两自由度碰撞振动系统的动力学研究

兰州交通大学毕业设计(论文)摘 要在机械实际中，含间隙的机械结构在外界激励的作用下，其不同的零部件之间会产生碰撞振动，从而对系统的动力特性、可靠性和寿命等技术指标产生重要的影响。含间隙碰撞振动系统广泛存在于工程实践中，对于含间隙碰撞振动系统，如何进行动力学优化设计、降低噪声等问题的研究，既具有理论价值又有着重大的现实意义。本文对一类两自由度刚性约束碰撞振动动力系统的动力学行为进行了研究。运用正则模态矩阵法将耦合的系统进行解耦，通过分析系统周期运动的边界条件，推导出系统周期运动的解析解；基于Poincar映射方法和数值仿真，对一类两自由度碰撞振动系统的混沌运动进行了分析，在适当的参数条件下，该系统呈现周期运动。简明地讨论了系统通向混沌的道路，对系统分岔与混沌行为的研究，为工业生产中含间隙机械系统和冲击振动系统的优化设计提供了理论依据。关键词：碰撞振动；周期运动；分岔；混沌AbstractIn the mechanical production, under external incentives, impact vibration will occur between the different parts in the mechanical structure with the clearance, thus it has the important influence to the dynamic characteristics of the system, reliability and longevity and other technical indicators. The vibration system collision with clearance is widely used in engineering practice, for the vibration system collision with clearance, many problems like making dynamic optimization design and reducing noise, both has theory value and great practical significance.A Two-degree-of-freedom vibro-impact systems dynamic action has been studied. Using a method called canonical modal matrix to decouple the coupled system, via analyzing the boundary condition under periodic motion of the system, the analytical solution of the periodic motion system is deduced; the chaotic motion of a Two-degree-of-freedom impact vibration system is investigated based on the Poincare map and numerical simunation. Under suitable system parameter conitiongs, the system can exhibit quasi-periodic motion. And the routes to chaos are described. Animportant field in vibration engineering is the dynamics of mechanical with piecewise smooth features, such as clearance, constraint, friction and hystersis. It is possible to optimize system parameter of practical system by investigation of bifurcation and chaos. Key words: Vibro-impact; Periodic motion; Bifurcation; Chaos目 录摘 要IAbstractII1. 绪论11.1 选题背景11.2 碰撞振动系统的研究概述及发展历程21.3 本文研究内容42. 