f(x2)f(x)，函数f(x)的周期T2.又当x0，2)时，f(x)2xx2，f(0)0，f(1)1，f(0)f(1)1.f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(2 018)f(2 019)1，f(0)f(1)f(2)f(2 019)1 010.答案1 010规律方法(1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.(2)若f(xa)f(x)(a是常数，且a0)，则2a为函数f(x)的一个周期.【训练3】 (1)(2018江苏卷)函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2，2上，f(x)则f(f(15)的值为_.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_.解析(1)因为函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(2，2上，f(x)所以f(f(15)f(f(1)fcos .(2)f(x4)f(x2)2f(x)，故函数的周期为4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5).22.53，由题意，得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.答案(1)(2)2.5考点四函数性质的综合运用【例4】 (1)(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x).若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A.50 B.0 C.2 D.50(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上单调递减，若实数a满足f(log3 a)f(loga)2f(1)，则a的取值范围是()A.(0，3 B. C. D.1，3解析(1)法一f(x)是定义域为(，)的奇函数，f(x)f(x)，且f(0)0，f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)，f(x)f(2x)，f(2x)f(x)，f(4x)f(2x)f(x)，f(x)是周期函数，且一个周期为4，f(4)f(0)0，f(2)f(11)f(11)f(0)0，f(3)f(12)f(12)f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(50)120f(49)f(50)f(1)f(2)2，故选C.法二由题意可设f(x)2sin，作出f(x)的部分图象如图所示.由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)120f(1)f(2)2，故选C.(2)函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，)上单调递减，故f(x)在(，0上单调递增.因为f(log3 a)f(log a)2f(1)，所以f(log3 a)f(log3 a)2f(log3 a)2f(1)，即f(log3 a)f(1)f(1)，所以1log3 a1，解得a3，故选C.答案(1)C(2)C规律方法(1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【训练4】 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(2 017)f(2 019)的值为()A.1 B.1 C.0 D.2(2)设函数f(x)的最大值为M，最小值为m.则Mm_.解析(1)由题意，g(x)是定义在R上的奇函数，g(x)g(x).由g(x)f(x1)，得g(x)f(x1)，f(x1)f(x1).由f(x)是定义在R上的偶函数，则f(x)f(x)，f(x1)f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)，即f(x1)f(x1)0.f(2 017)f(2 019)f(2 0181)f(2 0181)0.(2)f(x)1，令g(x)，则g(x)g(x)，又xR.g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，故Mm2.答案(1)C(2)2基础巩固题组一、选择题1.(2019嵊州适考)函数f(x)ln (a，bR，且ab0)的奇偶性()A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关C.与a无关，但与b有关D.与a无关，且与b无关解析易知f(x)的定义域关于原点对称，因为f(x)ln ln f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其奇偶性与a，b均无关，故选D.答案D2.已知函数f(x)ln xln(2x)，则()A.f(x)在(0，2)上单调递增B.f(x)在(0，2)上单调递减C.yf(x)的图象关于直线x1对称D.yf(x)的图象关于点(1，0)对称解析由题意知，f(2x)ln(2x)ln xf(x)，所以f(x)的图象关于直线x1对称，C正确，D错误；又f(x)(0x2)，故f(x)在(0，1)上单调递增，在1，2)上单调递减，A，B错误，故选C.答案C3.(2017北京卷)已知函数f(x)3x，则f(x)()A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数解析f(x)的定义域为R，f(x)3x3xf(x)，则f(x)为奇函数.y3x为增函数，y为减函数，则f(x)3x为增函数，故选A.答案A4.已知函数f(x)x，若f(x1)x2 B.x1x20C.x1x2 D.x0时，f(x)0，f(x)在0，)上为增函数，由f(x1)f(x2)，得f(|x1|)f(|x2|)，|x1|x2|，x0且x0时，cos x1，此时f(x)，排除C选项，故选D.答案D8.已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围为()A.(1，4) B.(2，0)C.(1，0) D.(1，2)解析f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)，1，即0，解得1a1时，f(x)是周期为2的函数，故f(2)f(0)0，f(x)的值域为(，0.答案014.若函数f(x)为奇函数，则a_，f(g(2)_.解析由题意，af(0)0.设x0，f(x)x22x1f(x)，g(2x)x22x1，g(2)4，f(g(2)f(4)f(4)(1681)25.答案025能力提升题组15.(2019金华一中模拟)已知函数D(x)则()A.D(D(x)1，0是D(x)的一个周期B.D(D(x)1，1是D(x)的一个周期C.D(D(x)0，1是D(x)的一个周期D.D(D(x)0，D(x)最小正周期不存在解析当x为有理数时，D(x)1，D(D(x)1，当x为无理数时，D(x)0，D(D(x)1，故排除C，D；若x为有理数，则D(x)1，D(x1)1，若x为无理数，则D(x)0，D(x1)0，综上所述，D(x1)D(x)，所以1是函数D(x)的一个周期，故选B.答案B16.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且f(x)为奇函数，g(x)的图象关于直线x1对称，则下列四个命题中错误的是()A.yg(f(x)1)为偶函数B.yg(f(x)为奇函数C.yf(g(x)的图象关于直线x1对称D.yf(g(x1)为偶函数解析由已知得f(x)f(x)，g(1x)g(1x)，则g(f(x)1)g(1f(x)g(f(x)1)，故函数g(f(x)1)为偶函数；g(f(x)g(f(x)g(2f(x)，即g(f(x)为非奇非偶函数；f(g(x)f(g(2x)，故f(g(x)的图象关于直线x1对称；又f(g(x1)f(g(1x)，故f(g(x1)为偶函数.由此可知，选项A，C，D为真命题，选项B为假命题，故选B.答案B17.(2019湖州适应性考试)已知函数f(x)cos x，x，且x0，则下列描述正确的是()A.函数f(x)为偶函数B.函数f(x)在(0，)上有最大值，无最小值C.函数f(x)有2个不同的零点D.函数f(x)在(，0)上单调递减解析对于A，函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(x)cos(x)cos xf(x)，函数f(x)为奇函数，A错误；对于B，设g(x)x，h(x)cos x，则当x(0，1)时，g(x)0，且为减函数，则函数f(x)为增函数；当x时，g(x)0，且为增函数，h(x)0，所以存在x0，使得函数f(x)在xx0处取得最大值，函数