浙江专用高考数学大一轮复习第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第1节函数及其表示习题含解析.docx

第1节函数及其表示考试要求1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).知 识 梳 理1.函数与映射的概念函数映射两个集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法函数yf(x)，xA映射：f：AB2.函数的定义域、值域(1)在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.常用结论与易错提醒1.由函数解析式确定定义域的原则(1)分式中，分母不为0；(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对于幂函数yx，如果0，要求x0；(4)对数函数中，真数大于0，底数大于0且不等于1；(5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数ytan x要求xk，kZ.2.与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数y1与yx0是同一个函数.()(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.()(3)函数y1的值域是y|y1.()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()解析(1)函数y1的定义域为R，而yx0的定义域为x|x0，其定义域不同，故不是同一函数.(3)由于x211，故y10，故函数y1的值域是y|y0.(4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修1P25B2改编)若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是()解析A中函数定义域不是2，2，C中图形不表示函数图象，D中函数值域不是0，2.答案B3.设函数y的定义域为A，函数yln(1x)的定义域为B，则AB()A.(1，2) B.(1，2 C.(2，1) D.2，1)解析由4x20得2x2，A2，2，由1x0得x1，B(，1).AB2，1)，故选D.答案D4.已知a为实数，设函数f(x)则f(2a2)的值为()A.2a B.a C.2 D.a或2解析因为2a22，所以f(2a2)log2(2a22)a，故选B.答案B5.设函数f(x)2x3，g(x2)f(x)，则g(x)_.解析由题意得g(x2)2x32(x2)1，g(x)2x1.答案2x16.设函数f(x)则f_，方程f(f(x)1的解集为_.解析因为fln ，所以ffeln .令f(x)t，由f(t)1，解得t0或te，所以再解f(x)0及f(x)e，解得x1或xee，所以方程f(f(x)1的解集为1，ee.答案1，ee考点一求函数的定义域【例1】 (1)(2019金丽衢十二校联考)函数y的定义域是_，值域是_.(2)若函数yf(x)的定义域是1，2 020，则函数g(x)的定义域是_.解析(1)由32xx20，得3x1，所以函数y的定义域为3，1.当x1时，y取得最大值2，当x1或3时，y取得最小值0，所以函数y的值域为0，2.(2)yf(x)的定义域为1，2 020，g(x)有意义，应满足0x2 019，且x1.因此g(x)的定义域为x|0x2 019，且x1.答案(1)3，10，2(2)x|0x2 019，且x1规律方法求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)若已知f(x)的定义域为a，b，则f(g(x)的定义域可由ag(x)b求出；若已知f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域.【训练1】 (1)(2019杭州高级中学测试)已知函数f(x)的定义域为(1，2)，则函数f(x2)的定义域是()A.(1，2) B.(1，4)C.R D.(，1)(1，)(2)已知函数f(x)，当a1时不等式f(x)1的解集是_；若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是_.解析(1)由题意，得1x22，解得x1或1x1)，则x，f(t)lg，即f(x)lg(x1).(3)在f(x)2f1中，将x换成，则换成x，得f2f(x)1，由解得f(x).答案(1)1(2)lg(x1)(3)规律方法求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).(4)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.【训练2】 (1)已知f(1)x2，则f(x)_.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x).若当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_.(3)定义在(1，1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，则f(x)_.解析(1)令1t，则x(t1)2(t1)，代入原式得f(t)(t1)22(t1)t21，所以f(x)x21(x1).(2)当1x0时，0x11，由已知f(x)f(x1)x(x1).(3)当x(1，1)时，有2f(x)f(x)lg(x1).将x换成x，则x换成x，得2f(x)f(x)lg(x1).由消去f(x)得，f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1，1).答案(1)x21(x1)(2)x(x1)(3)lg(x1)lg(1x)，(1x1，f(log212)2(log2121)2log266，因此f(2)f(log212)369.答案C角度2求参数的值或取值范围【例32】 (1)设f(x)若f(a)f(a1)，则f()A.2 B.4 C.6 D.8(2)设f(x)则f(f(1)_；不等式f(x)2的解集为_.解析(1)由已知得0a1，a11.f(a)f(a1)，2(a11)，解得a，ff(4)2(41)6.(2)f(1)2e02，f(f(1)f(2)log3(41)1.当x2时，f(x)2即ex11e0，x1，1x2.当x2时，f(x)2即为log3(x21)2log332，x210，即x或x，x.答案(1)C(2)1(1，2)(，)规律方法(1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数值的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练3】 (1)已知函数f(x)且f(a)3，则f(6a)()A. B. C. D.(2)已知函数f(x)则不等式f(x)1的解集是_.解析(1)当a1时，f(a)2a123，即2a11，不成立，舍去；当a1时，f(a)log2(a1)3，即log2(a1)3，解得a7，此时f(6a)f(1)222.故选A.(2)当x0时，由题意得11，解之得4x0.当x0时，由题意得(x1)21，解之得00，解得x1或x0，有yx成立.答案C9.(2019北京石景山区一模)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步过程.设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的()A.点M B.点N C.点P D.点Q解析由图知固定位置到点A距离大于到点C距离，所以舍去N，M点，不选A，B；若是P点，则从最高点到C点依次递减，与图1矛盾，因此取Q，即选D.答案D二、填空题10.函数f(x)ln的定义域为_.解析要使函数f(x)有意义，则00，所以flog2x，则f(x)log2log2x.答案f(x)log2x13.设函数f(x)若f(a)f(2)，且a2，则a_，f(2a)_.解析f(2)16412，故f(a)12，而a2，故2a112，解得：alog2113，故2alog21213，故f(2a)f(log2121)2log212111211122.答案log21112214.已知函数f(x)若f(a)f(a)0，则实数a的取值范围是_.解析依题意可知或解得a2，2.答案2，2能力提升题组15.设xR，定义符号函数sgn x则()A.|x|x|sgn x| B.|x|xsgn|x|C.|x|x|sgn x D.|x|xsgn x解析当x0时，|x|x，sgn x1，则|x|xsgn x；当x0时，|x|x，sgn x1，则|x|xsgn x；当x0时，|x|x0，sgn x0，则|x|xsgn x.答案D16.设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A. B.0，1C. D.1，)解析由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当a1时，有3a11，a，a0恒成立，则f(x)的解析式可能是()A.f(x) B.f(x)exC.f(x)x2 D.f(x)lg解析A中，f(f(x)fx(x0)恒成立，所以f(f(x)x0不恒成立，A错误；B中，因为exx，所以eexexx，所以f(f(x)eexx恒成立，B正确；C中，f(f(x)x4x，此方程有x0或x1两个根，所以f(f(x)x0不恒成立，C错误；D中，x0时，f(f(x)x成立，所以f(f(x)x0不恒成立，D错误.故选B.答案B19.已知函数f(x)则f(f(3)_，f(x)的最小值是_