混沌及相关理论62.1 混沌理论62.1.1 混沌理论起因62.1.2 混沌理论定义72.1.3 混沌系统的特性82.1.4 混沌道路92.2 分岔理论102.2.1 分岔的基本概念102.2.2 分岔问题主要研究内容102.2.3 分岔现象及分岔图102.3 相图方法112.4 Matlab简介122.5 本章小结133. 两自由度碰撞振动系统143.1 两自由度碰撞系统的力学模型143.1.1 数学建模及解的推导153.1.2 碰撞振动系统的周期运动163.1.3 系统n-1周期运动的存在条件233.1.4 碰撞振动系统的Poincar映射和n-1周期运动的稳定性313.2 碰撞振动系统的Hopf分岔及概周期运动403.3 碰撞振动系统的周期倍化分岔及混沌453.4 本章小结47结 论48致 谢49参考文献50III1. 绪论1.1 选题背景在平常生活和生产实践中，我们经常会看到碰撞振动现象。碰撞振动是具有间隙或运动约束的机械部件之间在动态负载的作用下，反复接触而形成的一种动力学现象，其研究涉及多个专业领域，例如应用物理、应用数学、机械工程等。由于机械生产加工过程中技术水平的限制、零部件运动的存在，以及机械装配过程的需要或为了满足机械中某一部分的热胀冷缩以及使用的磨损等等，都会不可避免的导致间隙和约束存在，这些都将导致机械装置在运行中发生碰撞振动，例如齿轮的拍击、引擎的锤击、存在止挡冲撞簧的机械系统、船舶和浮体在波浪作用下的冲击振动、机器人操作器与环境接触和脱离引起的碰撞、航天器伸展系统由于关节间隙而发生冲击等等。碰撞振动问题的研究具有重要的意义，一方面由于碰撞和冲击的存在可能给机械系统和周围环境带来不利影响。例如：高速铁路列车在运行中轮轨之间的碰撞不仅会大大影响乘客的舒适感，还可能造成列车脱轨。在核反应堆中，元件在冷却流体作用下诱发振动，并与支撑发生碰撞，可能造成零部件磨损而发生核泄漏，蒸气发生器中的换热管与支撑板的碰撞振动，能使换热管发生磨损破坏，给核反应堆的安全运转带来威胁，并且会给人们造成经济上的巨大损失1,2。另一方面，由于碰撞能产生巨大的力，人们可以利用碰撞力带来的巨大利益，为了某种生产目的，可以利用碰撞振动的动力学原理设计制造多种冲击机械，例如打桩机、锻造机、粉碎机、振动落砂机3、冲击钻进机械4等。早在1937年，Paget5就发明了冲击消振器，用来抑制涡轮叶片、飞机机翼的颤振，后来又被用于高层建筑的减振。碰撞现象有利有弊，研究碰撞现象，掌握其规律，用其利，避其弊是必要的！碰撞振动使系统成为非光滑的动力学系统，对激励的响应十分复杂，并且对系统的性能、寿命等产生十分重要的影响，大多数碰撞振动的共同特点是碰撞振动系统的维数高，动力响应复杂。为达到预期的工作目的，取得优化的工作效果，大量工程实际问题迫切需要人们对碰撞振动系统的动态行为有更深入、更全面的认识。含间隙的振动系统或冲击系统一般都是多参数系统，参数的变化将引起系统动力学响应的本质变化，比如分岔、混沌等现象的出现。由于碰撞的存在，系统呈现出不光滑和非线性，其动力学性质的变化往往具有突变性。而数据误差、安装误差、运行中的正常磨损等因素都不可避免地导致预期的工作状态不能实现。这是一个既有相当理论难度又有重要工程实际意义的课题。1.2 碰撞振动系统的研究概述及发展历程机械设备中碰撞振动系统是普遍存在的，而机械制造工具在今天的经济发展和人们的生活中比重越来越大，在工业部门中这些机械设备发挥重要的作用，所以碰撞振动系统也就普遍存在于实际工程领域中，同时也普遍存在于交通运输、航空航天及能源等工业领域。所以，碰撞振动系统应用广泛，今天振动不仅作为基础科学，而且是力学的一个重要分支。在实际工作中的一些动态的改变都会引起机械设备工作发生不同运动，如：受力情况、间隙的大小、运动的快慢等，这些都与机械碰撞振动系统密切相关。碰撞振动在工程机械和社会生活中是最为常见的一种现象，也是一门有很强理论深度的实践性学科，随着社会的发展促使碰撞振动力学形成和发展，在这种影响下产生了一门学科，这就是二十世纪最重要的三项发现之一非线性科学(相对论、量子力学和非线性科学)。最早的非线性研究是由 Huygens于1673年提出的对大幅摆动单摆的非线性研究。19世纪中期，庞加莱(Poincar)发表论文微分方程定义的积分曲线为非线性力学的研究奠定了基础，同一时期 Lyapunov 发表了运动稳定性通论，严格给出了判断系统是否稳定的直接和间接的方法，Duffing、Lorenz、Ueda 等科学家利用大量实验的方法得到了关于非线性的很多新发现，同时还用计算机数值仿真的方法对相关的非线性知识进行了模拟，初步形成了分岔、混沌等相关理论。