2013上模糊数学教学课件.ppt

2019年6月30日,1,模糊数学绪论,用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为： 1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画； 2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画; 3.模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子很帅”，等等。 此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。,2019年6月30日,2,年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。,共同特点：模糊概念的外延不清楚。,模糊概念导致模糊现象,模糊数学研究和揭示模糊现象的定量处理方法。,模糊数学绪论,2019年6月30日,3,产生,1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 ),基本思想,用属于程度代替属于或不属于。,某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于,秃子的程度为0.3等.,模糊数学绪论,2019年6月30日,4,模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支,涉及学科,分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；,模糊产品,洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯,人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐,模糊数学绪论,2019年6月30日,5,模糊数学绪论,课堂主要内容,一、基本概念,二、主要应用,1. 模糊聚类分析对所研究的事物按一定标准进行分类,模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵,例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性状，对土壤进行分类。,2019年6月30日,6,2.模糊模式识别已知某类事物的若干标准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪 一类模型。,模糊数学绪论,例如：苹果分级问题 苹果，有I级，II级，III级，IV级四个等级。 现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。,2019年6月30日,7,3.模糊综合评判从某一事物的多个方面进行综合评价,模糊数学绪论,例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价 从清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰四方面 给出很好，较好，一般，不好四层次的评价 最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。,4.模糊线性规划将线性规划的约束条件或目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优解称为原问题的模糊最优解,2019年6月30日,8,模糊数学,2019年6月30日,9,一、经典集合与特征函数,论域U中的每个对象u称为U的元素。,模糊集合及其运算,2019年6月30日,10,. u,A,A,. u,模糊集合及其运算,2019年6月30日,11,其中,模糊集合及其运算,非此即彼,2019年6月30日,12,模糊集合及其运算,亦此亦彼,U,A,模糊集合 ,元素 x,若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部，,则用,x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。,2019年6月30日,13, 0, 1 , 0, 1 ,特征函数,隶属函数,二、模糊子集,2019年6月30日,14,模糊集合及其运算,越接近于0,表示 x 隶属于A 的程度越小；,越接近于1,表示 x 隶属于A 的程度越大；,0.5,最具有模糊性，过渡点,2019年6月30日,15,模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：,（1）Zadeh表示法,这里 表示 对模糊集A的隶属度是 。