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定义4.4 设 若有F上一组不 全为零的数 使得 则称向量组 线性相关.,4.3 向量组的线性相关性,定义4.5 一个向量组如果不线性相关,就称之为线性无关.,则称 线性无关.,定义4.5 设 是一个n维向量组,如果 对于数 只要 就必有 那么就称向量组 线性无关.,换言之,如果不存在一组不全为 零的数 使得,定义4.5又可以等价地定义如下：,例4.2 n维单位向量 线性无关.,证明 若,则有,从而,即,例4.3(第131页）,证明 齐次线性方程组(1)相当于向量等式,(2),若 线性无关,故只有 满足方程组(1).,反之,若(1)只有零解,则仅当 时(2)式才成立.,故 线性无关.,推论 设 同以上定理. 线性相关当且仅当(1)有非零解. 若(1)的 非零解为 ,则,定理4.4 设 是n个n维向量.当行列式,时,向量组 线性无关.,例 讨论以下向量组的线性相关性.,= (5, 2, 9), = (2, -1, -1), = (7, 1, 8).,1) = (1, 1, 1), = (1, 2, 1), = (1, 0, 0);,解 1)因为行列式,所以 线性无关.,有非零解,2)因为以 为系数列向量的齐次线性方程组,例如,对于 中的向量 =(2, -1, 3, 1), =(4, -2, 5, 4) , =(2, -1, 4, -1),因为,所以 是 的一个线性组合.,定义4.6 向量 称为向量组 的一个线性组合,如果存在m个数 ,使得 其中 称为组合系数.此时也称,线性表示.,又如 ，任一n维向量,向量 称为n维单位向量.,组合系数恰为 的各个分量，即,的线性组合，,定义4.7:,设 和 是向量空间中的两个向量组. 如果每一个 都可以由 线性表示,而每一 也可以由 线性表示, 那么就说这两个向量组等价.,向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性.,定理4.5 向量组 (m2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.,证明 必要性:若向量组 线性相关,则存在一组不全为零的数 ,使得,因为 不全为零,所以其中至少有 一个不为零.不妨设,则,即 是其余向量的线性组合.,充分性:若向量组 中至少有一个向 量是其余向量的线性组合,不妨设,移项,得,因为上式中 的系数-10,所以-1, 不全为零,故
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