碰撞过程是一个很复杂的物理过程，与物体接触时的相对速度、接触面的形状、接触时间及接触部位的局部变形等因素密切相关。根据对碰撞过程的不同假设，将碰撞振动模型分为三种：第一种是瞬时冲击模型，假设碰撞是一个瞬时过程，经历的时间为零，只考虑碰撞过程的能量损失，并通过使用恢复系数的概念，直接得到碰撞前后速度之间的关系；第二种是分段线性模型，通过考虑碰撞过程接触力的大小变化和接触时间来描述碰撞的压缩和恢复过程；第三种模型较好地考虑了碰撞过程的局部变形，用Herts接触理论6来描述接触力。目前对碰撞振动问题的研究大多数采用瞬时冲击模型或分段线性模型7-9。根据碰撞前后系统所受到的约束形式，可以将机械系统的碰撞划分为如下四类：(1)约束在碰撞前、碰撞中和碰撞后一直存在，碰撞并不改变原有的约束条件。例如当系统受到冲击力作用时即是这种情况。(2)碰撞时有新的约束出现，并在碰撞后持久保持。例如两质点发生完全非弹性碰撞，碰撞后结合在一起(3)在受到一定约束的部件之间发生可恢复的弹性碰撞。例如机械系统的往复碰撞振动属于此类。(4)碰撞期间系统受到约束的限制，在碰撞结束时约束自行消失。例如弹跳小球对刚性壁的碰撞即是这种情况。上述第(1)和第(2)类型的碰撞称为持久碰撞；第(3)和第(4)类型的碰撞称为非持久碰撞。一般，由于含间隙和碰撞的机械振动系统多为多参数高维系统，并且碰撞或冲击等因素造成的非线性与奇异性使得系统具有很强的非线性动力特性。许多研究者借助非线性振动理论的数值解法获得了该类系统的非线性振动规律：不仅存在着多种周期运动，而且随着参数的变化出现各种分岔10-12(周期倍化分岔、Hopf分岔)等进而演变成概周期、非周期或混沌运动。但在研究中全面考虑碰撞中的所有物理过程却十分困难，因此需对碰撞条件和碰撞过程进行合理简化，从而建立起比较符合实际的碰撞模型。建立含间隙结构的碰撞振动系统动力学模型13-15，然后通过数值求解对该结构模型在不同参数条件下的非线性振动特性进行分析。本文通过建立两自由度碰撞振动系统的运动微分方程，根据周期运动的边界条件，推导出n-1碰撞周期运动的Poincar映射，进一步研究了n-1碰撞周期运动的稳定性和分岔。最后通过数值模拟了两自由度碰撞振动系统周期运动的Hopf分岔和周期倍化分岔，进一步分析了周期运动向混沌的转变过程。近年来，碰撞振动系统中的复杂运动研究已成为非线性动力学研究中日益活跃的分支，研究的重点也由单自由度碰撞振动系统转向多自由度碰撞振动系统。在多自由度碰撞振动系统的研究方面， Shaw16详细研究了简谐激励单自由度振子在两侧约束下的运动，发现此类系统中广泛存在次谐运动、倍化周期分叉及混沌等非线性现象，并分析了周期运动稳定性及稳定域，揭示了分叉、稳定域等系统特征对物理参数变化的敏感性。Whiston17-18分析了周期激励碰撞振动系统的单碰次谐响应的存在与稳定性问题，并用数值方法进行了全局分析，发现了多种吸引集共存的现象。Lenci和Rega19-20分析了受横向简谐激励的倒摆与刚性约束面的碰撞振动动力学，并对如何避免碰撞系统的运动进入混沌进行了理论和数值上的研究。Bishop21等采用刚体碰撞模型对受迫振动柔性梁的周期运动的存在性进行理论预测，通过实验的方法验证了其正确性。运用线性逼近和Floquet理论，Ivanov 22将碰撞振动系统转化为连续系统，并采用非零接触时间的方法来处理擦边碰撞，得到响应的显示解。Fredriksson和Nordmark 23引入非连续穿越映射或局部碰撞映射，建立起多自由度冲击振子的Poincare映射及其规范形的计算，为研究高维不光滑系统提供了重要的理论工具，Meijaard24把经典的Hopf分岔理论拓展到碰撞系统。舒仲周等25-26以冲击式振动落砂机为力学模型，研究了周期解的存在性条件和稳定性判据，并进一步研究了任意多串联以及串并混合联结的质体在多个正弦力激励下振动，相互碰撞或与多个自由体碰撞的一般情况，提出了振动和稳定的统一解法。谢建华、罗冠炜、丁旺才等27-29建立了两自由度碰撞振动系统的四维Poincare映射，利用中心流形一范式理论将四维映射转化为二维映射，推导系统存在Hopf分岔和次谐分岔的条件，他们系统地研究了两自由度碰撞振动系统的两参数动力学性态，研究了Hopf-Flip和Hopf-Hopf等余维二分岔，通过数值模拟进一步讨论了系统的环面分岔。Sung30用数值模拟方法研究了基础受简谐力激励的两自由度冲击振动系统，证实了其经倍周期瀑布通向混沌。Cusumano31介绍了由弹簧一阻尼器彼此相连组成的10自由度碰撞振动系统的数值仿真研究，并根据碰撞Poincar映射获得了分岔结果。