,如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为,可省略,模糊集合及其运算,2019年6月30日,16,（3）向量表示法,（2）序偶表示法,若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：,模糊集合及其运算,2019年6月30日,17,例1. 有100名消费者，对5种商品 评价，,结果为：,81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，,所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人认为x5 质量好,则模糊集A（质量好）,2019年6月30日,18,例2：考虑年龄集U=0,100，O=“年老”，O也是一个年龄集，u = 20 A，40 呢？ 札德给出了 “年老” 集函数刻画:,1,0,U,50,100,2019年6月30日,19,再如，Y= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属 于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：,1,0,25,50,U,B（u）,2019年6月30日,20,则模糊集O（年老）,则模糊集Y（年轻）,2019年6月30日,21,2、模糊集的运算,定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义,相等：,包含：,并：,交：,余：,模糊集合及其运算,2019年6月30日,22,例3.,模糊集合及其运算,则：,0.3,0.9,1,0.8,0.6,0.2,0.1,0.8,0.3,0.5,2019年6月30日,23,模糊集合及其运算,并交余计算的性质,1. 幂等律,2. 交换律,3. 结合律,4. 吸收律,2019年6月30日,24,模糊集合及其运算,6. 0-1律,7. 还原律,8. 对偶律,5. 分配律,2019年6月30日,25,引入概率算子和有界算子：,2019年6月30日,26,引入概率算子和有界算子：,定义： 设A,B F(U),则定义代数运算：,(1)A与B的代数积记作A B，运算规则由下式确定：,A B(u)= A(u)B(u) u U,2019年6月30日,27,a b= min(1,a+b),可以证明： a,b0,1, 0 max(0,a+b-1)1、 0 min(1,a+b)1,定义10 :设A,B F(U),则定义有界运算：,(2)A与B的有界和记作A B，运算规则由下式确定：,A B(u)= min(1, A(u)+B(u) ) u U,2019年6月30日,28,几个常用的算子：,（1）Zadeh算子,（2）取大、乘积算子,（3）环和、乘积算子,模糊集合及其运算,2019年6月30日,29,（4）有界和、取小算子,（5）有界和、乘积算子,（6）Einstain算子,模糊集合及其运算,2019年6月30日,30,三、隶属函数的确定,1、模糊统计法,模糊统计试验的四个要素：,模糊集合及其运算,2019年6月30日,31,特点：在各次试验中， 是固定的，而 在随机变动。,模糊统计试验过程：,（1）做n次试验，计算出,模糊集合及其运算,2019年6月30日,32,模糊集合及其运算,对129人进行调查, 让他们给出“青年人”的年龄区间，,问年龄 27属于模糊集A（青年人）的隶属度。,2019年6月30日,33,对年龄27作出如下的统计处理：,A(27) = 0.78,(变动的圈是否盖住不动的点),2019年6月30日,34,2、指派方法,模糊集合及其运算,一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型。,例如：在论域 中，确定A=“靠近5的数”的隶属函数,中间型,2019年6月30日,35,模糊集合及其运算,可以选取柯西分布中间类型的隶属函数,先确定一个简单的，比如,此时有,不太合理，故改变,2019年6月30日,36,模糊集合及其运算,取,此时有,有所改善。