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文档简介

第五节,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数,隐函数的求导方法,本节讨论 :,1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .,例如, 方程,当 C 0 时, 能确定隐函数;,当 C 0 时, 不能确定隐函数;,2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性,及求导方法问题 .,一、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1. 设函数,则方程,单值连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式), 具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :,则还有,例1. 验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个单值可导隐函数,并求,定理2 .,若函数,的某邻域内具有连续偏导数 ,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,满足, 在点,满足:,某一邻域内可唯一确,例2. 设,例3.,设F( x , y)具有连续偏导数,已知方程,二、方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由 F、G 的偏导数组成的行列式,称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即,定理3.,的某一邻域内具有连续偏导数；,设函数,则方程组,的单值连续函数,且有偏导数公式 :, 在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,在点P,例4. 设,求,例5.设函数,在点(u,v) 的某一,1) 证明函数组,邻域内,2) 求,对 x , y 的偏导数.,在点 (x, y, u, v) 的某一,邻域内有连续的偏导数,且,唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的,反函数,内容小结,1. 隐函数( 组) 存在定理,2. 隐函数 ( 组) 求导方法,方法2. 利用复合函数求导法则直接计算 ;,方法1. 代公式,作业 P89 3 6 10 (1) (3) 11,思考与练习,设,求,雅可比(1804 1851),德国数学家.,他在数学方面最主要,的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独,地奠定了椭圆函数论的基础.,他对行列,式理论也作了奠基性的工作.,在偏微分,方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积分,中.,他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微分方,程,在分析力学, 动力学及数学物理方
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