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高一同步辅导材料（第16讲）主讲：张有光（江苏省常州高级中学 特级教师）一、本讲内容：第五章“曲线运动” 六 匀速圆周运动的实例分析二、学习指导1匀速圆周运动的实例分析在实例分析前，应明确：向心力是按效果命名的力，任何一个力或几个力的合力只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力。教材选择了火车转弯和汽车过拱桥的例子是十分有意义的。但教材只作了一般的分析，在这里我们将作一些略微详细的讨论。（1）火车转弯火车转弯处内外轨无高度差倘若火车转弯内外轨无高度差，火车行驶到此处时，外轨的内侧与火车外轮的轮缘相互挤压，使火车受到外轨内侧的侧压力的作用（如教材P96页图5-33），外轨作用在火车轮缘上的力是使火车转弯的向心力。如果火车转弯时的速率是，转弯处弧形轨道的半径是，火车的质量是，那么。火车的质量和速率都相当大，也相当大。根据牛顿第三定律，外侧车轮的轮缘向外挤压外轨的力跟大小相等、方向相反。外轨在这个力的挤压很容易损坏。转弯处外轨高于内轨若使转弯处的外轨高于内轨，火车行驶到这样的转弯处，其受力情况如教材P96页图5-34所示，支持力与重力的合力指向圆心，成为火车转弯的向心力。设火车的质量为，转弯时的速度为，轨道转弯的曲率半径为，轨道平面与水平面的夹角为，如图1所示，即有 此时重力与支持力的合力刚好等于火车转弯所需要的向心力，外轨与轮缘不相互挤压。在修筑铁路的时候，铁路弯道的半径是根据地形条件决定的。弯道处内外轨高度差应该如何选择，不仅与半径有关，并且取决于火车在弯道上的行驶速度。当路面向圆心一侧倾斜的角度不太大时，由于，其中为轨距，式变为，所以可用来计算值的大小。对于已经修筑好的铁路，转弯处的和已经确定，如果火车速度超过规定的速度，重力和支持力的合力将小于需要的向心力，所差的仍需由外轨对轮缘的弹力来弥补；如果火车的速率小于规定的速度，重力和支持力的合力将大于需要的向心力，超出的则由内轨对内侧车轮轮缘的弹力来平衡。（2）汽车过拱桥在教材P97页上，已分析得出汽车过拱桥时，桥对车的支持力，由此式可以看出汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且是随着汽车速度的增大而减小；当压力为零时，即，这个速度是一个临界速度。当汽车速度时，桥顶所受的压力将比汽车静止在桥顶时要小，随着汽车行驶速度的增大，桥顶所受的压力将减得更小，而当速度时，桥顶所受的压力将等于零。如果速度，则因为没有足够的向心力，汽车就将飞离桥顶不再沿着拱桥做圆周运动。（3）利用向心力公式解题的一般步骤根据题意选好做圆周运动的质点或物体为研究对象。对研究对象进行受力分析，找出作用在研究对象上的所有外力，画出受力图。求出合力。物体做匀速圆周运动时，它的合力方向必定沿着半径方向指向圆心，这个力就是向心力。根据牛顿第二定律和向心力公式列运动方程，如或统一单位，求解作答。2离心现象及其应用教材首先通过实例分析，阐明了什么是离心运动以及产生离心运动的原因。然后介绍了利用离心运动的机械以及如何防止有害的离心运动。我们要明确以下三点：（1）离心运动发生的条件是：当外界提供的向心力突然消失或小于做匀速圆周运动的物体所需要的向心力时，才会发生离心运动。（2）离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是半径越来越大的运动（此时），或沿切线方向飞出的运动（此时）。（3）离心现象的本质是物体惯性的表现。3本章总复习本章讲解了物体做曲线运动的条件以及运动的合成和分解，并讨论了两种曲线运动的规律：平抛运动和匀速圆周运动。同学们可以根据教材P100所列的八个问题，进行小结。但还应该注意以下几点：（1）研究曲线运动的基本方法是运动的合成和分析。而它是以运动的独立性原理为出发点的。即为一个质点同时参与几个运动，则各个运动都可以看作是独立进行的，它们互不影响，同时开始、同时结束。这个法则叫做运动的独立性原理。（2）应用向心力公式解题时应理解是重力、弹力、摩擦力或这些力的合力，只要它们的方向是沿着半径指向圆心的，都可以提供物体做匀速圆周运动时所需要的向心力。不要以为向心力是这几个力以外的另一个单独作用的力。不是质点做匀速圆周运动才产生向心力，而是由于向心力存在才迫使质点不断改变其速度方向而做圆周运动。也就是说，质点做圆周运动时，任一时刻都有沿切线方向飞走的趋势，而向心力的作用正是使质点沿圆周轨道运动。如果某一时刻失去向心力，质点从这时刻起则沿切线方向飞走。三、典型例题例1的卡车以，通过圆弧半径为的凹桥最低点时，受到重力和桥对它的支持力，它们的合力就是使卡车产生向心加速度的向心力（如图2）。即 将 代入上式得根据牛顿第三定律，卡车对桥的压力是。例2某弯路的中心线是处在水平方向上。而中心线的圆弧半径为（图3），路的基面与水平面间的夹角为，如图4。某车以一定速率通过这弯路时，如果速率大于某一值，车就会往外滑出。设车胎与路面间的动摩擦因数为，试推导的表达式。解选车为研究对象，车在斜路基面上转弯行驶时，按题意如果速度等于时，车恰好不会往外滑，此时车共受三个力：重力，斜面对车的支持力，车胎与路基的摩擦力，这三个力的合力就是车作圆周运动的向心力。按图5那样沿两轴作正交分解，得 （1） （2）又 （3） （4）解（1）、（2）、（3）、（4）式得例3取一根绳子，一端系着一个质量为的小球，另一端握在手中，要使小球在竖直平面上作圆周运动，绳子转动的半径为，问小球通过最高点位置时，其线速度最小应为多少？