,2019年6月30日,37,常用的模糊分布,2019年6月30日,38,2019年6月30日,39,(1) 偏大型 (S 型) ：这种类型的隶属函数随 x 的增大而增大，随所选函数的形式不同又分为： 1）升半矩形分布（图3.7） 2）升半 分布 （图3.8） 3）升半正态分布 （图3.9） 4）升半柯西分布（图3.10） 5）升半梯形分布（图3.11） 6）升岭形分布 （图3.12）,2019年6月30日,40,(2) 偏小型 ( Z型 ) ：这种类型的隶属函数随 x 的增大而减小，随所选函数的形式又可分为： 1）降半矩形分布（图3.13） 2）降半 分布 （图3.14） 3）降半正态分布（图3.15） 4）降半柯西分布（图3.16） 5）降半梯形分布（图3.17） 6）降岭形分布 （图3.18）,2019年6月30日,41,(3) 中间型 ( 型) ：这种类型的隶属函数在(，a)上为偏大型，在 (a，+) 为偏小型，所以称为中间型，随所选函数的形式又可分为: 1）矩形分布 （图3.19） 2）尖 分布 （图3.20） 3）正态分布 （图3.21） 4）柯西分布 （图3.22） 5）梯形分布 （图3.23） 6）岭形分布 （图3.24）,2019年6月30日,42,(1) 偏大型（S 型）：这种类型的隶属函数随 x 的增大而增大，随所选函数的形式不同又分为： 1）升半矩形分布（图3.7）,2019年6月30日,43,2）升半 分布（图3.8）,2019年6月30日,44,3）升半正态分布（图3.9）,2019年6月30日,45,4）升半柯西分布（图3.10）,2019年6月30日,46,5）升半梯形分布（图3.11）,2019年6月30日,47,6）升岭形分布（图3.12）,2019年6月30日,48,(2) 偏小型 (Z 型 )：这种类型的隶属函数随 x 的增大而减小，又可分为： 1）降半矩形分布（图3.13）,2019年6月30日,49,2）降半分布（图 3.14）,2019年6月30日,50,3）降半正态分布（图3.15）,2019年6月30日,51,4）降半柯西分布（图3.16）,2019年6月30日,52,5）降半梯形分布（图3.17）,2019年6月30日,53,6）降岭形分布（图3.18）,2019年6月30日,54,(3) 中间型（ 型）：这种类型的隶属函数在 ( ，a) 上为偏大型，在 (a, +) 为偏小型，所以称为中间型，又可分为: 1）矩形分布（图 3.19）,2019年6月30日,55,2）尖分布（图3.20）,2019年6月30日,56,3）正态分布（图 3.21）,2019年6月30日,57,4）柯西分布（图 3.22）,返回,2019年6月30日,58,5）梯形分布（图3.23）,2019年6月30日,59,6）岭形分布（图 3.24）,2019年6月30日,60,3、其它方法,模糊集合及其运算,相对比较法：,论域U中元素v1, v2, vn ，要对论域中的元素按某种特征进行排序，首先，在二元对比中建立比较等级，然后用一定的方法进行总体排序，以获得各元素对于该特性的隶属函数。,2019年6月30日,61,相对比较法的具体步骤：, 设论域U中的一对元素(v1, v2), 在v1和v2的二元对比中,v1具有某特征的程度用gv2(v1)表示，v2具有某特征的程度用gv1(v2)表示。,且满足： 0 gv2(v1) 1 、 0 gv1(v2) 1, 令：,且定义g(vi /vj ) =1，当i=j时。,2019年6月30日,62,以g(vi /vj ) (i , j=1,2)为元素构造相及矩阵G:,推广： n个元素 的相及矩阵G:,2019年6月30日,63, 对矩阵G的每一行取最小值，然后按大小排序，可得各元素对某特征的隶属函数。,例： 设论域U= v1,v2,v3,v0,其中v1表示长子，v2表示次子，v3表示三子，v0表示父亲。,长子和次子与父亲,次子和三子与父亲,长子和三子与父亲,长子：0.8 次子：0.5,次子：0.4 三子：0.7,长子：0.5 次子：0.3,求与父亲相似的隶属度函数。,2019年6月30日,64,解：二元对比关系：( gv2(v1) , gv1(v2)=(0.8,0.5) gv1(v1)=1,( gv3(v2) , gv2(v3)=(0.4,0.7），gv2(v2)=1,( gv3(v1) , gv1(v3)=(0.5,0.3），gv3(v3)=1,2019年6月30日,65,计算相及矩阵G,=,在相及矩阵中取每一行的最小值，按大小排列：13/54/7,结论：长子最象父亲(1)；三子次之(0.6)；次子最不象(0.57)。,由此确定出隶属度函数：,2019年6月30日,66,模糊集合及其运算,四、模糊矩阵,例如：,2019年6月30日,67,（1）模糊矩阵间的关系及运算,定义：设 都是模糊矩阵，定义,相等：,包含：,模糊集合及其运算,并：,交：,余：,2019年6月30日,68,例4：,模糊集合及其运算,2019年6月30日,69,（2）模糊矩阵的合成,定义：设 称模糊矩阵,为A与B的合成，其中 。