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第五章 不定积分 5.1 不定积分的概念和性质,原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 小结,例,一、原函数与不定积分的概念,定义 若在 I 上恒有 F(x)=f(x)（即 dF(x)=f(x)dx），称 F(x) 为 f(x) 在 I 上的一个原函数。,考虑原函数的表达式：,不定积分的定义：,f(x) 在 I 上的不定积分也可看成是 f(x) 在 I 上的原函数全体。,不定积分（或原函数）的存在性与唯一性：,1、存在性：,（1）不是每个函数在定义区间上都有原函数；,（2）在 I 上的连续函数一定有原函数（即：一定有不定积分），,2、唯一性：,例1,解,例2 设曲线通过点（1, 2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,求不定积分得到一个积分曲线族 y=F(x)+C.,y=F(x),y=F(x)+C,x,斜率f(x),例3,微分运算与求不定积分的运算是互逆的:,=,=,由此可知：,+C,+C.,积分运算和微分运算是互逆的，因此，对每一个导数公式都可以得出一个相应的积分公式。,二、 基本积分表,将基本导数公式从右往左读，（然后稍加整理）可以得出基本积分公式（基本积分表）。,基本积分表 ,是常数);,基本积分表 ,求不定积分的基本思想（仍然）是化繁为简将所求积分化为基本积分表中的积分。,解,根据幂函数的积分公式,例4 求,（恒等变形法）,三、 不定积分的（线性）性质,例5,例7,例8,例9,例10,例11,例12,解,所求曲线方程为,3. 基本积分表；,5. 不定积分的（线性）性质；,1. 原函数的概念： ；,2. 不定积分的概念： ；,4. 求微分与求积分的互逆关系；,四、小结,6. 求不定积分的基本方法：将所求积分转化为基本积分表中的积分。,思考题,符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,解答：,不存在.,假设有原函数,故假设
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