人教版高中数学2.2.2第2课时对数函数及其性质的应用.ppt

第2课时 对数函数及其性质的应用,类型 一 对数函数单调性的应用 【典型例题】 1.(2013大庆高一检测)已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6, 则( ) A.bac B.cba C.cab D.bca 2.已知logm7logn70，则m,n,0,1之间的大小关系是_.,3.已知函数f(x)=loga(x-1)(a0,且a1),g(x)=loga(3-x)(a0,且a1). (1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的定义域. (2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f(x)g(x)中x的取值范围,【解题探究】1.比较题1中这三个对数的大小时可以选取什么数作为中间量？同底数的两个对数如何比较大小？ 2.真数相同的两个对数比较大小可以用什么方法？ 3.解对数不等式的依据是什么？对数的底数含有字母时,解对数不等式要注意什么？,探究提示： 1.可以选取“1”作为中间量.同底数的两个对数比较大小,可以利用对数函数的单调性由真数的大小推出相应对数的大小. 2.真数相同的两个对数比较大小,可以根据不同底数对数函数的图象分析，也可以利用换底公式转化为同底对数进行比较. 3.解对数不等式可以利用对数函数的单调性由对数的大小推出真数的大小.对数的底数含有字母时，解对数不等式要注意分底数大于1和大于零且小于1两类讨论.,【解析】1.选D.因为函数y=log2x在(0,+)上是增函数，且3.62，所以log23.6log22=1, 因为函数y=log4x在(0,+)上是增函数，且3.23.64，所以log43.2log43.6log44=1, 所以log43.2log43.6log23.6，即bca.,2.方法一：根据题意，作出函数y=logmx， y=lognx的图象如图所示：,由图象可知00, 所以 即log7nlog7m0=log71,所以0nm1. 答案：0nm1,3.(1)要使函数h(x)=f(x)-g(x)=loga(x-1)-loga(3-x)有意 义，需有 解得1x3, 故函数h(x)=f(x)-g(x)的定义域为(1,3).,(2)因为不等式f(x)g(x)，即loga(x-1)loga(3-x), 当a1时，有 解得2x1时，不等式f(x)g(x)中x的取值范围为 2,3)； 当0a1时，不等式f(x)g(x)中x的取值范围为(1,2.,【拓展提升】 1.比较对数值大小时常用的三种方法,2.两类对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)g(x)0； 当a1时，可转化为0ab； 当a1时，可转化为0f(x)ab.,【变式训练】若实数a满足loga 1或01或0a,类型 二 与对数函数有关的函数的最大(小)值或值域问题 【典型例题】 1.(2013佛山高一检测)函数y=log3(3x+1)的值域为_ 2.若函数f(x)=logax(a0，且a1)在区间a,2a上的最大值是最小值的3倍，求a的值.,【解题探究】1.求形如y=logaf(x)的函数的值域，可以转化为求哪两个函数的值域问题？ 2.要求出函数f(x)在区间a,2a上的最大值和最小值，需要知道函数f(x)在区间a,2a上的什么性质？ 探究提示： 1.可以转化为求关于x的函数u=f(x)的值域和关于u的函数y=logau的值域. 2.要知道函数f(x)在区间a,2a上的单调性.,【解析】1.因为3x+10对任意xR都成立，所以函数y=log3(3x+1)的定义域是R, 令u=3x+1，则y=log3u, 由xR得u=3x+1(1,+). 又因为关于u的函数y=log3u在(1,+)上为增函数,所以由u(1,+)得y=log3u(0,+). 所以函数y=log3(3x+1)的值域为(0,+). 答案：(0,+),2.(1)当a1时，f(x)=logax在区间a,2a上是增函数, f(x)max=f(2a)=loga(2a), f(x)min=f(a)=logaa=1,loga(2a)=31,2a=a3, 又a1,a2=2,a=,(2)当0a1时，f(x)=logax在区间a,2a上是减函数， f(x)max=f(a)=logaa=1, f(x)min=f(2a)=loga(2a), 3loga(2a)=1,2a= 8a3=a，又0a1, 综上所述，a= 或a=,【拓展提升】求函数y=logaf(x)值域的步骤 (1)换元：先令u=f(x)，再求出f(x)的值域. (2)求新元的范围：结合u0，求出u的取值范围，不妨设为m，n(m0). (3)结合单调性求值域： 若a1，则函数y=logaf(x)的值域为logam,logan； 若0a1，则函数y=logaf(x)的值域为logan,logam.,【变式训练】若函数f(x)=loga(x+1)(a0且a1)的定义域和 值域都是0,1，则a等于( ) A. B. C. D.2 【解题指南】先由x0,1求出x+1的范围，再利用对数函 数的单调性，分两种情况求出loga(x+1)的范围，最后根据值 域为0,1求出a的值.,【解析】选D.