,模糊集合及其运算,即：,定义：,设A为 阶，则模糊方阵的幂定义为,2019年6月30日,70,例5：,模糊集合及其运算,2019年6月30日,71,（3）模糊矩阵的转置,模糊集合及其运算,性质：,2019年6月30日,72,（4）模糊矩阵的 截矩阵,显然，截矩阵为Boole矩阵。,模糊集合及其运算,2019年6月30日,73,例6：,模糊集合及其运算,2019年6月30日,74,截矩阵的性质：,性质1.,性质2.,性质3.,性质4.,模糊集合及其运算,2019年6月30日,75,（5）特殊的模糊矩阵,定义：若模糊方阵满足,则称A为自反矩阵。,例如,是模糊自反矩阵。,定义：若模糊方阵满足,则称A为对称矩阵。,例如,是模糊对称矩阵。,模糊集合及其运算,2019年6月30日,76,模糊集合及其运算,定义：若模糊方阵满足,则称A为模糊传递矩阵。,例如,是模糊传递矩阵。,2019年6月30日,77,模糊集合及其运算,定义：若模糊方阵Q，S，A满足,则称 S 为 A 的传递闭包，记为 t (A)。,2019年6月30日,78,2019年6月30日,79,模糊聚类分析,一、基本概念及定理,2019年6月30日,80,模糊聚类分析,定理：,R是n阶模糊等价矩阵,是等,价的Boole矩阵。,意义：将模糊等价矩阵转化为等价的Boole矩阵， 可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关系是可以分类的。因此，当在0,1上变动时，由 得到不同的分类。,2019年6月30日,81,模糊聚类分析,2019年6月30日,82,例6：设 对于模糊等价矩阵,模糊聚类分析,2019年6月30日,83,模糊聚类分析,画出动态聚类图如下：,0.8,0.6,0.5,0.4,1,2019年6月30日,84,模糊聚类分析,2019年6月30日,85,例7：设有模糊相似矩阵,模糊聚类分析,2019年6月30日,86,二、模糊聚类的一般步骤,、建立数据矩阵,模糊聚类分析,2019年6月30日,87,（1）标准差标准化,模糊聚类分析,2019年6月30日,88,（2）极差正规化,（3）极差标准化,模糊聚类分析,2019年6月30日,89,、建立模糊相似矩阵（标定）,（1）相似系数法,夹角余弦法,相关系数法,模糊聚类分析,2019年6月30日,90,（2）距离法,Hamming距离,Euclid距离,Chebyshev距离,模糊聚类分析,2019年6月30日,91,（3）贴近度法,最大最小法,算术平均最小法,几何平均最小法,模糊聚类分析,2019年6月30日,92,3、聚类并画出动态聚类图,（1）模糊传递闭包法,步骤：,模糊聚类分析,（2）boole矩阵法（略）,2019年6月30日,93,（3）直接聚类法,模糊聚类分析,当不同相似类出现公共元素时，将公共元素所在类合并。,将对应于 的等价分类中 所在类与 所在类合并，所有情况合并后得到相应于 的等价分类。, 依次类推，直到合并到U成为一类为止。,（4）最大树法,（5）编网法,2019年6月30日,94,模糊聚类分析,2019年6月30日,95,解：,由题设知特性指标矩阵为,采用最大值规格化法将数据规格化为,模糊聚类分析,2019年6月30日,96,用最大最小法构造 模糊相似矩阵得到,模糊聚类分析,2019年6月30日,97,用平方法合 成传递闭包,2019年6月30日,98,取 ，得,模糊聚类分析,2019年6月30日,99,取 ，得,取 ，得,模糊聚类分析,2019年6月30日,100,取 ，得,取 ，得,模糊聚类分析,2019年6月30日,101,画出动态聚类图如下：,模糊聚类分析,2019年6月30日,102,若利用直接聚类法,模糊相似矩阵,取1, 此时 为单位矩阵，故分类自然为,x1，x2，x3，x4，x5。,取0.70, 此时,2019年6月30日,103,故分类应为x1， x3， x2, x4，x5。,x2, x4为相似类,取0.63, 此时,x2, x4， x1, x4为相似类，,有公共元素x4的相似类为 x1, x2, x4,故分类应为x1 , x2, x4， x3， x5。,2019年6月30日,104,取0.62, 此时,x2, x4, x1, x4, x1, x3为相似类，,有公共元素x4的相似类为 x1, x2, x3,x4,故分类应为x1, x2, x3,x4， x5。,2019年6月30日,105,取0.53, 此时,故分类应为x1, x2, x3, x4 , x5 。