2018_2019学年高中数学第三章导数应用11.1导数与函数的单调性教案（含解析）北师大版.docx

11导数与函数的单调性 已知函数(1)y12x1，(2)y2x10，(3)y32x，(4)y4x，(5)y5log2x，(6)y6logx.问题1：求上面六个函数的导数提示：(1)y12，(2)y21，(3)y32xln 2，(4)y4xln 2xln 2，(5)y5，(6)y6.问题2：试判断所求导数的符号提示：(1)(3)(5)的导数为正，(2)(4)(6)的导数为负问题3：试判断上面六个函数的单调性提示：(1)(3)(5)在定义域上是增加的，(2)(4)(6)在定义域上是减少的问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系提示：当f(x)0时，f(x)为增加的，当f(x)0(或f(x)0(或f(x)0在(0,2)上恒成立即可精解详析由于f(x)，所以f(x)，由于0x2，所以ln xln 20，即函数在区间(0,2)上是增加的一点通利用导数判断或证明函数单调性的思路1下列函数中，在(0，)上为增加的是()Aysin xByxexCyx3x Dyln xx解析：选B(sin x)cos x，(xex)exxex(1x)ex，(x3x)3x21，(ln xx)1，当x(0，)时，只有(xex)(1x)ex0.2.证明函数f(x)x在(0,1上是减少的证明：f(x)1，又x(0,1，x210(只有x1时等号成立)，f(x)0，f(x)x在(0,1上为减少的3已知函数f(x)ax33x21，讨论函数f(x)的单调性解： 由题设知a0.f(x)3ax26x3ax，令f(x)0，得x10，x2.当a0时，若x(，0)，则f(x)0.f(x)在区间(，0)上为增函数若x，则f(x)0，f(x)在区间上是增函数当a0时，若x，则f(x)0.f(x)在区间上为增函数若x(0，)，则f(x)0，所以x10，由f(x)0，解得x，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f(x)0，解得x，又x(0，)，所以函数f(x)的单调递减区间为.(2)当a0时，f(x)x21，其单调递减区间为(，0)，单调递增区间为(0，)当a0(ax2)x0x0x0或x；f(x)0x0或f(x)0.但要特别注意的是，不能忽略函数的定义域，应首先求出函数的定义域，在定义域内解不等式另外，如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”“和”等连接，而不能写成并集的形式4函数f(x)的导函数yf(x)的图像如右图，则函数f(x)的递增区间为_解析：当1x0或x2时f(x)0，可得递增区间为1,0和2，)答案：1,0和2，)5函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)解析：选B函数yx2ln x的定义域为(0，)，yx，令y0，则可得0x1.6求下列函数的单调区间(1)f(x)x33x2；(2)f(x).解：(1)函数f(x)的定义域为R.f(x)3x26x3x(x2)当0x0，所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2)；当x2时，f(x)0，(x2)20.令f(x)0，解得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；令f(x)0，解得x1，即a2时，f(x)在(，1)和(a1，)上单调递增，在(1，a1)上单调递减，由题意知(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)，所以4a16，即5a7.故实数a的取值范围为5,7法二：数形结合法f(x)(x1)x(a1)在(1,4)内f(x)0，在(6，)内f(x)0，且f(x)0有一根为1，作出yf(x)的示意图如图所示，则f(x)0的另一根在4,6上即5a7.故实数a的取值范围为5,7法三：转化为不等式的恒成立问题f(x)x2axa1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1, 4)上恒成立，所以ax1，因为2x17，所以a7时，f(x)0在(6，)上恒成立综上知5a7.故实数a的取值范围为5,7一点通1利用导数法解决参数取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意(2)先令f(x)0(或f(x)0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“”时f(x)是否满足题意2恒成立问题的重要思路(1)mf(x)恒成立mf(x)max.(2)mf(x)恒成立mf(x)min.7已知函数f(x)在(2，)内是减少的，则实数a的取值范围为_解析：f(x)，由函数f(x)在(2，)内是减少的知f(x)0在(2，)内恒成立，即0在(2，)内恒成立，因此a.又当a时，f(x)为常数函数，所以不符合题意，所以a的取值范围是.答案：8已知函数f(x)ax33x2x1在R上是减函数，求实数a的函数取值范围解：函数f(x)的导数f(x)3ax26x1.由题设知f(x)在R上是减函数，f(x)0对xR恒成立，即3ax26x10在R上恒成立，a3.当a3时，f(x)9x26x1(3x1)20，有且仅有f0，故a的取值范围是(，3(1)在利用导数来讨论函数的单调性时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来确定函数的单调区间(2)已知函数的单调性求参数的范围，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f(x)0或f(x)0在给定区间恒成立，从中求出参数范围，但应注意能否取到等号需要单独验证1函数f(x)x33x21的单调递减区间为()A(2，)B(，2)C(，0) D(0,2)解析：选Df(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得0x2，所以f(x)的单调递减区间为(0,2)2已知函数f(x)x，则f(x)在(0，)上的单调性为()Af(x)在(0，)上是增函数Bf(x)在(0,1)上是增函数，在(1，)上是减函数Cf(x)在(0，)上是减函数Df(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数解析：选C因为f(x)10，所以f(x)在(0，)上是减函数，选C.3若函数h(x)2x在(1，)上是增函数，则实数k的取值范围是()A2，) B2，)C(，2 D(，2解析：选A根据条件得h(x)20在(1，)上恒成立，即k2x2在(1，)上恒成立，所以k2，)4已知函数f(x)ln x，则有()Af(2)f(e)f(3) Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2) Df(e)f(3)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以有f(2)f(e)0，则cos x.又x(0，)，解得x0)的单调递减区间为_解析：函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，f(x)1，令f(x)0，则(x)(x)0，x0，得a.所以当