第七届华中地区大学生数学建模邀请赛

第七届华中地区大学生数学建模邀请赛承 诺 书我们仔细阅读了第七届华中地区大学生数学建模邀请赛的竞赛细则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们的参赛报名号为： 参赛队员 (签名) ：队员1： 队员2： 队员3： 武汉工业与应用数学学会第七届华中地区大学生数学建模邀请赛组委会第七届华中地区大学生数学建模邀请赛编 号 专 用 页选择的题号： A 参赛的编号： （以下内容参赛队伍不需要填写） 竞赛评阅编号： 目录摘要- 1 -1.问题重述- 2 -2.问题分析- 2 -3.模型假设- 2 -4.符号说明- 3 -5.模型建立与求解- 4 -5.1 问题一- 4 -5.2 问题二- 9 -5.3 问题三- 12 -6.模型的优缺点分析- 13 -6.1模型优点：- 13 -6.2模型缺点：- 13 -7.参考文献- 13 -8.主要附件- 14 -8.1 B、C两组数据图- 14 -8.2 matlab程序- 16 -第七届华中地区大学生数学建模邀请赛题目：加速度检测仪数据矫正问题摘要声屏障检测仪借助内部加速度检测仪，记录加速度随时间变化的振动信号，通过数值积分的方式，获得声屏障在脉动风作用下的位移-时间图像，从而判断是否需要对声屏障进行维修。由于实际测量中，加速度检测仪所记录数据存在随机误差与系统误差，故需要对数据进行校正。本文通过建立一种基于卡尔曼滤波和反向补偿法的数学模型，来消除测量数据存在的随机误差与系统误差。对于问题一，应用matlab软件获得加速度-时间散点图，经观察发现存在一些加速度值偏差较大的散点，即存在随机误差。由于本次采样样本较大，随机误差服从正态分布，故其误差出现在范围内的概率为99.7%（其中，为三组数据的标准误差估计值）。通过对比三组数据的速度-时间图像，得出加速度检测仪测量数据的系统误差规律，即反向加速度绝对值普遍大于正向加速度值。对于问题二，采用卡尔曼滤波法对随机误差进行有效消除，滤波后的数据标准差明显减小。再利用反向补偿法对系统误差进行消除，使正向与反向加速度误差减小，最终得到较为符合实际的结果，即最终速度为0，位移为一稳定值。对于问题三，由于电梯运动以及弹簧秤中弹簧运动情况与声屏障类似,故可将上述校正数据的模型推广到这两种场景中。关键词：数据校正，复化simpson积分公式，卡尔曼滤波，反向补偿法 1. 问题重述声屏障检测仪借助内部加速度传感器，通过密集采样的方式记录车辆经过时声屏障振动而产生的加速度数值。将加速度数据通过数值积分，按照加速度-位移的物理公式将加速度数据转化为震动的位移，并通过震动位移对声屏障状态进行判断。而在试验中，传感器测得的加速度数据通常会存在系统误差与随机误差，故而在测得数据后，需要进行误差校正。本题要求用数学建模的方法研究以下三个问题：问题一：基于和物理公式，通过数值积分的方法计算声屏障的速度、位移，并基于给定数据对模型进行仿真计算，判断声屏障检测仪是否存在明显误差。并从随机误差、系统误差两个角度对数据进行误差分析。问题二：基于问题一中速度和位移的数值积分计算模型和误差分析结果，建立数学模型，对速度数据进行系统误差校正以及随机误差数据滤波，要求尽量消除误差，使得速度和位移的计算结果基本符合物体运动事实。问题三：对建立的数据处理方法和模型进行推广，并结合改进方案阐述推广理由。2. 问题分析声屏障检测仪基于内部加速度传感器，以密集采样的方式记录车辆经过时声屏障振动而产生的加速度数值。但在加速度传感器采样过程中会出现误差，而且在任何一次测量中，系统误差与随机误差一般都是同时存在的。对于问题一，基于和物理关系，以及复化simpson积分公式，通过matlab程序给出基于给定数据的模型仿真。将实际值与理论值进行对比，判断声屏障检测仪是否存在明显误差。由于采集中经常采用的是动态的扫描测量方式，不可避免地会受到随机干扰信号的影响，从而产生随机误差，通过计算采样数据置信区间，判断随机误差的大小。其次，密集采样过程中会因传感器自身灵敏度等原因造成系统误差，通过对三组加速度数据积分所得速度-时间图像对比，总结出系统误差规律。此外，利用复化simpson公式对加速度进行积分造成的误差极小，故在此忽略积分公式的误差。对于问题二，基于问题一对误差的分析结果，建立数学模型，通过滤波方法对加速度数据进行校正，以消除随机误差，再采用反向补偿法对系统误差进行消除，最终使得速度和位移的计算结果基本符合物理运动事实。对于问题三，总结上述对加速度检测仪所采集数据的校正方法，将其合理推广于加速度变化情况与之相似的场景中，并作合理阐述。 