,2019年6月30日,106,模糊聚类分析的简要流程:,2019年6月30日,107,4、最佳阈值的确定,模糊聚类分析,（1） 按实际需要，调整 的值，或者是专家给值。,（2） 用 F - 统计量确定最佳值。,针对原始矩阵 X，得到,其中，,设对应于 的分类数为 r ,第 j 类的样本数为 nj ,第 j 类的样本记为：,2019年6月30日,108,则第j类的聚类中心为向量：,其中， 为第k个特征的平均值,作F - 统计量,模糊聚类分析,2019年6月30日,109,模糊聚类分析,若是,则由数理统计理论知道类与类之间的差异显著,若满足不等式的 F 值不止一个，则可进一步考察,差值 的大小，从较大者中选择一个即可。,其中,2019年6月30日,110,2019年6月30日,111,模糊模式识别,2019年6月30日,112,模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式就是在已知各种标准类型(数学形式化了的类型)的前提下，判断识别对象属于哪个类型？对象也要数学形式化，有时数学形式化不能做到完整，或者形式化带有模糊性质，此时识别就要运用模糊数学方法。,模糊模式识别,2019年6月30日,113,在科学分析与决策中，我们往往需要将搜集到的历史资料归纳整理，分成若干类型，以便使用管理。当我们取到一个新的样本时，把它归于哪一类呢？或者它是不是一个新的类型呢？这就是所谓的模式识别问题。在经济分析，预测与决策中，在知识工程与人工智能领域中，也常常遇到这类问题。 本节介绍两类模式识别的模糊方法。一类是元素对标准模糊集的识别问题 点对集；另一类是模糊集对标准模糊集的识别问题 集对集。,模糊模式识别,2019年6月30日,114,例1. 苹果的分级问题 设论域 X = 若干苹果。苹果被摘下来后要分级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来分级。于是可以将苹果分级的标准模型库规定为 = 级，级，级，级，显然，模型级，级，级，级是模糊的。当果农拿到一个苹果 x0 后，到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是一个元素（点）对标准模糊集的识别问题。,模糊模式识别,2019年6月30日,115,例2. 医生给病人的诊断过程实际上是模糊模型识别过程。设论域 X = 各种疾病的症候 (称为症候群空间) 。各种疾病都有典型的症状，由长期临床积累的经验可得标准模型库 = 心脏病，胃溃疡，感冒，显然，这些模型(疾病)都是模糊的。病人向医生诉说症状(也是模糊的)，由医生将病人的症状与标准模型库的模型作比较后下诊断。这是一个模糊识别过程，也是一个模糊集对标准模糊集的识别问题.,模糊模式识别,2019年6月30日,116,点对集,1. 问题的数学模型 (1) 第一类模型：设在论域 X 上有若干模糊集：A1，A2，AnF ( X )，将这些模糊集视为 n 个标准模式，x0 X 是待识别的对象，问 x0 应属于哪个标准模式 Ai ( i =1，2， n ) ?,(2) 第二类模型：设 AF ( X )为标准模式，x1, x2, , xn X 为 n 个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个 xi (i =1，2， n ) ?,模糊模式识别,2019年6月30日,117,一最大隶属原则,最大隶属原则：,最大隶属原则：,模糊模式识别,2019年6月30日,118,模糊模式识别,2019年6月30日,119,例：考虑通货膨胀问题。设论域为 R+ = x R| x0，它表示价格指数的集合，将通货状态分成 5 个类型（x 表示物价上涨 x %)： 通货稳定 轻度通货膨胀,模糊模式识别,2019年6月30日,120,中度通货膨胀 重度通货膨胀 恶性通货膨胀,模糊模式识别,2019年6月30日,121,当 x0 = 8 时，即物价上涨率为 8 %，我们有： A1(8) = 0.3679， A2 (8) = 0.8521， A3(8) = 0.0529 A4(8) 0， A5 (8) 0。 此时，通货状态属于轻度通货膨胀。,模糊模式识别,当 x0 = 40 时，即物价上涨率为40 %，我们有： A1(40) 0， A2 (40 ) 0， A3(40) = 0.0003 A4(40) = 0.1299， A5 (40) = 0.6412。 此时，通货状态属于恶性通货膨胀。,2019年6月30日,122,一最大隶属原则,最大隶属原则：,最大隶属原则：,模糊模式识别,2019年6月30日,123,例 细胞染色体形状的模糊识别,细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识别,而几何图形常常化为若干个三角图形,故设论域为三角形全体.