金栋平、胡海岩、吴志强32研究了由两个振子对碰构成的碰撞振动系统，用间断分析方法研究了系统参数对周期碰撞的影响。韩维、金栋平33研究了由弹簧摆和弹簧振子组成的两自由度斜碰撞振动系统的周期运动存在性和稳定性条件，数值模拟表明，阻尼可在较大参数范围内对非稳定运动镇定，切向摩擦对系统稳态特征影响不大。李群宏、陆启韶34,35研究了一类双自由度碰撞振动系统，给出了次谐单碰周期n运动的存在性条件、稳定性判据，讨论了单自由度碰撞振动系统中周期轨道的共存性及稳定性。Zhuravlev36通过分段线性坐标转换的方法消除受约束动力系统中的约束，从而可以用通常的方法进行方程求解。随社会不断发展和人类不断进步，现实生活中对机械设备要求性能越来越完美,而非线性对机械碰撞振动系统影响很大。所以，对于机械碰撞振动系统的非线性研究现状远远不能满足机械工程的要求： 一方面，因碰撞振动系统具有强非线性和不连续性,多自由度碰撞振动系统的分岔与混沌形成过程的理论研究目前仍是一难题，虽有相应的理论和方法虽可用，但对高维碰撞振动系统的解析解的推导还要寻求更简化的方法。 另一方面，针对全局分岔的研究还较少，还有在高维碰撞振动系统在满足余维二条件时，系统的全局分岔及稳定性分析有待发展；在对耦合碰撞系统时如何优化解耦方法还需继续探讨。1.3 本文研究内容针对含间隙碰撞振动系统的相关问题，本文主要进行以下工作：从工程实际中抽象简化出一个两自由度单边刚性约束碰撞振动系统的力学模型，运用分岔理论的相关知识，通过解析法推导分析系统在与刚性约束发生碰撞时的动力学特性，并通过计算机仿真，在适当参数下系统从周期运动经失稳发生各种分岔最终进入混沌运动的演化路径。第一章绪论阐述了含间隙碰撞振动系统的动力学的研究背景、意义、目前国内外对此研究的进展情况。立足于现实中的实际运用，指出研究非线性动力学的必然性。查阅 了大量相关的教材和文献，个别地直接吸纳了同行专家的观点。指出研究含间隙碰撞振动系统的动力学的规律具有重要的意义。 第二章介绍了相关研究碰撞振动系统的理论知识，非线性动力学的基本理论，对其中用到的分岔、混沌的概念，以及分岔分类，还有研究混沌的相关方法等作了介绍。 第三章建立了一个一类含间隙碰撞振动系统的物理模型，首先可以分析其力学模型，列出系统的力学方程对其无量纲化，再将它转化为数学问题求解，然后通过坐标的变换对方程组解耦，用模态矩阵法解出方程组的通解，并对系统进行边界条件分析，从而推导出该系统的解析解和Poincar映射，最后通过数值编程找出系统发生分岔的现象和通向混沌的道路，同时对发生这些现象进行了分析。根据线性化矩阵特征值与单位圆之间的关系对此系统进行分析可以判断系统周期运动的稳定性。结合理论运用数值仿真，采用分岔图、相图、Poincar截面图投影图来研究系统不同参数下的动态响应。2. 混沌及相关理论2.1 混沌理论2.1.1 混沌理论起因混沌是自然界的普遍现象。长期以来，牛顿力学为我们描述了一个完全可逆和决定论的世界图景，在这一图景中，世界是有序、精确和简单的，而混沌概念的提出，给这种经典力学的概念带来了冲击。因为可逆和确定性成为了一种极为罕见的特例。而真正展现在人们面前的则是由多种要素、种种联系以及由复杂相互作用所构成的真实世界，存在着不可逆性和不确定性。混沌学所研究的是存在于动力学系统中的一类复杂非平庸的行为。所谓的动力学系统，指的是时间改变的条件下状态也会随之改变的系统。经过科学家研究发现，当一个控制参数越过周期区，一般的简单而分明的运动体制不复存在，系统呈现出一种极不规则，复杂而奇异的行为方式，这就是混沌。虽然混沌现象看起来杂乱无序，但是其系统里面却含有结构明显、井然有序的特征37,38。混沌具有非线性性质，而且非线性碰撞振动系统广泛存在于现实世界工程实践中，所以混沌运动现象的研究有很重要的意义。混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，我国及古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家耳熟能详的地心引力、杠杆原理、相对论等。这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一阶段的运动状态，而产生无法预测的随机效果。所谓差之毫厘，失之千里正是此一现象的最佳批注。具体而言，混沌现象发生于易变动的物体或系统，该物体在行动之初极为单纯，但经过一定规则的连续变动之后，却产生始料所未及的后果，也就是混沌状态。