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文档简介

第六节,一、格林公式,二、平面曲线积分与路径无关的条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,格林公式、平面曲线积分与 路径无关的条件,第九章,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,一、格林公式,1. 单连通域与复连通域,定理1,2、格林公式,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时, 区域 D 总在他的左边.,例1.,计算,解: 令,故,L 为以,和 为边的三角形的正向闭曲线.,例2. 计算,其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .,解: 令, 则,利用格林公式 , 有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,(注意格林公式的条件),计算平面面积,例如, 椭圆,所围面积,B,A,如果在区域G内有,二、曲线积分与路径无关的条件,1、曲线积分与路径无关的定义,二、平面曲线积分与路径无关的条件,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,说明:,根据定理2 , 若在某区域内,则,2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 计算,其中,解: 由于,因此所给曲线积分与路径无关，由图形可知,为圆周 在第一,象限内的弧段.,因为在 上，,因为在 上，,例5. 计算,其中L 为上半,从 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,它与L 所围,原式,圆周,区域为D , 则,例6. 验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数.,证: 设,则,由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使,。,。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 格林公式,2. 等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线 L 有
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