即 X =(A,B,C )| A+B+C =180, ABC 标准模型库=E(正三角形),R(直角三角形), I(等腰三角形),IR(等腰直角三角形),T(任意三角形).,某人在实验中观察到一染色体的几何形状，测得其三个内角分别为94,50,36,即待识别对象为x0=(94,50,36).问x0应隶属于哪一种三角形？,2019年6月30日,124,先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数.,直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足条件： (1) 当A=90时, R(A,B,C)=1; (2) 当A=180时, R(A,B,C)=0; (3) 0R(A,B,C)1.,因此，不妨定义R(A,B,C ) = 1 - |A - 90|/90.,则R(x0)=0.955.,2019年6月30日,125,正三角形的隶属函数E(A,B,C)应满足：,(1) 当A = B = C = 60时, E(A,B,C )=1; (2) 当A = 180, B = C = 0时, E(A,B,C)=0; (3) 0E(A,B,C)1.,因此，不妨定义E(A,B,C ) = 1 (A C)/180.,则E(x0) =0.677.,2019年6月30日,126,等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足：,(1) 当A = B 或者 B = C时, I(A,B,C )=1; (2) 当A = 180, B = 60, C = 0时, I(A,B,C ) = 0; (3) 0I(A,B,C )1.,因此，不妨定义 I(A,B,C ) = 1 (A B)(B C)/60.,则I(x0) =0.766.,2019年6月30日,127,等腰直角三角形的隶属函数 (IR)(A,B,C) = I(A,B,C)R (A,B,C);,(IR) (x0) = 0.7660.955=0.766.,任意三角形的隶属函数 T(A,B,C) = IcRcEc= (IRE)c.,T(x0) =(0.7660.9550.677)c = (0.955)c = 0.045.,通过以上计算,R(x0) = 0.955最大,所以x0应隶属于直角三角形.,2019年6月30日,128,例 选择优秀考生。设考试的科目有六门 x1：政治 x2：语文 x3：数学 x4：理、化 x5：史、地 x6：外语 考生为 y1，y2，yn，组成问题的论域 Y = y1, y2, , yn。设 A = “优秀”，是 Y 上的模糊集，A(yi) 是第 i 个学生隶属于优秀的程度。给定 A(yi) 的计算方法如下：,模糊模式识别,2019年6月30日,129,式中 i =1, 2, , n 是考生的编号，j =1, 2, ,6 是考试科目的编号， j 是第 j 个考试科目的权重系数。按照最大隶属度原则，就可根据计算出的各考生隶属于“优秀”的程度（隶属度）来排序。 例如若令 1= 2= 3=1， 4= 5= 0.8， 6= 0.7, 有 四个考生 y1, y2, y3, y4，其考试成绩分别如表 3.4,模糊模式识别,2019年6月30日,130,表 3.4 考生成绩表,模糊模式识别,2019年6月30日,131,则可以计算出 于是这四个考生在“优秀”模糊集中的排序为： y2, y4, y1, y3.,模糊模式识别,2019年6月30日,132,阈值原则：,模糊模式识别,有时我们要识别的问题，并非是已知若干模糊集求论域中的元素最大隶属于哪个模糊集（第一类模型），也不是已知一个模糊集，对论域中的若干元素选择最佳隶属元素（第二类模型），而是已知一个模糊集，问论域中的元素，能否在某个阈值的限制下隶属于该模糊集对应的概念或事物，这就是阈值原则，该原则的数学描述如下：,2019年6月30日,133,模糊模式识别,2019年6月30日,134,例 设有三个三角形的模糊集：I 表示“近似等腰三角形”，R 表示“近似直角三角形”，E 表示“近似正三角形”，它们是论域 X= (A, B, C) | A + B + C =180, A B C 0 上的模糊集，其隶属函数规定如下：,2019年6月30日,135,容易验证，当 A =B 或 B = C 时，I ( A, B, C ) =1；I(120, 60, 0) = 0； 当 A = 90 时，R( A，B，C ) =1；R(180，0，0) = 0； 当 A = B = C 时，E(60，60，60) =1；E(180, 0, 0)=0。