但是此种混沌状态不同于一般杂乱无章的的混乱状况，此一混沌现象经过长期及完整分析之后，可以从中理出某种规则出来。混沌现象39-42是非线性系统特有的一种振动形式，是产生于确定系统并对初始条件十分敏感的非周期运动。混沌现象虽然最先用于解释自然界，但是在人文及社会领域中因为事物之间相互牵引，混沌现象尤为多见。如股票市场的起伏、人生的平坦曲折、教育的复杂等。 混沌理论，是近三十年才兴起的科学革命，它与相对论与量子力学同被列为二十世纪的最伟大发现和科学传世之作。量子力学质疑微观世界的物理因果律，而混沌理论则紧接着否定了包括宏观世界拉普拉斯(Laplace)式的决定型因果律。我们过去认为，确定性的原因必定产生规则的结果，但现在我们知道了，它们可以产生易被误解为随机性的极不规则的结果。我们过去认为，简单的原因必定产生简单的结果(这意昧着复杂的结果必然有复杂的原因)，但现在我们知道了，简单的原因可以产生复杂的结果。我们认识到，知道这些规律不等于能够预言未来的行为。 1963年美国气象学家爱德华诺顿洛伦茨提出混沌理论(Chaos)43,44，混沌理论解释了决定系统可能产生随机结果。理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。在气象、航空及航天等领域的研究里有重大的作用。混沌理论认为在混沌系统中，初始条件十分微小的变化，经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。 2.1.2 混沌理论定义 对于一个确定性的系统，如果其动力学方程是非线性的，在某些情况下，即使给定两个相差很小的初始值，所得的最终结果却截然不同，即表现出对初始条件有非常敏感的依赖性。对处于这种情况下的系统，很难对其行为作长期预测，因为所给的初始条件一般都与实际情况有一定的偏差。从物理上来看，这时确定性系统的解似乎是随机的，我们把确定性系统这种貌似无规律的类随机运动称为混沌(Chaos)。混沌理论(Chaos theory)是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔(bifurcation)、周期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序运动的理论。在耗散系统和保守系统中，混沌运动有不同表现，前者有吸引子，后者无(也称含混吸引子)。从20世纪80年代中期到20世纪末，混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者的关注，引发了全球混沌热。混沌，也写作浑沌(比如庄子)。自然科学中讲的混沌运动指确定性系统中展示的一种貌似随机的行为或性态。确定性(deterministic)是指方程不含随机项的系统，也称动力系统(dynamical system)。典型的模型有单峰映象(logistic map)迭代系统，洛伦兹微分方程系统，若斯叻吸引子，杜芬方程，蔡氏电路，Chen 吸引子等。混沌理论(Chaos theory)是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中(如：人口移动、化学反应、气象变化、社会行为等)无法用单一的数据关系，而必须用整体、连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。“一切事物的原始状态，都是一堆看似毫不关联的碎片，但是这种混沌状态结束后，这些无机的碎片会有机地汇集成一个整体”。 1975年，Li-Yorke在美国数学月刊上发表的文章中第一次用“混沌”这个概念，他们是这样定义混纯的：对于闭区间I上连续自映射，假如满足以下的一些条件，就可以认定它具有混沌现象：(I)有任意周期的周期点；(II)闭区间I存在不可数非周期不变子集,满足：(1)；(2)对任意和的任一周期点，有；(3)对任意,当时有。(III)存在的不可数子集，对任意有。 这个定义准确的表述了混沌的几个重要的特征：(a)存在无穷多个可数的稳定周期轨道，(b)存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道,(c)存在至少一个不稳定的非周期轨道。2.1.3 混沌系统的特性混沌运动具有通常确定性运动所没有的几何和统计特征，如局部不稳定而整体稳定，无限自相拟，连续功率谱，奇怪吸引子，分数维，Lyapunov指数等。