高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件：43平面向量的数量积(共49张.ppt

第三节 平面向量的数量积,三年24考 高考指数: 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 5.会用向量方法解决简单的平面几何问题.,1.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直是重点也是难点； 2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识点交汇则以解答题为主.,1.平面向量的数量积 (1)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为 ，则向量a与b的数量积是数量_，记作ab，即 ab =_. (2)向量的投影 设为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是_； 向量b在a方向上的投影是_. (3)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度 与_ _的乘积.,【即时应用】 (1)已知正三角形ABC的边长为1，则 =_； 在 方向上的投影为_. (2)已知 ，则向量 的夹角等于 _.,【解析】(1) 在 方向上的投影为 cosA=1cos60= . (2) 又0180,=60. 答案：(1) (2)60,2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，为向量a,b的夹角.,x1x2+y1y2=0,【即时应用】 (1)思考：若ab0，是否说明向量a和b的夹角为钝角？ 提示：不一定，也可能是平角. (2)已知a=(1，-1)，b=(2,4),判断下列命题的真假(请在 括号内填“真”或“假”) ( ) 若为向量a、b的夹角，则 ( ) 若 则=1 ( ) ( ),【解析】 故真. 真. =(1,-1)+(2,4)=(2+1,4-1)， =(2+1)-(4-1)=-2+2=0， =1,真. a+b=(3,3),4a+b=4(1,-1)+(2,4)=(6,0)， (a+b)(4a+b)=36+30=18,真. 答案：真 真 真 真,3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律： (2)数乘结合律： =_=_; (3)分配律： =_.,【即时应用】 (1)思考： 与 相等吗？ 提示：不一定相等， 均为实数， ，所以 与 不一定相等. (2)若非零向量a,b满足 则a与b的 夹角为_.,【解析】设a,b的夹角为， 又 0，0180， cos=- ,=120. 答案：120,平面向量数量积的运算 【方法点睛】 1.平面向量的数量积问题类型及求法 (1)已知向量a、b的模及夹角，利用公式 求解； (2)已知向量a、b的坐标，利用数量积的坐标形式求解.,2.利用数量积求解长度问题的处理方法 (1) (2) (3)若a=(x,y),则|a|=,【例1】(1)(2011大纲版全国卷)设向量a,b满足 则 =( ) (A) (B) (C) (D) (2)(2011湖南高考)在边长为1的正三角形ABC中，设 则 =_. (3)(2011辽宁高考改编)已知向量a=(2,1),b=(-1,k), 则 =_.,【解题指南】(1)借助 求解； (2)用基向量 表示向量 ； (3)借助 求k，进而求 【规范解答】(1)选B. ,(2)由题意画出图形如图所示，取基底 ，结合图形可 得 = = 答案：,(3) =2(2,1)-(-1,k)=(5,2-k)， 由 得 =10+(2-k)=0, k=12, =(-1,12), 答案：-140,【互动探究】若本例(2)题条件改为“若D、E分别为边BC、 AC的中点”，又该如何求 ？ 【解析】D、E分别为BC、AC的中点， ,【反思感悟】平面向量的数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角；二是利用坐标来计算.对于第一种形式，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化.,【变式备选】在ABCD中，AC为一条对角线，若 = (2，4)， =(1，3)，则 =_. 【解析】 答案：8,平面向量的垂直问题 【方法点睛】两向量垂直的判断方法及应用 (1)若a,b为非零向量，则 ；若非零向量a=(x1, y1),b=(x2,y2),则 x1x2+y1y2=0. (2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径. 【提醒】向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可用来解决几何中的线线垂直问题.,【例2】已知 若AOB是以 O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量 . 【解题指南】设出向量b=(x,y)，利用 列出方程组，求出b. 【规范解答】方法一：设向量b=(x,y),则 由题意可知, 从而有：,解得 或 所以 或,方法二：设向量b=(x,y)，依题意， 则 所以 所以向量b是与向量a相互垂直的单位向量， 即有 解得 或,【反思感悟】坐标表示下的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题.化形为数，从而使向量问题数字化.,【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,2)、 B(2,3)、C(2,1). (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足 求t的值. 【解析】(1)由题设知 =(3,5), =(-1,1), 则 所以 故所求的两条对角线的长分别为,(2)由题设知： =(2,1)， 由 即(3+2t,5+t)(-2,-1)=0, 从而5t=-11,所以t=- .,平面向量的夹角的求法 【方法点睛】求向量夹角的方法 (1)利用向量数量积的定义知， 其中两向量夹 角的范围为0180，求解时应求出三个量： 或者找出这三个量之间的关系. (2)利用坐标公式，若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则,(3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用正余弦定理，三角形的面积公式等求解. 【提醒】ab000(0)是为锐角(钝角)的必要而不充分条件.,【例3】(1)(2011湖北高考)若向量a=(1,2),b=(1,-1), 则2a+b与a-b的夹角等于( ) (A) (B) (C) (D) (2)(2011浙江高考)若平面向量 满足 且以向 量 为邻边的平行四边形的面积为 ，则 的夹角的 取值范围是_.,【解题指南】(1)先求出2a+b、a-b的坐标，再用夹角的坐 标公式求夹角. (2)利用平行四边形的面积可得出sin的范围，进而求出夹 角的范围. 【规范解答】(1)选C. 2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3)， a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3)， ,又0，= . (2)由 可得， 答案：,【互动探究】若将本例(1)题干中向量a改为(1，k)，k-1， 且 的夹角为锐角，则如何求实数k的取值范围？ 【解析】2a+b=(3,2k-1), a-b=(0,k+1)， k-1,2a+b、a-b均不是零向量，且夹角为锐角， (2a+b)(a-b)0， 即(2k-1)(k+1)0,k , 当2a+b与a-b共线时，3(k+1)-(2k-1)0=0, k=-1又k-1,2a+b与a-b不共线， 故k的取值范围为：k .,【反思感悟】求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求cos,进而求，要注意0,.,【变式备选】已知A(2，0)，B(0，2)，C(cos，sin)，O为坐标原点， (1) 求sin2的值. (2)若 ,且(-,0),求 与 的夹角. 【解析】(1),sin+cos= ，1+2sincos= ， (2) =(2,0), =(cos,sin)， =(2+cos,sin)， 即4+4cos+cos2+sin2=7 4cos=2即cos= . -0,=- .,又 设为 与 的夹角， = .,【满分指导】平面向量主观题的规范解答 【典例】(12分)(2011陕西高考)叙述并证明余弦定理. 【解题指南】利用向量数量积证明，由 把 展开利用 代入，即可 证明.,【规范解答】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边 的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在 ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，有 a2=b2+c2-2bccosA, b2=c2+a2-2cacosB, c2=a2+b2-2abcosC. 4分 证明：如图，, 8分 =b2-2bccosA+c2， 即a2=b2+c2-2bccosA， 10分 同理可证b2=c2+a2-2cacosB, c2=a2+b2-2abcosC. 12分,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.(2011重庆高考)已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b 与a共线，那么ab的值为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】选D.a+b=(3,2+k),因为a+b与a共线，所以 2+k-3k=0,解得k=1,所以ab=12+12=4.,2.若非零向量a,b,c满足ab且ac，则 = ( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)0 【解析】选D.ab且ac， 从而 ,3.(2011辽宁高考)若a，b，c均为单位向量，且 则 的最大值为( ) (A) (B)1