这说明以上隶属函数在边界情况下是合理的。 现有一三角形，其三个内角分别为 A = 70，B = 60，C = 50，问这个三角形应该算作哪一类三角形？,2019年6月30日,136,计算 按最大隶属度原则，这个三角形比较接近“近似正三角形”,2019年6月30日,137,若给定 1= 0.85，则因 E (70, 60, 50) = 0.8891，所以 (70, 60, 50) 可认为属于“近似正三角形”。 若给定 2= 0.8, 则因 I(70, 60, 50) = 0.8332， E(70, 60,5 0) = 0.889 2，所以 (70, 60, 50) 可认为既属于“近似等腰三角形”又属于“近似正三角形”。 这就是说在模糊集的识别问题中，有时也不是唯一的，也存在着“亦此亦彼”的情况。,2019年6月30日,138,例如 已知 “青年人” 模糊集 Y，其隶属度规定为 对于 x1 = 27 岁及 x2 = 30 岁的人来说，若取阈值,模糊模式识别,2019年6月30日,139,1 = 0.7，,模糊模式识别,故认为 27 岁和 30 岁的人都属于“青年人” 范畴。,则因 Y(27) = 0.862 1，,而 Y(30) = 0.5 1 ，,故认为 27 岁的人尚属于“青年人” ，而 30 岁人的则不属于“青年人” 。,若取阈值 2 = 0.5，,则因 Y(27) = 0.862 2,而 Y(30) = 0.5 = 2 ，,2019年6月30日,140,模糊模式识别,集对集,例如：论域为“茶叶”，标准有5种 待识别茶叶为B，反映茶叶质量的6个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶,2019年6月30日,141,在实际问题中，我们常常要比较两个模糊集的模糊距离或模糊贴近度，前者反映两个模糊集的差异程度，后者则表示两个模糊集相互接近的程度，这是一个事情的两个方面。如果待识别的对象不是论域 X 中的元素 x，而是模糊集 A，已知的模糊集是 A1, A2, , An，那么问 A 属于哪个 Ai (i = 1, 2, n)？就是另一类模糊模式识别问题 集对集。解决这个问题，就必须先了解模糊集之间的距离或贴近度。,2019年6月30日,142,1. 距离判别分析 定义 设 A、B F ( X )。称如下定义的dP(A, B) 为 A 与 B 的 Minkowski (闵可夫斯基) 距离 (P1)： ) 当 X = x1, x2, , xn 时， ) 当 X = a, b 时，,模糊模式识别,2019年6月30日,143,特别地， p=1 时，称 d 1(A, B) 为 A 与 B 的 Hamming (海明) 距离。 p=2 时，称 d2(A, B) 为 A 与 B 的 Euclid (欧几里德) 距离。 有时为了方便起见，须限制模糊集的距离在 0, 1中，因此定义模糊集的相对距离 dp(A, B) ，相应有 (1) 相对 Minkowski 距离,模糊模式识别,2019年6月30日,144,(2) 相对 Hamming 距离,模糊模式识别,2019年6月30日,145,(3) 相对 Euclid 距离,模糊模式识别,2019年6月30日,146,有时对于论域中的元素的隶属度的差别还要考虑到权重 W(x)0，此时就有加权的模糊集距离。一般权重函数满足下述条件： 当 X = x1，x2，xn 时，有 当 X = a, b 时，有 加权 Minkowski 距离定义为,模糊模式识别,2019年6月30日,147,加权 Hamming 距离定义为 加权 Euclid 距离定义为,模糊模式识别,2019年6月30日,148,例 欲将在 A 地生长良好的某农作物移植到 B地或 C 地，问 B、C 两地哪里最适宜？ 气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件，因而 A、B、C 三地的情况可以表示为论域 X = x1 (气温)，x2 (湿度)，x3 (土壤) 上的模糊集，经测定，得三个模糊集为,模糊模式识别,2019年6月30日,149,由于 dw1( A, B ) dw1( A, C )，说明 A，B 环境比较相似，该农作物宜于移植 B 地。,模糊模式识别,设权重系数为 W = ( 0.5, 0.23, 0.27 )。计算 A 与 B 及 A 与 C 的加权 Hamming 距离，得,2019年6月30日,150,2、贴近度,模糊模式识别,按上述定义可知，模糊集的内积与外积是两个实数。