2018版高中数学第三章空间向量与立体几何章末复习课学案新人教A版.doc

第三章 空间向量与立体几何学习目标1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题.3.理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.5.会用向量法解决立体几何问题.知识点一空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则线线平行lmabakb，kR线面平行laa0面面平行vkv，kR线线垂直lmabab0线面垂直laak，kR面面垂直vv0线线夹角l，m的夹角为(0)，cos 线面夹角l，的夹角为(0)，sin 面面夹角，的夹角为(0)，cos 知识点二用坐标法解决立体几何问题步骤如下：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；(3)进行相关坐标的运算；(4)写出几何意义下的结论.关键点如下：(1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程.(2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题.(3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.类型一空间向量及其运算例1如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：0；0；0；0.其中正确结论的序号是 .答案解析容易推出0，所以正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SASBSCSD2，所以22cosASB，22cosCSD，而ASBCSD，于是，因此正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是.反思与感悟向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.跟踪训练1如图，在平行六面体A1B1C1D1ABCD中，M分成的比为，N分成的比为2，设a，b，c，试用a、b、c表示.解连接AN，则，由已知ABCD是平行四边形，故ab，又M分成的比为，故(ab).由已知，N分成的比为2，故(c2b).于是(ab)(c2b)(abc).类型二利用空间向量解决位置关系问题例2四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：(1)PC平面EBD.(2)平面PBC平面PCD.证明(1)如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设DCa，PDb，则D(0，0，0)，C(a，0，0)，B(a，a，0)，P(0，0，b)，E(0，).(0，)，(a，a，0).设平面EBD的一个法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得n(1，1，)，因为n(a，0，b)(1，1，)0，所以n，故PC平面EBD.(2)由题意得平面PDC的一个法向量为(0，a，0)，又(a，a，b)，(a，0，b)，设平面PBC的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则即得y10，令x11，则z1，所以m(1，0，)，因为m(0，a，0)(1，0，)0，所以m，即平面PBC平面PCD.反思与感悟(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.(2)证明线面平行的方法证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线.利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.(3)证明面面平行的方法转化为线线平行、线面平行处理.证明这两个平面的法向量是共线向量.(4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直.(5)证明线面垂直的方法证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直.(6)证明面面垂直的方法转化为证明线面垂直.证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练2正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED平面A1FD1.证明如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为1，则E，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，F.(1，0，0)，.设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量，由得令y11，得m(0，1，2).又由得令z21，得n(0，2，1).mn(0，1，2)(0，2，1)0，mn，故平面AED平面A1FD1.类型三利用空间向量求角例3如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面所成角的正弦值.解(1)交线围成的正方形EHGF如图所示，(2)作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EMAA18.因为EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，所以AH10.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(10，0，0)，H(10，10，0)，E(10，4，8)，F(0，4，8)，(10，0，0)，(0，6，8).设n(x，y，z)是平面EHGF的法向量，则即所以可取n(0，4，3).又(10，4，8)，故|cosn，|.所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.反思与感悟用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为0|，且与同向，则D.若两个非零向量与满足0，则答案D解析A错.因为空间任意两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面.B错.因为|a|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关.C错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有这种写法.D对.0，与共线，故正确.2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD的对角线交于点O，且a，b，则等于()A.ab B.ab C.ab D.2(ab)答案A解析ab.3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin，的值等于()A. B. C. D.答案B解析如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系.设棱长为1，则D(0，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，M(1，0)，(1，1，1)，(1，0).cos，sin，.4.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，是()A.有相同起点的向量 B.等长向量C.共面向量 D.不共面向量答案C解析因为，且，所以，即，又与不共线，所以，三向量共面.5.同时垂直于a(2，2，1)，b(4，5，3)的单位向量是()A.(，)B.(，)C.(，)D.(，)或(，)答案D解析设所求向量为c(x，y，z)，由ca0及cb0及|c|1，得检验知选D.6.已知a(2，1，3)，b(3，4，2)，c(7，5)，若a，b，c平行，则实数等于()A. B. C. D.答案D解析易得ctab(2t3，t4，3t2)，所以解得故选D.二、填空题7.空间中，若向量a(5，9，m)，b(1，1，2)，c(2，5，1)共面，则m .答案4解析向量a，b，c共面，存在实数，使得ab c，即(5，9，m)(，2)(2，5，)(2，5，2).解得m24.8.已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a2b3c|的值为 .答案解析|a2b3c|2|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc14，故|a2b3c|.9.已知a(3，2，3)，b(1，x1，1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是 .答案(2，)(，)解析因为a与b的夹角为钝角，于是1cosa，b0，因此ab0，且a与b的夹角不为，即cosa，b1，解得x(2，)(，).10.如图所示，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，则异面直线D1E与AC所成角的余弦值是 .答案解析如图，建立空间直角坐标系，则A(4，0，0)，C(0，4，0)，D1(0，0，4)，E(0，4，2)，(4，4，0)，(0，4，2)，cos，所以异面直线D1E与AC所成角的余弦值为.三、解答题11.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD，求证：PABD.证明，()()22|2|cos 1200.，即PABD.12.如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD60，当的值等于多少时，能使A1C平面C1BD?解不妨设x，CC11，使A1C平面C1BD.则A1CC1B，A1CC1D，而，由0，得()()220，注意到，可得方程1x20，解得x1或x(舍)，因此，当1时，能使A1C平面C1BD.13.在直角梯形ABCD中，ADBC，BC2AD2AB2，ABC90，如图(1)，把ABD沿BD翻折，使得平面ABD平面BCD，如图(2).(1)求证：CDAB；(2)若M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离.(1)证明由已知条件可得BD2，CD2，CDBD.平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD.CD平面ABD.又AB平面