3. 模型假设（1） 在三组数据采集过程中，加速度检测仪所处外界环境基本相同。（2） 数据来源真实可靠。（3） 试验过程中，仅考虑声屏障在水平方向的运动，即仅存在水平方向的加速度。4. 符号说明加速度振动信号速度振动信号位移振动信号采样频率初始速度初始位移加速度测量值加速度理论值随机误差系统误差标准误差加速度平均值标准误差估计值三组数据的标准误差估计值经过滤波后的三组数据标准误差估计值点加速度理论值点加速度实际值点加速度误差值点加速度实际值点加速度误差值5. 模型建立与求解5.1 问题一（1）模型的建立：参考附录所提供的数据，应用matlab软件，导入三组数据，绘制各组数据的加速度散点图，绘制结果如下：单方向由A到B：从C到D后再返回到C：从E点到F点，再由F到E，并再重复一次：由上述三组加速度散点图可以看出，声屏障运动大致符合速度的变化先快速增大，缓慢达到极值，速度下降由慢到快，直至速度降为0的情况，但明显存在少数偏差较大的散点。以下对速度-时间、位移-时间进行matlab仿真。设加速振动信号为，根据，间的物理关系，可知速度信号位移振动信号式中：为的原函数；为初始速度；为的原函数；为初始位移。数值积分的方法很多，如梯形公式、中矩形公式、simpson公式、牛顿-科特斯公式、复化梯形公式等。由于传感器采集的加速度振动信号的采样频率较高，因此采用复化simpson积分公式，可得：速度信号，位移信号，（2）模型的求解用matlab编程，基于给定三组数据对模型进行仿真，得到速度与位移的图像，所得结果如下：单方向由A到B：从C到D后再返回到C：从E点到F点，再由F到E，并再重复一次：（3）结果分析整理A组采样加速度数据散点图与速度、位移仿真图像如下：从上述组图可以看出，当加速度-时间图在P点时，即加速度为0时，速度-时间图以及位移-时间图相应的点为P点，此时，速度不为0，位移不处于最大值点。理想情况下，当加速度-时间图P点时，对应的速度-时间图以及位移-时间图的Q点， 即此时速度为0，位移达到最大值。但实际仿真的波形图显示结果并非如此，因此认为声屏障检测仪存在明显误差。（4）误差分析加速度测量值与理论值之间存在测量误差。测量误差一般是由随机误差与系统误差组成，即有：。随机误差也成为偶然误差，它的出现从表面上看是毫无规律的，似乎是纯属偶然的。在任何测量中，随机误差都是不可避免的，而且在同一条件下重复进行的各次测量中，随机误差的出现或大或小，或正或负，各有特性而不相雷同。而就其总体来说,却具有某些内在的共性，即具有一定的统计规律。利用概率论的一些理论和统计学的一些方法，可以掌握随机误差的若干规律，并对误差大小进行估算。由于密集采样过程中，样本容量均远大于30，故认为随机误差服从正态分布，亦称高斯分布，它满足的概率密度分布函数为：在实际测量中，由于样本容量不能无限大，故此时的算术平均值不是真值，对标准误差的实际处理只能进行估算。利用数理统计理论，可以得到对偏差进行估价的贝塞尔公式为：而是的最佳估计值。借助matlab软件，可得到本次实验中的三组数据的标准偏差分别为：由概率密度分布函数可知，测量值的随机误差出现在的范围内的概率为99.7%，即认为所测得的全部数据中，将有99.7%的数据其随机误差落入置信区间。系统误差的出现一般是有规律的，在同一测量条件下，多次重复测量同一值时，观测值总往一个方向偏差，测量误差的绝对值和正负号在重复多次测量中几乎相同，都保持基本不变。产生系统误差的原因可能各不相同，但是它们具有共同的特点，即确定的变化规律。以下，对本题目中的系统误差做规律性分析。由于加速度散点图图像密集不易区分判断，故这里采用复化simpson积分公式对加速度积分后，得到的速度-时间图像进行分析。此外，用复化simpson公式积分产生的误差可以表示为，其中c为一个较小常数，又因为Hz，所以积分对速度以及位移的影响极小，故在此忽略不计。根据上图三组速度-时间分布规律，不难看出，每经过一次单方向运动后的速度值总会减小，亦即加速度散点图中的波峰积分值小于波谷积分值。从物理学角度讲，即认为声屏障检测仪所测得的反向加速度值普遍高于正向运动时的加速度值，认为此类误差为定值系统误差。可通过反向补偿法，来修正数据。5.2 问题二基于问题一中对随机误差与系统误差的分析，对加速度数据进行校正，以此来消除误差。对随机误差，我们可以通过matlab编程，运用卡尔曼滤波法对加速度数据进行降噪处理，以有效地消除随机误差。