为了与其它复杂现象相区别，一般认为混沌具有以下几个主要的特征：(1) 混沌具有内在随机性，是确定性系统内部随机性的反映，它不同于外在的随机性，系统是由完全确定性的方程描述，无需附加任何随机因素，但系统仍会表现出类随机性的行为。混沌信号的相关函数类似于随机信号的相关函数，具有类似冲激函数的特性。(2) 混沌现象具有对初始条件的极端敏感依赖性，只要初始条件稍有差别或微小扰动就会使系统的最终状态出现巨大的差异。因而，混沌系统的长期演化行为是不可预测的。(3) 混沌具有分形的性质，各种奇怪吸引子都具有分形结构，由分形维数来描述其特征。维数是对吸引子几何结构复杂度的一种定量描述。在欧氏空间中，空间被看成三维，平面或球面看成二维，而直线或曲线看成一维。平衡点，极限环，以及二维环面等吸引子具有非整数维数，即分数维。(4) 混沌具有标度不变性，它是一种无周期的有序，在由分岔导致混沌的过程中，遵循费根鲍姆常数，这一常数是倍周期分岔走向混沌的普适性数值特征。2.1.4 混沌道路产生混沌的一般是简单的非线性，是丝毫不带随机因素的固定规则，因此，混沌过程不同于随机过程。这里所讲的固定规则是指描述系统状态演变的非线性方程，而前面提到的“在某些情况下”是指方程中的控制变量。确定性的非线性系统，随着控制参量选取不同值后，系统所处的运动状态方程也就不同，也就是说，系统状态随控制参量的变化而变化，这称为系统的演化过程。系统从非混沌状态演化到混沌状态，其演化过程是多种多样的：(1)倍周期分岔道路分岔与混沌有着密切的联系，系统周期解在一定条件下会产生倍周期分岔。倍周期分岔即周期不断加倍而产生混沌，其基本途径为：不动点2周期点4周期点无限倍周期凝聚(极限点)奇异吸引子。很明显，每次倍周期分岔都是叉型分岔。由倍周期分岔通向混沌是通向混沌的主要方式之一，也就是说出现倍周期分岔即预示着混沌的存在。(2)阵发性分岔(explosive分岔，或间隙性分岔，或爆发性分岔)通向混沌阵发分岔是指在分岔图上,系统的周期解随着参数的逐渐变化,当某些参数的变化达到某一临界阀值时，系统突然变成非周期的近而成为混沌，系统的时间行为忽而周期(有序)、忽而混沌，在两者之间振荡。这样的分岔使混沌吸引子的大小产生了一个跳跃,因此也称为explosive分岔。它的特点是分岔过程有明显的跳变现象。(3)茹厄勒一塔肯斯道路这条通向混沌的道路是由茹厄勒和塔肯斯等人为了取代朗道(Landau LD)关于湍流的假设，针对Landau的论湍流问题，在合写的论瑞流的本质这篇论文中提出的。Landau-Hopf认为系统经过无穷多次准周期分岔可进入混沌。茹厄勒和塔肯斯经过研究发现，只要经过有限次，一般是几次即可进入混沌。这就是茹厄勒一塔肯斯道路。这条道路即指系统直接经过若干次Hopf分岔进入混沌。(4)KAM环面破裂近可积Hamilton系统的轨线分布在KAM环面上，一个套在另一个外面，两个环面之间充满混沌区。它在法向平面上的截线称为KAM曲线。可积Hamilton系统的相平面被鞍点连续分割，相空间中的各部分的运动互不相混。在不可积小摄动下，双曲鞍点附近发生变化，鞍点连线破裂并在鞍点附近产生剧烈震荡，引起混沌运动。除了上述四种通向混沌的道路之外，还有如准周期过程、剪切流转等许多产生混沌的方式，可谓“条条道路通混沌”。2.2 分岔理论2.2.1 分岔的基本概念分岔是非线性领域的重要理论。分岔是指动力学系统中，控制参量改变时其各自的拓扑结构发生突然变化。从本质上分析，失稳是发生分岔的物理前提。分岔之后，系统不同状态间便发生不连续的过渡，这就是突变。然后经过不断地分岔，最后到达的状态即混沌理论的研究对象。分岔一般发生在结构不稳的系统中，具体而言就是，在合适的小扰动下，动力系统的拓扑结构会突然发生质变(即分岔)。我们可将其数学定义描述为： 对于给定的考察系统其中，和为开集，为分岔参数，为状态变量。如果渐变参数通过时，系统的定态特性(即拓扑结构)发生突变，我们便可称在处，系统发生了分岔，为系统其中一个分岔值。所有分岔值的集合便组成了系统在参数空间的分岔集。我们用图形来更直观地描述系统的分岔情况，随参数的变化，所研究系统的极限集(如不动点(平衡点)、不变环面、周期轨线(闭轨)等)的图形可以在空间中被描绘出来，这样便得到了表现系统动力学特性的分岔图。一般我们主要分析分岔过程中系统动态特性随着分岔值附近参数的变化而引起的性态变化。2.2.2 分岔问题主要研究内容分岔问题的研究内容非常广泛，大致可以归纳为以下几方面： (1)明确分岔集，这是分岔研究的基本内容，即明确系统发生分岔的充要条件； (2)定性性态研究，这是分岔研究的重要内容，即确定分岔发生时，系统参数的变化而引起的系统拓扑结构的变化情况； (3)分岔解的求解，即求解系统的平衡点、极限环等；(4)各种分岔之间的联系，以及分岔与混沌之间的联系等的研究。