浙江专用高考数学复习第五章三角函数解三角形5.6正弦定理和余弦定理讲义含解析.docx

5.6正弦定理和余弦定理最新考纲考情考向分析掌握正弦定理、余弦定理及其应用.以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识题型多样，中档难度.1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)2R(2)a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC变形(3)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(4)sinA，sinB，sinC；(5)abcsinAsinBsinC；(6)asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinA(7)cosA；cosB；cosC2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)SabsinCacsinBbcsinA；(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)概念方法微思考1在ABC中，AB是否可推出sinAsinB?提示在ABC中，由AB可推出sinAsinB.2如图，在ABC中，有如下结论：bcosCccosBa.试类比写出另外两个式子提示acosBbcosAc；acosCccosAb.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，.()(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积()题组二教材改编2P10B组T2在ABC中，acosAbcosB，则这个三角形的形状为答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形3P18T1在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积为答案2解析，sinB1，B90，AB2，SABC222.题组三易错自纠4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则ABC为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形答案A解析由已知及正弦定理得sinCsinBcosA，sin(AB)sinBcosA，sinAcosBcosAsinB0，cosB1.角B不存在，即满足条件的三角形不存在6设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sinA5sinB，则C.答案解析由3sinA5sinB及正弦定理，得3a5b.又因为bc2a，所以ab，cb，所以cosC.因为C(0，)，所以C.题型一利用正、余弦定理解三角形例1(2018天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinAacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB.又由bsinAacos，得asinBacos，即sinBcos，所以tanB.又因为B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accosB7，故b.由bsinAacos，可得sinA.因为ac，所以cosA.因此sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB.思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素；(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系跟踪训练1(1)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sinA)，则A等于()A.B.C.D.答案C解析在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccosA，bc，a22b2(1cosA)，又a22b2(1sinA)，cosAsinA，tanA1，A(0，)，A，故选C.(2)(2018浙江金华一中月考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2，C，tanA，则sinA，b.答案4解析因为角A为ABC的内角，tanA，sin2Acos2A1，联立解得sinA(舍负)又在ABC中，由正弦定理得，解得c5，则在ABC中，由余弦定理得a2b2c22abcosC，即(2)2b25222bcos，解得b4(负舍)题型二和三角形面积有关的问题例2(2016浙江)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acosB.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小(1)证明由正弦定理得sinBsinC2sinAcosB，故2sinAcosBsinBsin(AB)sinBsinAcosBcosAsinB，于是sinBsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)解由S，得absinC，故有sinBsinCsinAsin2BsinBcosB，由sinB0，得sinCcosB.又B，C(0，)，所以CB.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A.思维升华 (1)对于面积公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化跟踪训练2(1)若AB2，ACBC，则SABC的最大值为()A2B.C.D3答案A解析设BCx，则ACx.根据三角形的面积公式，得SABCABBCsinBx.根据余弦定理，得cosB.将代入，得SABCx.由三角形的三边关系，得解得22x0，所以a2b2c2或ab，故选D.引申探究1本例(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cosAsinBsinC，判断ABC的形状解a2b2c2ab，cosC，又0C0)又BD，DAB，所以由余弦定理，得()2(3k)2(2k)223k2kcos，解得k1，所以AD2，AB3，sinABD.(2)因为ABBC，所以cosDBCsinABD，所以sinDBC，所以，所以CD.命题点3解三角形的实际应用例5(1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高AD是60m，则河流的宽度BC等于()A240(1)mB180(1)mC120(1)mD30(1)m答案C解析如图，在RtACD中，CAD903060，AD60m，所以CDADtan6060(m)在RtABD中，BAD907515，所以BDADtan1560(2)(m)所以BCCDBD6060(2)120(1)(m)(2)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135，若山高AD100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度约为m/s.(精确到0.1，参考数据：1.414，2.236)答案22.6解析因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，所以BAD60，CAD45，设这辆汽车的速度为vm/s，则BC14v，在RtADB中，AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos135，所以v22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6m/s.思维升华 (1)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用ABC这个结论(2)求解几何计算问题要注意：根据已知的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理(3)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(4)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题跟踪训练3(1)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案B解析cos2，cos2，(1cosB)cac，acosBc，2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC为直角三角形(2)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是答案(，)解析如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CFAD交AB于点F，则BFABBE.在等腰三角形CBF中，FCB30，CFBC2，BF.在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BE.AB0)，如果三角形有解，则角A的取值范围是()A0A60B0A30C0A90D30A0，且当AB与圆C相切时，角A取得最大值，此时ABBC，则sinA，又因为ab，所以角A为锐角，所以角A的最大值为60，综上所述，角A的取值范围为0A60，故选A.3(2018金华十校模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B30，ABC的面积为，且sinAsinC2sinB，则b的值为()A42B42C.1D.1答案D解析在ABC中，由sinAsinC2sinB结合正弦定理得ac2b，ABC的面积为acsinBac，解得ac6，则在ABC中，由余弦定理得b2a2c22accosB(ac)22ac2accosB(2b)2(2)6，解得b1，故选D.4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m，n，p共线，则ABC的形状为()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形答案A解析向量m，n共线，acosbcos.由正弦定理得sinAcossinBcos.2sincoscos2sincoscos.则sinsin.0，0，即AB.同理可得BC.ABC的形状为等边三角形故选A.5已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC，bcosAacosB2，则ABC的外接圆面积为()A4B8C9D36答案C解析cbcosAacosB2，由cosC，得sinC，再由正弦定理可得2R6，R3，所以ABC的外接圆面积为R29，故选C.6(2018浙东北联盟期中考试)在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30，60，则塔高为()A.mB.mC.mD.m答案A解析设山顶为A，塔底为C，塔顶为D，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点B(图略)，则易得AB，BDABtan30tan30(m)，所以CDBCBD200(m)，故选A.7在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tanBac，则角B的值为答案或解析由余弦定理，得cosB，结合已知等式得cosBtanB，sinB，又0B，B或.8(2019台州调研)为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)如图所示，且BD180，则AC的长为km.答案7解析在ABC中，由余弦定理得AC28252285cosB，在ACD中，由余弦定理得AC23252235cosD，由cosDcosB并消去AC2得cosB，所以AC7.9ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为答案1解析b2，B，C.由正弦定理，得c2，A，sinAsinsincoscossin.则SABCbcsinA221.10(2018诸暨模拟)如图，已知ABC中，AB8，AC5，BC7，AB的中垂线交BC于点D，则BD，ADC的面积等于答案解析记AB的中点为E，在ABC中，由余弦定理得cosB，sinB，SABCABBCsinB10；在RtBDE中，BEAB4，cosB，因此BD，SABDSABC，SADCSABC.11(2018宁波模拟)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知3asin Cccos A.(1)求sinA的值；(2)若B，ABC的面积为9，求a的值解(1)因为3asinCccosA，所以3sinAsinCsinCcosA，又因为sinC0，所以tanA，A(0，)，所以sinA.(2)由(1)知，cosA，sinCsin(AB)sin.由正弦定理得，c2a，因为SABCacsinBa2aa29，所以a3.12(2018北京)在ABC中，a7，b8，cosB.(1)求A；(2)求AC边上的高解(1)在ABC中，因为cosB，所以sinB.由正弦定理得sinA.由题设知B，所以0A，所以A.(2)在ABC中，因为sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，所以AC边上的高为asinC7.13在ABC中，a2b2c22absinC，则ABC的形状是()A不等腰的直角三角形B等腰直角三角形C钝角三角形D正三角形答案D解析易知a2b2c2a2b