高等数学第三版复习第一章.ppt

1,主 要 内 容,第一章 函数与极限,1、函数 2、数列的极限 3、函数的极限 4、无穷大与无穷小 5、极限运算法则 6、极限存在准则、两个重要极限 7、无穷小的比较 8、函数的连续性与间断点 9、闭区间上连续函数的性质,2,第一章 函数与极限,1、理解一元函数、反函数、复合函数的定义； 2、了解函数的表示和函数的简单性态有界性、单调性、奇偶性、周期性； 3、熟悉基本初等函数与初等函数（包含其定义区间、简单性态和图形）； 4、理解数列极限的概念（对 定义不作过高要求）； 5、 熟悉收敛数列的性质有界性、唯一性； 6、了解数列极限的存在准则单调有界准则、夹逼准则； 7、理解函数的极限的定义（包括当 和 时，函数极限的定义及左、右极限的定义）; 8、了解函数极限的性质局部保号性； 9、熟练掌握极限的四则运算法则（包括数列极限与函数极限）,基 本 要 求,3,10、掌握两个重要极限： 11、熟悉无穷小量的概念及其运算性质、无穷小量的比较； 12、了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系； 13、函数极限与无穷小量的关系； 14、理解函数的连续性的概念、了解函数的间断点的分类； 15、了解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质。,基 本 要 求（续）,4,无穷小，求极限的各种方法，函数的连续性。 【内容小结】 （一）如何求极限？ 求极限的方法小结 （1）利用函数的连续性 （2）利用极限的四则运算法则 （3）利用两个重要极限公式 （4）利用无穷小的基本性质,本章重点,5,（5）利用极限存在的充要条件 （二）如何讨论函数的连续性 对于初等函数可依据结论；对于分段函数，讨论分段点处的连续性，则要用定义,6,椅子为什么能放稳,我们都有这样的生活经验：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳。但只要稍微挪动几次，就可以四脚着地放稳了。这是什么道理呢？ 为了能用数学语言说明这个问题，必须对椅子 和地面作出一些合理的假设： 1.椅子的四条腿一样长，椅脚和地面接触处看做是一个点，四脚连线呈正方形;,7,2.地面高度是连续变化的，沿任何方向不会出现间断（如没有台阶那种情况），即地面是数学上的连续曲面； 3.地面相对平坦，不会出现连续变化的深沟或凸峰，能够使椅子在任何位置上至少有三只脚同时着地。 这里的假设1是显然的，假设2给出了椅子可以放稳的条件，假设3则排除了三只角无法同时着地的情况。下面，我们就在这些假设的基础上建立椅子问题的数学模型。,8,这里首先要解决的，是如何用数学语言把问题的条件和结论表示出来，如图所示，如果我们以A、B、C、D表示椅子的四只脚，以正方形ABCD表示椅子的初始位置，则以原点为中心按逆时针将其旋转 角所得到的正方形 就表示椅子位置的改变。换言之，椅子位置应该是角 的函数； 另一方面，由于我们可以以椅脚与地面的竖直距离是否为零作为衡量椅脚是否着地的标准，而椅子旋转就是在调整这一距离，因此该距离也应该是角 的函数；,9,注意到正方形的椅子腿是中心对称的，所以只要考虑两组对称的椅脚与地面的竖直距离就可以了。 设A、C两脚与地面距离之和为 ，B、D两脚与地面距离之和为 ，显然 0 0 且由假设2可知， 、 均为连续函数；由假设3可知， 与 中至少有一个为零，即对任意的 ， =0 。不妨设 =0 时，有 0 =0,10,于是，改变椅子的位置使其四脚着地，就归结为证明下面的命题： 已知 、 均为 的连续函数，对任意的 ， =0，且 0， =0，证明至少存在一点 ，可使 = =0 注意到将椅子旋转 后对角线AC与BD交换，于是由 0 =0知,11,设辅助函数 ，则 在 上连续，且 故由零点定理可知，至少存在点 ，使得 即 ；又因为对任意的 ， =0，所以 与 中至少有一个为零，故 = =0,12,由以上模型的建立与求解过程不难看出，关键是选择了变量 表示椅子的位置，以及用 的两个函数表示椅脚与地面的距离，并且把问题的条件和结论翻译成了数学语言。至于利用中心对称和旋转 并不是本质的东西。 作为练习，请读者求解下面的“爬山问题”。,13,某游客计划用两天的时间游览泰山。第一天上午七时开始登山，边走边看，共用了五个小时到了山顶。第二天早晨看完日出之后，于上午七时开始按原路下山，回到起点时也用了五个小时。试建立数学模型，证明在上下山的过程中至少有一次是在同样的时刻经过同样的地点。,14,复习第一章 函数与极限 【基本要求及重点】 (1) 理解函数的概念，掌握函数表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 (2) 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性等基本性态；理解复合函数、反函数和分段函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 (3) 了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念 ,15,(6) 了解极限存在的两个准则 (7) 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）；会使用函数在一点处连续的定义判断函数在该点处连续性。 (8) 理解间断点的概念，能准确找出间断点，并会判断其类型。 (9) 了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值和最小值定理、介值性定理）及其简单应用。,(4) 理解无穷小、无穷大的概念和基本性质，掌握无穷小的比较方法，了解无穷大的概念及其与无穷小的关系。 (5) 熟练掌握求极限的各种方法。,16,本章重点：无穷小，求极限的各种方法，函数的连续性。 【内容小结与例题分析】 （一）.如何求极限？ 求极限的方法小结 （1）利用函数的连续性 （2）利用极限的四则运算法则 （