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复习,1. 无穷小的比较, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且,常用等价无穷小 :,当 时,求极限的又一种方法, 注意适用条件.,2. 等价无穷小替换定理,连续函数的等价定义,3. 间断点的分类与判别;,2. 区间上的连续函数;,第一类间断点,第二类间断点:,间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点.,1. 函数在一点连续必须满足的三个条件;,9. 连续函数的运算与初等函数的连续性,学习重点和难点： 利用初等函数的连续性求极限 几个等价无穷小及其应用,一、四则运算的连续性,证,故 在点 处也连续，其它同理可证。,即 三角函数在其定义域内连续.,在其定义域内连续.,定理2 单调连续的函数有单调连续的反函数.,例如,所以，反三角函数在其定义域内连续.,二、反函数和复合函数的连续性,上单调增加且连续，,上也是单调增加且连续.,上单调减少且连续；,单调且连续.,定理3,意义,极限符号可以与函数符号互换.,例如,回顾：复合函数的极限运算法则,设,又 时，,若,则,意义：求极限的“变量代换”法.,定理4,注意 定理4是定理3的特殊情况.,例如,定理3,三、初等函数的连续性,2. 反三角函数 在其定义域内是连续的.,定理5 基本初等函数在其定义域内连续.,1. 三角函数 在其定义域内是连续的.,(均在其定义域内连续 ),定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,1.初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;,例如,在0点的邻域内没有定义.,注:,注: 2.初等函数求极限的方法代入法.,例1,例2,解,解,例3 证明,证,特别地,例4 证明,证,特别地,例5 证明,证,特别地,综上,得以下常用等价无穷小:,已知当 时， 与 是 等价无穷小，则常数,设 时， 与 是同阶无穷小，则,设 时， 是比 高阶的无穷小，则,例如：,内容小结,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算结果仍连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续
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