如果速度大于或小于这个值时，小球将会发生什么现象？解在题目所给的情况下，当小球获得足够的速度后，小球作圆周运动。小球通过最高点时，如果不计空气阻力，最多只受两个力，即重力和绳子的拉力，它们的方向都是竖直向下指向圆心，设此时线速度为，则 （1）从上式可知要使最小，要最小，即，也就是绳子和小球间没有相互作用，向心力只由重力供给。这时 这是小球通过最高点位置时所必需的最小的线速度。以表示这个最小的线速度。当时，根据（1）式可知，即绳子对小球有拉力作用。当时，从（1）式可知，即为负值，这对绳子说是不可能的。这种情况下小球不可能通过最高点而在中途将下落，无法作圆周运动。思考题：如果用细术棍代替绳子来使小球转动，而其他条件不变，小球作圆周运动时在最高点处的速度有没有限制？提示：木棍是硬的，系在木棍一端的小球在最高点处的速度如果小于，虽为负值，但这时棍对球具有向上的“举”力作用，所以速度不受限制。例4一根长为的绳子，当受到的拉力时即被拉断。若在此绳的一端拴一个质量为的物体，使物体以绳子的另一端为圆心在竖直面内做圆周运动，当物体运动到最低点时绳子断裂。求（1）物体运动至最低点时的角速度和线速度各是多大？（2）若绳断处物体距地面高，经多长时间物体落至地面？（3）物体落地处距抛出点多远？落地时物体的速度是多大？解（1）如图6所示，当物体运动到最低点时，物体受重力，绳子拉力，根据牛顿第二定律有，由牛顿第三定律可知：绳子受到的拉力和物体拉绳子的力大小相等，绳被拉断时的拉力为，故。由式，绳被拉断时的角速度为物体的线速度（2）绳子断裂后物体以速度做平抛运动。由，得（3）物体落地处距抛出点的水平距离为物体落地时速度的大小为巩固练习 （一）选择题：1下列关于向心力的论述中正确的是（ ） A物体因为受到向心力的作用，才可能做圆周运动； B向心力仅仅是从它产生的效果来命名的，它可以使有初速度的物体做圆周运动，它的方 向始终指向圆心； C向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某一种力，也可以是这些力中某几个力的合力； D向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小。2一圆盘可绕通过圆盘中心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置 一个物体，当圆盘匀速转动时，木块随圆盘一起运动，如图7。那么 （ ） A木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心； B木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心； C因为木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向 相同； D因为摩擦力总是阻碍物体运动，所以木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动 方向相反。3有三个相同材料制成的物体放在水平转台上，它们的质量之比为，它们 与转轴之间的距离为。当转台以一定的角速度旋转时，它们均无滑动，它们受到的 静摩擦力分别为，比较这些力可得（ ） A B C D4如图8所示，三段细线长，三球质量相等， 当它们绕点在光滑的水平桌面上以相同的角速度作匀速圆周运动 时，则三段线的拉力为（ ） A B C D5一小球沿半径为的轨道作匀速圆周运动，若周期为秒，则（ ） A小球的线速度是； B经过，小球的位移是米； C小球的加速度是； D经过，小球速度增量为。6如图9所示，用细线将一小球悬挂在匀速前进的车厢里，当车厢突然制 动时（ ） A线的张力不变； B线的张力突然减小； C线的张力突然增大； D线的张力如何变化无法判断。7如图10所示，两小球质量相同，用轻线把它们连结，并跨过两个无摩擦的定滑轮。 在球左右摆动的时候，则球将（ ） A不动； B向上运动； C上下往复运动 D向下运动。8原来做圆周运动的物体产生离心运动的条件的简略表述，可以是（ ） A当物体需要的向心力等于物体所受合外力时； B当物体需要的向心力小于物体所受合外力时； C当物体所受合外力小于作圆周运动所需要的向心力时； D当物体所受的外力不能与向心力平衡时。（二）填空题：9 一根水平横杆可绕轴在水平面内转动，杆上穿一个空心圆柱形物体， 质量为，物体可在杆上无摩擦滑动，物体和转轴间用一根劲度系 数的弹簧相连，如图11所示。当横杆绕轴匀速转动时，弹 簧从原长伸长到，那么弹簧对物体的拉力是_，物体运动 的角速度是_，线速度是_。（物体可视为质点）10一个做匀速圆周运动的物体，如果每秒转数变为原来的倍，所需的向心力比原来的向心 力大，则物体原来的向心力应为_。11如图12所示，沿半球形碗的光滑内表面，一质量为的小球正以角速 度在水平面内做匀速圆周运动。如果碗的半径为，则该球做匀速圆 周运动的水平面离碗底的距离为_。12质量为的物体沿着半径为的半球形金属内壁下滑至最低点时的速度 为。若物体与球壳之间的动摩擦因数为，那么物体在最低点时，受到的摩擦力 。（三）计算题：13如图13所示，有一个半径为的圆弧形的轨道，滑块分别从轨 道上面和下面沿轨道滑动，如果要求它们在最高处不离开轨道，对它们 在最高点的速率有什么限制？14在水平转台上，距转轴为处插立一竖直杆，杆顶系一根长为的细绳，绳的末端挂一个质量为的小球（图14），当转台匀速转动后，试证悬绳张开的角度与转台转速的关系是： 答案与提示1ABCD2B3D4B 5ACD（提示： ，小球转过圆周