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,第十一章,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区 间 平面域 空间域,曲线积分,曲线弧,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,对弧长的曲线积分,第十一章,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在空间所占,其线密度为,“分割作近似，求和取极限。”,可得,为计算此构件的质量,1.引例: 曲线形构件的质量,采用,设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,都存在, 上对弧长的曲线积分,记作,若通过对 的任意分割,局部的任意取点,2.定义,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为被积函数，, 称为积分弧段 .,曲线形构件的质量,和对,如果 L 是 xOy 面上的曲线弧,如果 L 是闭曲线 , 则记为,则定义对弧长的曲线积,分为,思考:,若在 L 上 f (x, y)1,3. 性质,（, 为常数),( 由 组成),( l 为曲线弧 的长度),二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,定理:,且,上的连续函数,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,说明:,因此积分限必须满足,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,推广: 设空间曲线弧的参数方程为,则,例1. 计算,其中 L 是抛物线,与点 B (1,1) 之间的一段弧 .,解:,上点 O (0,0),例2. 计算曲线积分,其中 为螺旋,的一段弧.,解:,线,例3. 计算半径为 R ,中心角为,的圆弧 L 对于它的对,称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1).,解: 建立坐标系如图,则,例4. 计算,其中 为球面,解:,化为参数方程,则,内容小结,1. 定义,2. 性质,( l 曲线弧 的长度),3. 计算, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧,
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