下图为经过多次滤波后得到的加速度散点图：由图像可以明显看出，经过滤波处理后，明显剔除了偏差较大的散点，最终得到分布较为集中的散点图，亦即有效地消除了随机误差对数据的影响。经过滤波后，由贝塞尔公式得：由于故，经过滤波后，随机误差极大地减小。在有效去除随机误差后，再来对系统误差进行研究。本题目中存在的是定值系统误差，且测量误差的绝对值和正负号在重复多次测量中几乎相同，保持基本不变。因此，我们采用反向补偿法来有效消除系统误差，改变原数据加速度方向使误差符号相反，从而抵消不变的系统误差。对声屏障每一次的单向运动过程，依据加速度变化的物理规律可知，相同物理环境下，在速度增大和减小的过程中，存在对称的加速度点，其值互为相反数。在该问题中，以处于正向加速过程中的任意一点M为例进行阐述。假设点的理论值为，实际值为，误差为，则有：。与其对称的点加速度理论值为，实际值为，误差为，则有：。此时与实际值的绝对值之差为。现对与的实际值取相反数，分别为：、，则为反向加速度，为正向加速度。将新得到的正向与反向加速度分别与原来的正、反向加速度相加后取平均值：则得到新的正反向加速度分别为：，。由于，故可知新得到的加速度比原始数据的误差小，且正向、反向加速度大小相同。以下通过matlab编程给出消除随机误差以及系统误差后的加速度-时间、速度-时间、位移-时间图像：单方向由A 到B：（第二组及第三组数据图像详见附件）上图为消除系统误差与随机误差后得到的加速度-时间散点图，可以看出，经处理过的数据，其分布明显变得均匀。上图为对未处理过的数据积分所得的速度-时间图像，与对经过处理的加速度积分所得的速度-时间图像。从图像上可以明显看出，未处理过的图像不符合实际物理规律，而处理过的图像基本与现实情况相符，即当加速度为0时，速度也为0。上图显示，经过处理的数据得到的位移-时间图像基本符合实际情况，即最终加速度为0时，位移达到最大值，且不会下降。5.3 问题三声屏障检测仪的原理是通过加速度传感器密集采样记录加速度值，然后通过数值积分对加速度值处理得出位移。在现实生活中，弹簧秤的工作原理是通过弹簧的形变量来求物体的重力。而弹簧形变过程中的加速度与声屏障类似，服从一个正弦变换。速度的变化也是先快速增大，缓慢达到极值，速度下降由慢到快，直至速度降为0，且最终的位移也是一个稳定值，最后再根据位移来确定受力大小。因此，可以使用与本题目相同的方法进行数据处理。该加速度检测仪还可以用于测量电梯的加速度。电梯上升和下降的过程加速度变化情况也与声屏障类似。而对测量出的电梯的加速度积分求出其位移，可以用来判断电梯是否有故障。在这两个场景中，均需通过加速度来求位移，而正反方向的加速度应该对称，因此用我们的处理数据的方法同样可以减小误差，最后使位移为一个稳定值而不是一个变化的值。6. 模型的优缺点分析6.1模型优点：（1）充分利用了附表中的数据，通过对图表中数据的分析，合理地筛选出有效数据，提高了模型建立的准确性。（2）模型简单，能够有效地消除系统误差，并减小随机误差。（3）数据处理方法简捷，在大样本情况下仍然能够快速地对数据进行有效处理，且算法简单，计算量小。（4）该模型具有普适性，可以推广到其他具有类似运动情况的场景中。6.2模型缺点：（1）建模方法较单一，对于同一问题没有建立多个模型，无法进行多种方法的分析比较。（2）在消除系统误差的过程中，需要人为确定声屏障受到脉动风作用的起始时刻，来完成反向补偿法的matlab编程。7. 参考文献1 邓自立,卡尔曼滤波与维纳滤波，哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2001年：63-682 施浒立,赵彦,误差设计新理念与方法，北京：科学出版社，2007年：43 赵黎，王丰，大学物理实验，上海：复旦大学出版社，2013年：7-4 陈为真，汪秉文，胡晓娅，基于时域积分的加速度信号处理，华中科技大学学报(自然科学版，第38卷，第1期，2010年1月 5 吴畅，浅析系统误差消除法，计量技术，2001年8. 