2018版高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质学案苏教版.doc

2.4.2抛物线的几何性质学习目标1.掌握抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题知识点一抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)离心率e1知识点二焦点弦直线过抛物线y22px (p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，AFx1，BFx2，故ABx1x2p.知识点三直线与抛物线的位置关系直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程k2x22(kbp)xb20的解的个数当k0时，若0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当0时，直线与抛物线有一个公共点；当0)有几条对称轴？是不是中心对称图形？(2)影响抛物线开口大小的量是什么？是如何影响的？答案(1)有一条对称轴即y轴，不是中心对称图形(2)影响抛物线开口大小的量是参数p.p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小题型一抛物线的几何性质例1已知双曲线方程是1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程解因为双曲线1的右顶点坐标为(2，0)，所以2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y28x，其准线方程为x2.反思与感悟(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程跟踪训练1已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，2)求抛物线的标准方程和准线方程解(1)当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2mx(m0)将点M(1，2)代入，得m4.抛物线的标准方程为y24x；(2)当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2ny(n0)将点M(1，2)代入，得n.抛物线的标准方程为x2y.故所求的抛物线的标准方程为y24x或x2y.准线方程为x1或y.题型二抛物线的焦点弦问题例2已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且ABp，求AB所在的直线方程解由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若ABx轴，则AB2p0，即k1且k0时，直线l与抛物线C有两个公共点，此时直线l与抛物线C相交；当0，即k1时，直线l与抛物线C有一个公共点，此时直线l与抛物线C相切；当1时，直线l与抛物线C没有公共点，此时直线l与抛物线C相离综上所述，(1)当k1或k0时，直线l与抛物线C有一个公共点；(2)当k1时，直线l与抛物线C没有公共点反思与感悟直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况 跟踪训练3 如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值证明设kABk(k0)，直线AB，AC的倾斜角互补，kACk(k0)，直线AB的方程是yk(x4)2.由方程组消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解4xB，即xB.以k代换xB中的k，得xC，kBC.所以直线BC的斜率为定值1以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为_答案y28x或y28x解析设抛物线y22px或y22px(p0)，依题意得x，代入y22px或y22px得|y|p，2|y|2p8，p4.2若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为_答案(，)解析由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F(，0)，所以的P的横坐标为，代入抛物线方程得y，故点P的坐标为(，)3抛物线y4x2上一点到直线y4x5的距离最短，则该点坐标为_答案(，1)解析因为y4x2与y4x5不相交，设与y4x5平行的直线方程为y4xm.则4x24xm0.设此直线与抛物线相切，此时有0，即1616m0，m1.将m1代入式，x，y1，故所求点的坐标为(，1)4经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线l的方程是_答案6x4y30解析设直线l的方程为3x2yc0，抛物线y22x的焦点F(，0)，所以320c0，所以c，故直线l的方程是6x4y30.5已知直线xy10与抛物线yax2相切，则a_.答案解析由消去y得ax2x10，直线与抛物线相切，a0且14a0.a.1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程2直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用3判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果(2)代数法：设直线l的方程为ykxm，抛物线的方程为y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x