2.2.3 分岔现象及分岔图分岔现象是指振动系统的定性行为随系统参数的改变而发生质的变化45。分岔理论的研究不仅揭示了系统的各种运动状态之间的相互联系和转化，而且与混沌密切相关，成为非线性系统中的重要组成部分。分岔是存在于非线性系统中很常见的力学失稳现象46，是对有序演化理论的基本解释，出现在系统在演化过程中出现的某些节点上，系统当时的定态行为就可能会发生定性的骤然改变，原来存在的稳定定态现象变成了不稳定定态现象，而且同时还可能出现新的定态，这种现象叫做分岔，出现分岔现象的关节点就叫做分岔点47。分岔是由于运动方程中的参数变化造成的，分岔点是参数空间的点。 对于某些完全确定的非线性系统，当系统的某一参数连续变化到某个临界值时，系统的全局性态48(定性性质、拓扑性质等)会发生突然变化。称为参数的分岔值或分枝值。这种现象称为分岔现象，是一种有重要意义的非线性现象。分岔现象不仅是数学现象，它在自然界中也有种种表现。早期，除了数学理论的研究外，通过数字计算机进行的数值实验是研究非线性微分方程中的分岔现象的主要手段。20世纪80年代前后，关于分岔的真正的实验观测也已在迅速增加。分岔图是以分岔参数为横坐标和每个参数对应的系统响应在Poincar截面上的投影为纵坐标的二维变化图。分岔图能比较清晰的反映系统是周期还是混沌，更能细致的区分出系统是几周期的。分岔图能看出系统是通过怎样的道路通向混沌的。但是单一从分岔图上面不太容易看出系统到底是混沌还是拟周期的，要区分混沌和拟周期必须从系统Poincar截面上的投影来区分。2.3 相图方法非线性振动和混沌的主要研究方法有定性和定量两大类，其中定性的方法有分频采样法、直接观测法、相空间重构法和Poincar映射截面法等，定量的方法有李雅普洛夫指数分析法、自功率密度分析法等。在实际应用时，常将定性和定量的方法相结合，以获得更精确的结果。非线性微分方程在大多数情况下一般都没有精确的解析解。因此，常用几何图解法来研究非线性问题。利用几何图解法常常可以很详尽地得知运动的定性特征。我们以坐标(角坐标)和速度(角速度)为坐标轴定义一个平面，称为相平面，系统的一个运动状态对应于相平面上的一个点，称为相点。当系统的运动状态发生变化时，相点就在相平面内运动，相点的运动称为相迹或相图。如果在相迹上选定一个起点作为初始条件，还可以用相迹上的箭头表示状态变化的方向，在起点前方的相点就代表对应此初值的运动方程的解。在相图中虽然没有反映出位置和态度随时间的变化而变化的信息，但却将质点的所有运动状态显示出来，展现了运动的全貌。因此，通过对相图的研究，可以了解系统的稳定性、运动趋势等特性。相图就是这个高维曲线在某个相空间上面的投影,一般为了便于观察我们都将其投影在二维或者三维相空间上。从相图上可以看出系统的周期性，如果是单周期的则相图是一条连续封闭图形，K周期的相图是K条连续封闭的图形，混沌是很多条不封闭的图形。但是从相图上很难区分多周期运动、拟周期和混沌。Poincar映射是19世纪末伟大的法国数学家庞加莱发明的，他把微分方程的解看作是由微分方程本身所定义的积分曲线族，在不求解的情况下，通过直接考查微分方程的系数及其本身的结构去研究它的解的性质。Poincar映射是为了将流变换为较低维相空间引入的，也是其天体力学研究中所用新颖解法的一部分，对于含多个参数的自治微分方程系统，在多维的相空间(,.,)中选取一个合适的截面，使一对共轭变量(如)在截面上可取固定值，通常就将此截面称为Poincar截面。设系统运动轨迹与Poincar截面的截点(Poincar点)依次为, ,则相空间中连续的轨迹在Poincar截面上就映射为一些离散的点，由此截面而产生的映射称为Poincar映射。因此我们就可以抛开相空间轨道，用计算机仿真出Poincar截面上的截点来分析系统的运动特性，若忽略初始阶段系统的暂态过程，只考虑Poincar映射截面上的稳态图。则： 当Poincar截面上为一个不动点或者少数的散点时，是周期运动； 当Poincar截面上为一封闭曲线时，是准周期运动； 当Poincar截面上为成片的密集点时，是混沌运动。 将Poincar映射理论应用到非线性系统动力学研究中，我们就可以用Poincar截面映射来简化原来系统中随时间进行的连续运动，这样不仅方便研究，而且还保持了原来连续动力系统的拓扑性质。2.4 Matlab简介根据实际问题建立的微分方程系统模型，除变量、未知量和导数外，还会有一些常数，在实际问题中，这些常数是可以在一定范围内变动的，我们一般称之为参数。