高中数学课件第四章第三节《平面向量的数量积及平面向量应用举例.ppt

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向 量数量积 的运算.,4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数 量积判断两个平 面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一 些实际问题.,1.两个向量的夹角 (1)定义和范围,(2)两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件,思考探究1 在ABC中，设 a， b，则a与b的夹角为ABC吗？,提示：不是.求两向量的夹角时，两向量的起点应相同，向量a与b的夹角为ABC.,2.平面向量的数量积,3.与平面向量的数量积有关的结论 已知a(x1，y1)，b(x2，y2),思考探究2 若ab，则a与b的数量积有何特点？,提示：若ab，则a与b的夹角为0或180， ab|a|b|或ab|a|b|.,1.已知a(1，2)，b(5,8)，c(2,3)，则a(bc)( ) A.34 B.(34，68) C.68 D.(34,68),解析：a(bc)(1，2)(5283)(34，68).,答案：B,2.平面向量a与b的夹角为60，a(2,0)，|b|1，则|a 2b| ( ) A. B. C.4 D.12,解析：|a|2，|a2b|2(a2b)2a24ab4b24421cos6041212， |a2b| .,答案：B,3.已知|a|1，|b| ，且a(ab)，则向量a与向量 b的夹角是 ( ) A.30 B.45 C.90 D.135,解析：设向量a与b的夹角为， 由a(ab)，得 a(ab)0，即|a|2ab0， |a|b|cos |a|2， cos 45.,答案：B,4.已知向量a(3,2)，b(2,1)，则向量a在b方向上的 投影为 .,解析：ab|a|b|cosa，b， |a|cosa，b,答案：,5.若b(1,1)，ab2，(ab)23，则|a| .,解析：(ab)23， |a|2|b|22ab3， |a|2243， |a|25， |a| .,答案：,1.向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式ab |a|b|cos来计算，二是利用abx1x2y1y2来计算， 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注 意数量积运算律的应用. 2.利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握 此类问题的处理方法： (1)|a|2a2aa； (2)|ab|2(ab)2a22abb2.,已知|a|3，|b|4，a与b的夹角为 ，求： (1)(3a2b)(a2b)； (2)|ab|.,思路点拨,课堂笔记 (1)ab|a|b|cos 34( )6 . a2329，b216. (3a2b)(a2b)3a28ab4b2 398(6 )649148 . (2)|ab|2(ab)2a22abb2 92(6 )162512 . |ab|,若将例题已知条件改为“已知a(3，4)，b(2,1)”，试解决上述问题.,解：(1)a(3，4)，b(2,1)， 3a2b(9，12)(4,2)(5，14)， a2b(3，4)(4,2)(1，6).,(3a2b)(a2b)(5，14)(1，6) 5(1)(14)(6) 584 79. (2)ab(3，4)(2,1)(5，3)， |ab|,已知a与b为不共线向量，且a与b的夹角为 ，则 (1)ab0090； (2)ab0 90； (3)ab090 180.,特别警示 在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否共线.,已知|a|1，ab ，(ab)(ab) ， 求：(1)a与b的夹角； (2)ab与ab的夹角的余弦值.,思路点拨,课堂笔记 (1)(ab)(ab) ， |a|2|b|2 ， 又|a|1，|b| 设a与b的夹角为，则cos 45.,(2)(ab)2a22abb212 |ab| . (ab)2a22abb212 |ab| ，设ab与ab的夹角为， 则cos,1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 (共线)的充要条件： ababx1y2x2y10(b0). 2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： abab0x1x2y1y20.,已知平面内A、B、C三点在同一条直线上， (2，m)， (n,1)， (5，1)，且 ，求实数m，n的值.,思路点拨,课堂笔记 由于C、A、B三点在同一条直线上， 则 而 (7，1m)， (n2,1m)， 7(1m)(1m)(n2)0， 又 2nm0， 联立解得,平面向量的数量积是高考重点考查的内容，直接考查的是数量积的概念、运算律、性质，向量的平行、垂直，向量的夹角与模等，主要以选择题、填空题的形式出现.而近几年平面向量与函数、解析几何、三角函数相结合的题目在高考试题中屡见不鲜，并成为高考对本节内容考查的一个新方向.,考题印证 (2009湖南高考)(12分)已知向量a(sin，cos2sin)，b(1,2). (1)若ab，求tan的值； (2)若|a|b|,0，求的值.,【解】 (1)因为ab，所以2sincos2sin，于是4sincos，故tan (4分) (2)由|a|b|知，sin2(cos2sin)25， 所以12sin24sin25. 从而2sin22(1cos2)4，即sin2cos21，于是sin(2 ) .(8分) 又由0知， 2 ，所以2 ，或2 .因此 ，或 .(12分),自主体验 已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2). (1)若mn，求证：ABC为等腰三角形； (2)若mp，边长c2，角C ，求ABC的面积.,解：(1)证明：mn，asinAbsinB， 即a b ，其中R是三角形ABC外接圆半径， ab. ABC为等腰三角形. (2)由题意可知mp0， 即a(b2)b(a2)0. abab.,由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab， 即(ab)23ab40， ab4(舍去ab1)， S absinC 4sin ,1.(2009宁夏、海南高考)已知a(3,2)，b(1,0)，向 量ab与a2b垂直，则实数的值为 ( ),解析：a(3,2)，b(1,0). ab(13，2)，a2b(1,2). ab与a2b垂直，(ab)(a2b)0， (13)(1)220， 解得 .,答案：A,2.在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满 足 则 等于 ( ),解析：M为BC中点，得 又 P为AM的 等分点，,答案：A,3.已知在ABC中，若 则ABC是 ( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形,解析：由 ABC是直角三角形.,答案：C,4.已知向量a与b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5a b| .,答案：7,解析：|5ab|225|a|2|b|210ab 2591013( )49. |5ab|7.,5.已知向量a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若 ab，(ab)(bc)，M(x，y)，N(y，x)，则向量 的模为 .,解析：ab，x4，b(4，2)，ab(6，3)，bc(1，2y)；(ab)(bc)，(ab)(bc)0，即63(2y)0，y4，故向量 (8,8)， 8 .,答案：8,6.已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a (1,2). (1)若|c|