主要附件8.1 B、C两组数据图以下为经过数据校正后得到的B、C两组加速度-时间图像、速度-时间图像、位移-时间图像：由从C到D后再返回到C：从E点到F点，再由F到E，并再重复一次：8.2 matlab程序（1）加速度-时间散点图绘制%数据组：ABC%功能：计算数据ABC的均值和标准差导入ABC三组数据并绘图显示clearformatlonggA_value=textread(value_A.txt,%.8n,1395);B_value=textread(value_B.txt,%.8n,3134);C_value=textread(value_C.txt,%.8n,2397);figure();plot(A_value,+r);holdon%figure();plot(B_value,+b);holdon%figure();plot(C_value,+k);holdongridon%图形注视及美化%legend(加速度采样值);%xl=xlabel(采样时间T（ms）);%yl=ylabel(加速度a（g*m2/s）);%set(xl,fontsize,14);%set(yl,fontsize,14);%title(fontsize15A-B加速度时间采样图);%plot(700700,-22,k,LineWidth,3);holdon;%text(720,2,P,fontsize,16);%plot(670670,1-3,k,LineWidth,3);holdon;%text(630,1,Q,fontsize,16);%计算各组数据平均值及标准差A_average=mean(A_value);A_std=std(A_value);A_averageA_stdB_average=mean(B_value);B_std=std(B_value);B_averageB_stdC_average=mean(C_value);C_std=std(C_value);C_averageC_std（2）数据处理程序（以A组数据为例）%数据组：A%功能：消除A组数据系统误差以及随机误差%算法：卡尔曼滤波法反向补偿法clear%提取数据组A的值formatlonggA_value=textread(value_A.txt,%.8n,1395);%subplot(1,2,1),plot(A_value,+k);holdon%绘制A组数据散点图%gridon%title(fontsize20A组数据原始图);%对A组数据进行二次卡尔曼滤波消除随机误差N=1395;A_filter_1=zeros(1,N);A_filter_1(1)=A_value(1);%为A_filter_1(k)赋初值p(1)=1;%A_filter_1(1)对应的协方差Q=cov(randn(1,N);%过程噪声的协方差R=cov(randn(1,N);%测量噪声的协方差fork=2:N%循环里面是卡尔曼滤波的具体过程A_filter_1(k)=A_filter_1(k-1);p(k)=p(k-1)+Q;Kg(k)=p(k)/(p(k)+R);%Kg为KalmanGain,卡尔曼增益A_filter_1(k)=A_filter_1(k)+Kg(k)*(A_value(k)-A_filter_1(k);p(k)=(1-Kg(k)*p(k);end%plot(A_filter_1,+k);holdonA_filter_2=zeros(1,N);A_filter_2(1)=A_filter_1(1);%为x(k)赋初值p(1)=1;%x(1)对应的协方差Q=cov(randn(1,N);%过程噪声的协方差R=cov(randn(1,N);%测量噪声的协方差fork=2:N%循环里面是卡尔曼滤波的具体过程A_filter_2(k)=A_filter_2(k-1);p(k)=p(k-1)+Q;Kg(k)=p(k)/(p(k)+R);%Kg为KalmanGain,卡尔曼增益A_filter_2(k)=A_filter_2(k)+Kg(k)*(A_filter_1(k)-A_filter_2(k);p(k)=(1-Kg(k)*p(k);endA_std_2=std(A_filter_2)%subplot(1,2,2),plot(A_filter_2,+k);holdon%title(fontsize20二次滤波后);%gridon%axis(01400-34);%反向补偿法消除系统误差A_filter_2a=-A_filter_2;fori=1:1162A_filter_2b(i)=A_filter_2a(1163-i);end%plot(A_filter_2b,+r);fori=1:1162A_new(i)=(A_filter_2b(i)+A_filter_2(i)/2;end%subplot(1,3,3),%plot(A_new,+k);%最终得到的数据组A的数据%原始数据中第1162个数据之后的数据可以视为无效数据去掉%辛普森公式进行数值积分V代表速度S代表位移V0=0;A0=0;fori=1:1161ifi=1V(i)=V0+A0+4*A_new(i)+A_new(i+1)./6000;el