小升初奥数培优：按比例分配（复杂转化）-苏教版小学《数学》六年级下册奥数思维提升训练

PAGE1《按比例分配（复杂转化）》【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】学习寄语亲爱的同学们：在数学的世界里，比例不仅是一种数量关系，更是一种思维方式。我们已经掌握了基本的按比例分配方法，而今天，我们将进入一个更深层次的领域——按比例分配的复杂转化。现实中的问题往往不会直接告诉你“按几比几分配”，而是隐藏在行程、工程、浓度、混合物、倍数关系等情境中。这就需要我们具备“转化”的能力：把复杂问题转化为熟悉的按比例分配模型。本讲义将带领你们从基础出发，层层递进，学会如何提取隐藏比例、统一单位量、转化连比、处理多条件综合问题。希望你们在学习中做到：静心审题、善于发现、灵活转化、精准计算。相信通过努力，你们一定能掌握这把打开复杂问题的“金钥匙”！知识梳理1、按比例分配的基本模型（1）定义：已知总量和各部分的比，求每部分的具体数量。（2）解题步骤：求出总份数；计算“一份量”=总量÷总份数；各部分=一份量×对应份数。（3）示例：甲、乙、丙三人分90元，比为2:3:4，则总份9，一份10元，甲得20元，乙得30元，丙得40元。2、复杂情境中的比例转化（1）从倍数关系转化为比例：若甲是乙的34，则甲:乙=3:4若甲比乙多15，则甲:乙=6:5（2）从分数关系转化为比例：甲占总数的27，乙占37，则甲:乙:丙=2:3:2（丙=1-（3）从差倍关系转化为比例：甲比乙多15，且甲:乙=4:3，则一份量=15÷4−33、多比例统一与连比转化（1）统一中间量法：已知A:B=2:3，B:C=4:5，求A:B:C；统一B的份数（最小公倍数12），得A:B=8:12，B:C=12:15，所以A:B:C=8:12:15。（2）设“一份量”为未知数：设一份为x，将各量表示为ax,bx,cx，代入总量或差值列方程。4、实际应用中的转化模型（1）行程问题：速度比=路程比（时间相同）；（2）工程问题：工作效率比=工作量比（时间相同）；（3）浓度问题：溶质与溶液的比可转化为质量分配；（4）图形问题：面积比、体积比与边长比的平方或立方关系。5、注意事项转化时注意“谁和谁比”；统一单位，避免数量级错误；多条件问题要分步转化；最终结果要符合实际意义。例题讲解【例题1】（倍数转化为比例）题目：甲数是乙数的23，乙数是丙数的4解析：甲:乙=2:3乙:丙=4:5统一乙的份数：

2:3=8:12，

4:5=12:15，

所以甲:乙:丙=8:12:15总份数：8+12+15=35一份量：174÷35=甲：8×17435=139235，乙：答：甲=139235，乙=208835，丙=【跟踪训练】题目：A是B的34，B是C的5答案与解析：A:B=3:4，B:C=5:6→统一B：3:4=15:20，5:6=20:24→A:B:C=15:20:24总份59，一份量155÷59=A=15×15559=232559，B=【例题2】（差倍关系转化）题目：甲、乙两人存款比为5:3，若甲取出200元，乙存入100元，则两人钱数相等。求原来各有多少元？解析：设甲有5x元，乙有3x元根据题意：5x−200=3x+100解得：2x=300，x=150甲：5×150=750元，乙：3×150=450元答：甲原有750元，乙原有450元。【跟踪训练】题目：两箱苹果重量比为7:5，从第一箱取出12千克放入第二箱，两箱重量相等。求原来各重多少千克？答案与解析：设一份为x，则7x-12=5x+12→2x=24→x=12第一箱：7×12=84kg，第二箱：5×12=60kg【例题3】（多条件综合转化）题目：甲、乙、丙三人完成一项工程，工作时间相同，甲完成的工程量是乙的45，乙完成的是丙的3解析：甲:乙=4:5乙:丙=3:4统一乙：4:5=12:15，3:4=15:20→甲:乙:丙=12:15:20总份：47一份量：182÷47=甲：12×18247=218447，乙：答：甲218447，乙273047，丙【跟踪训练】题目：三个班级植树，一班是二班的56，二班是三班的4答案与解析：一:二=5:6，二:三=4:5→统一二：5:6=10:12，4:5=12:15→一:二:三=10:12:15总份37，一份10，一班100棵，二班120棵，三班150棵。【例题4】（图形中的比例转化）题目：两个正方形边长比为3:5，它们的面积和为340cm²，求较小正方形的面积。解析：面积比=边长比的平方=9:25总份数：34一份量：340÷34=10cm²较小正方形面积：9×10=90cm²答：90cm²【跟踪训练】题目：两个圆的半径比是2:3，面积和是260πcm²，求大圆面积。答案与解析：面积比=4:9，总份13，一份260π÷13=20π，大圆面积9×20π=180πcm²提升练习1.两辆汽车速度比为5:6，行驶相同时间，甲比乙少行30千米。求甲行驶路程。2.甲、乙、丙三人投资比为3:4:5，年底分红时，丙比甲多分8000元。求总红利。提升练习答案1.150千米

解析：路程比=速度比=5:6，差1份=30km，甲5×30=150km2.总红利48000元

解析：丙比甲多2份=8000，一份4000，总份12，总红利48000模拟赛场1.甲、乙、丙三人跑步速度比为6:5:4，同时从A地出发，当甲到达B地时，乙距B地还有200米，丙距B地还有400米。求A、B两地距离。2.有三堆沙子，重量比为4:5:6，若从第三堆取出15吨放入第一堆，则三堆重量相等。求原来各堆重量。3.甲、乙两车从A、B两地相对开出，速度比为7:5，相遇时甲比乙多行60千米。求A、B距离。模拟赛场答案1.1200米

解析：时间同，路程比=速度比=6:5:4，设甲行6x，则乙行5x，丙行4x，6x-5x=200→x=20