,AB=,定义 设 A，B F (U)，称,为 A 与 B 的内积，称,为 A 与 B 的外积。,2019年6月30日,151,比较，可以看出 AB 与 ab 十分相似，只要把经典数学中的内积运算的加 “+” 与乘 “ ” 换成取大 “” 与取小 “” 运算，就得到 AB。,模糊模式识别,若 X =x1, x2, xn，记 A(xi) = ai，B(xi) = bi，则,与经典数学中的向量 a = a1, a2, an 与向量 b = b1, b2, bn 的内积,2019年6月30日,152,例 设 X =x1, x2, x3, x4, x5, x6, 则,A B,模糊模式识别,2019年6月30日,153,例 设 A，BF (R)，A、B 均为正态型模糊集，其隶属函数如图,模糊模式识别,2019年6月30日,154,由定义知AB 应为 max( AB ) ，隶属度曲线CDE 部分的峰值，即曲线 A(x) 与 B(x) 的交点 x* 处的纵坐标。为求 x*，令,解得,于是,类似地，由于,故 A B=0。,模糊模式识别,2019年6月30日,155,模糊模式识别,表示两个模糊集A，B之间的贴近程度。,或 L( A，B) = ( AB) ( A B)C,2019年6月30日,156,C =,C =,故B比A更贴近于.,模糊模式识别,2019年6月30日,157,模糊模式识别,2019年6月30日,158,模糊模式识别,2019年6月30日,159,二、择近原则,模糊模式识别,2019年6月30日,160,模糊模式识别,例如：论域为“茶叶”，标准有5种 待识别茶叶为B，反映茶叶质量的6个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶,B)，,2019年6月30日,161,模糊模式识别,计算得,故茶叶 B 为 A1 型茶叶。,2019年6月30日,162,2019年6月30日,163,模糊综合评判,一、一级模糊综合评判,2019年6月30日,164,模糊综合评判,2019年6月30日,165,模糊综合评判,2019年6月30日,166,模糊综合评判,2019年6月30日,167,模糊综合评判,2019年6月30日,168,根据运算 的不同定义，可得到以下不同模型：,模糊综合评判,2019年6月30日,169,例如有单因素评判矩阵,则B(0.18, 0.18, 0.18, 0.18),2019年6月30日,170,模糊综合评判,2019年6月30日,171,模糊综合评判,2019年6月30日,172,其中：,模糊综合评判,2019年6月30日,173,实例：某平原产粮区进行耕作制度改革，制定了甲(三种三收) 乙(两茬平作),丙(两年三熟) 3种方案,主要评价指标有：粮食亩产量，农产品质量，每亩用工量，每亩纯收入和对生态平衡影响程度共5项，根据当地实际情况，这5个因素的权重分别为0.2, 0.1, 0.15, 0.3, 0.25,其评价等级如下表,2019年6月30日,174,经过典型调查，并应用各种参数进行谋算预测，发现3种方案的5项指标可达到下表中的数字，问究竟应该选择哪种方案。,过程：,因素集,权重,A（0.2, 0.1, 0.15, 0.3, 0.25）,评判集,2019年6月30日,175,建立单因素评判矩阵：因素与方案之间的关系可以通过建立隶属函数，用模糊关系矩阵来表示。,产量的隶属函数,2019年6月30日,176,产品质量的隶属函数,2019年6月30日,177,用工的隶属函数,纯收入的隶属函数,生态平衡的影响因素的隶属函数,2019年6月30日,178,将方案中的数据代入各隶属函数的公式中，算出相应的隶属度。,方案甲,2019年6月30日,179,得到单因素评判矩阵,由加权平均型进行综合评判,归一化得,可见，乙方案最佳，丙方案次之，甲方案最差。,2019年6月30日,180,二、多级模糊综合评判（以二级为例）,问题：对高等学校的评估可以考虑如下方面,模糊综合评判,2019年6月30日,181,二级模糊综合评判的步骤：,模糊综合评判,2019年6月30日,182,模糊综合评判,2019年6月30日,183,模糊综合评判,2019年6月30日,184,模糊综合评判,2019年6月30日,185,模糊综合评判,2019年6月30日,186,模糊综合评判,2019年6月30日,187,模糊综合评判,2019年6月30日,188,模糊综合评判,2019年6月30日,189,2019年6月30日,190,模糊线性规划,一、模糊约束条件下的极值问题,例：某人想买一件大衣，提出如下标准：式样一般，质量好，尺寸较全身，价格尽量便宜，设有5件大衣Xx1,x2,x3,x4,x5供选择，经调查结果如表,问他应该