在研究微分方程时，当参数变动跨越某个数值时，微分方程的解的性态会出现突然的巨大改变。分岔和混沌的研究就是探索和解释这类现象的。在混沌问题中，参数值达到阈值后，轨线的走向呈现无序的现象，然而是否出现混沌通常无法单纯由数学推理作出论证，需要计算机模拟作为辅助手段。随着计算机技术的发展，应用Matlab对混沌系统进行数值仿真，具有操作简单、直观等优点。Matlab是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言(如C、Fortran)的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。Matlab的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用Matlab来解算问题要比用C，Fortran等语言完成相图的事情简捷的多。因而Matlab用来验证一种新的数值方法是十分方便的。Matlab语言相对于传统的科技编程语言有诸多的优点。主要包括:(1)易用性。Matlab是种解释型语言，就像各种版本的BASIC。在Matlab集成开发环境下，程序可以方便的编写、修改和调试。这是因为这种语言极易使用，对于教育应用和快速建立新程序的原型，它是一个理想的工具。许多的编程工具使得Matlab十分简单易用。这些工具包括：一个集成的编译/调试器，在线文件手册，工作台和扩展范例。(2)平台独立性。Matlab支持许多的操作系统，提供了大量的平台独立的措施。在一个平台编写的程序，在其它的平台上一样可以正常运行。(3)预定义函数。Matlab带有一个极大的预定义函数，它提供了许多已测试和打包过的基本工程问题的函数。除了植入Matlab基本语言中的大量函数，还有许多专用工具箱，以帮助用户解决在具体领域的复杂问题。(4)机制独立的画图。与其他语言不通，Matlab有许多的画图和图象处理命令。当Matlab运行时，这些标绘图和图片将会出现在这台电脑的图象输出设备中。(5)用户图形界面。Matlab允许程序员为他们的程序建立一个互交式的用户图形界面。利用Matlab的这种功能，程序员可以设计出相对于无经验的用户可以操作的复杂的数据分析程序。(6)Matlab编译器。Matlab的灵活性和平台独立性是通过将Matlab代码编译成设备独立的P代码，然后在运行时解释P代码来实现的。这种方法与微软的VB相类似。不幸的是，由于Matlab是解释性语言，而不是编译型语言，产生的程序执行速度慢。Matlab中的数值采用十进制表示，默认数据类型为双精度型，根据format命令可以选择不同的显示方式。变量命名规则:(1)变量名必须以英文字母开始，其后可使用字母、数字和下划线，但不能使用空格和标点符号。(2)变量名区分大小写。(3)变量名长度不超过31位，超过部分将被忽略。(4)某些变量也可以作为变量使用。2.5 本章小结本章详细介绍了混沌理论的内容，介绍了混沌理论的起因、产生和混沌特性及混沌现象，也介绍了分岔理论的内容，介绍了分岔的概念、分岔现象和分岔图，介绍了研究混沌的重要方法庞加莱映射理论，最后介绍了数值仿真的重要工具MATLAB。3. 两自由度碰撞振动系统本章将研究两自由度含间隙碰撞振动系统的动态响应，根据碰撞条件和由碰撞规律所确定的衔接条件求得系统的对称型周期碰撞运动，讨论了该映射不动点的稳定性与局部分岔。用一个两自由度含间隙振动系统阐述了方法的有效性，分析了周期碰撞运动分岔和混沌形成过程。3.1 两自由度碰撞系统的力学模型图3.1是一个存在间隙的两自由度振动系统的力学模型，质量为和的振子分别由刚度为和的线性弹簧和阻尼系数为和的线性阻尼器相联接，两个振子只作水平方向的运动，并分别受到简谐激振力的作用。当质量为的振子的位移等于间隙B时，将与刚性平面A碰撞，改变速度方向后，又以新的初值运动，然后再次与A碰撞，如此往复。假设力学模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼()，碰撞过程由碰撞恢复系数R确定。 图3.1 两自由度碰撞振动系统的力学模型参数含义：实数集n维欧氏空间时间无量纲化的时间激振频率碰撞振子与固定约束碰撞前的瞬时速度碰撞振子与固定约束碰撞后的瞬时速度n个力周期，p次碰撞，无滞留过程，有滞留过程的扰动量分岔参数分岔值Poincar映射， Poincar映射在不动点处的线性化矩阵的只有最大模的共轭特征值对角阵衰减系数(1/s)：固有频率：相对阻尼系数：阻尼固有频率：3.1.