高等数学第四章中值定理与导数的应用.ppt

第 四 章,微分中值定理 与导数的应用,1微分中值定理,1.1罗尔(Rolle)定理,21.2拉格朗日(Lagrange)中值定理,1.3柯西(Cauchy)中值定理,微分中值定理,函数的性态,导数的性态,1.1罗尔(Rolle)定理,使得,图1,在定理的条件下, 区间 内至少存在,一点 ，使得曲线在点 具有水平切线 。,几何意义：,(3),有且仅有两个实根，并指出根存在的区间.,证 方程 有解,使得,又,为二次函数，最多有两个实根，故,1.2拉格朗日中值定理,或写成,上述公式称为拉格朗日中值公式。,0,A,B,N,M,图2,推论 设函数,即,其中C为常数.,为常数.,满足定理2的条件，从而,使得,例3 证明,证令,即,所以,又,证,由上式得,1.3柯西(Cauchy)中值定理,且,2 洛必达法则,定义,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,( 或 型),洛必达法则,本节研究:,2.1 型未定式,例1求,解,例2 求,解,例3 求,解,注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !,2. 2 型未定式,定理2 设 满足条件:,(3) 存在或为,例4 求,解,例5 求,2. 3其它类型的末定式,提示:对,型，再利用洛必达法则求值。,先将其转化为,解决方法:,取倒数,即,例7 求,解,若遇有对数函数或反三角函数, 取倒数时一般应,将对数函数或反三角函数保留在分子.,提示,例8 求,解,一般是通过通分或有理化的,解决方法:,先取对数,将其转化为,解决方法:,例9 求,解 设,于是,取对数得,10,例11 求,提示:先作一个等价无穷小代替，再用洛必达法则.,解,例如,而,用洛必达法则,1) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 .,说明:,例12,极限不存在,2) 若,3 利用导数研究函数的性质,3.1 函数的单调性,例1判定函数,解 函数的定义域为,.,又,均为弧立点,在 内,函数单调增加 .,的单调性。,导数等于零的点(驻点)和不可导点，可能是单调区间的分界点,问题: 如上图，函数在定义区间上不是单调的，但在各个 部分区间上单调,定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区 间称为函数的单调区间.,方法: 用方程 f (x) = 0 的根及 f (x) 不存在的点来划分 函数 f (x) 的定义区间,然后判断区间内导数的符号。,例 确定函数 f (x) = 2x3 9x2 + 12x 3 的单调区间.,解：,f (x) =,6x2 18x + 12,= 6(x 1) (x 2),令 f (x) = 0，,得 x = 1，x = 2，,x,f (x),f (x),1,2,(,1),(1, 2),(2,+),+,+,0,0,2,1,故 f (x) 的单调增区间为 (,1)， (2,+)； 单调减区间为 (1, 2) .,列表讨论,(1) 单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点。,例如，,(2) 如果函数在某驻点两边导数同号， 则不改变函数的单调性。,例如，,说明：,函数的单调性在证明中的应用,1.利用函数的单调性证明不等式,例3 证明：当,证 取,小结 利用函数增减性证明函数不等式（在某,指定区间内）的步骤为:,(1)移项，使不等式一边为0,另一边设为函数 ；,作比较即得所证。,2.利用函数的单调性证明方程根的唯一性,例4 试证方程,有且仅有一个根。,有一个实根.又,最多,即c为上方程的根。故方程有且只有一个根.,在,3.2 函数的极值,定义1 设函数 在区间 内有定义,极大值和极小值统称为极值;极大值点和极小值点统称为极值点。,3.2 函数的极值,(是极值点情形),(不是极值点情形),+,+,+,+,解 函数的定义域为,列表讨论:,列表讨论如下:,在 处取得极大值 .,(2)当 时, 函数 在 处取得极小值.,(1)当 时, 函数 在 处取得极大值;,解,令,是函数的极大值点, 为极大值;,是函数的极小值点, 为极小值.,4.3函数的最大值和最小值,求最值的一般步骤:,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值;,设 在 上连续.,上的最大值,最小者为最小值.即,例8求函数,在 上的,最大值、最小值.,解,不予考虑.又,上的最大值和最小值.,d,h,b,解 由,得,及,令,得,例9 把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁,问矩形截面的高h 和宽d 应如何选择才能使梁的,由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，又,在 内只有一个根,得,从而有,( k 为某一常数 ),AC AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为使货,D 点应如何选取?,解: 设,则,总运费,物从B 运到工厂C 的运费最省,问,km ,公路,例10 铁路上 AB 段的距离为120 km , 工厂C 距 A 处20,令,得,又,所以 为唯一的,极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .,从而为最小点 ,解:,cos sin x, cos x,2.,练习：1、,作业：P99 （习题四）,一、中值