因为函数f(x)=loga(x+1)(a0且a1)的定义域和值域都是0,1, 所以0x1，1x+12. (1)当a1时，0=loga1loga(x+1)loga2=1,所以a=2. (2)当0a1时,loga2loga(x+1)loga1=0,与值域是0,1矛盾. 综上所述，a=2.,类型 三 对数函数性质的综合应用 【典型例题】 1.(2013北京高一检测)设偶函数f(x)=loga|x-b|在(-,0)上是增函数，则f(a+1)与f(b+2)的大小关系是( ) A.f(a+1)=f(b+2) B.f(a+1)f(b+2) D.不确定,2.(2013双鸭山高一检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数， 且x0时， (1)求f(1)，f(-1). (2)求函数f(x)的表达式. (3)若f(a-1)-f(3-a)0，求a的取值范围.,【解题探究】1.奇函数和偶函数的定义域有什么特征？由此可以求出b的值吗？a+1与b+2的大小关系和f(a+1)与f(b+2)的大小关系有什么联系？ 2.题2中求函数f(x)的表达式，关键是求自变量在各取值范围内取值时的表达式.如何利用f(-x)与f(x)的关系求表达式？,探究提示： 1.奇函数和偶函数的定义域关于原点对称，由此可以求出b的值.根据函数f(x)的单调性可以由a+1与b+2的大小关系推出f(a+1)与f(b+2)的大小关系. 2.函数f(x)的定义域是R，求其表达式关键是求x0和x=0时f(x)的表达式.函数f(x)是奇函数，可利用f(x)=-f(-x)求表达式.,【解析】1.选C.因为偶函数f(x)的定义域是(-,b)(b,+)，所以b=0. 于是f(x)=loga|x|，又因为函数f(x)在(-,0)上是递增函数， 所以函数f(x)在(0,+)上是递减函数，即函数y=logax在(0,+)上是递减函数，故0f(b+2).,2.(1)f(1)= =-3，f(-1)=-f(1)=3. (2)因为f(x)在R上为奇函数， 所以f(0)=0,令x0，所以f(x)=-f(-x)= 所以,(3)设x1,x2(0,+)且x1x1+70，所以00时， f(x)f(0)=0, f(x)= 在0,+)上为减函数，,又f(x)在R上为奇函数，图象关于原点对称, f(x)在R上为减函数.由于f(a-1)3-a, a2.,【互动探究】题2中，若函数f(x)是偶函数，试求当x0，因为函数f(x)是偶函数, 所以f(x)=f(-x)= 故当x0时，,【拓展提升】 1.对数函数性质的综合应用 (1)常见的命题方式 对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算. (2)解此类问题的基本思路 首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路.,2.解答ylogaf(x)型或yf(logax)型函数要注意的问题 (1)要注意变量的取值范围.例如，f(x)log2x， g(x)x2x，则f(g(x)log2(x2x)中需要g(x)0；g(f(x)(log2x)2log2x中需要x0. (2)判断ylogaf(x)型或yf(logax)型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，其次再利用奇偶性定义判断,【变式训练】设f(x)=lg(10x+1)+ax是偶函数，那么a的值为_. 【解析】对于任意xR都有10x+10, 所以f(x)=lg(10x+1)+ax的定义域是R, 由题意知lg(10-x+1)+a(-x)=lg(10x+1)+ax, -ax=lg(10x+1)+ax, lg(10x+1)-lg10x-ax=lg(10x+1)+ax, 整理得(2a+1)x=0对任意xR都成立, 所以2a+1=0， 答案：,复合函数的单调性 【典型例题】 1.已知y=loga(2-ax)在0,1上是关于x的减函数，则a的取 值范围是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.2,+) 2.函数 其中x(-,-3)(1,+)的单调递 增区间是_. 3.证明函数f(x)=log2(x2+1)在(0，+)上是增函数.,【解析】1.选B.令u=2-ax, a0,且a1, u=2-ax在0,1上是关于x的减函数. 又y=loga(2-ax)在0,1上是关于x的减函数， 函数y=logau是关于u的增函数，且对x0,1时， u=2-ax恒为正数, a1且x0,1时,umin=2-a0,1a2.,2.令u=x2+2x-3，则 u=x2+2x-3=(x+1)2-4, 函数u=x2+2x-3图象的对称轴为直线x=-1, 函数u=x2+2x-3在(-,-3)上是减函数，在(1,+)上是增函数. 又函数 在(0，+)上是减函数. 根据复合函数单调性“同增异减”的法则可知， 函数 的单调递增区间是(-,-3). 答案：(-,-3),3.设x1，x2(0，+)，且x1x2， 则f(x1)f(x2)= 0x1x2， 0 +1 +1. 又y=log2x在(0，+)上是增函数， log2( +1)log2( +1)， 即f(x1)f(x2). 函数f(x)=log2(x2+1)在(0，+)上是增函数.,【拓展提升】 1.研究复合函数单调性的三个基本步骤,2.形如y=logaf(x)的函数的单调性 首先要确保f(x)0， 当a1时，y=logaf(x)的单调性在f(x)0的前提下与y=f(x)的单调性一致. 当00的前提下与y=f(x)的单调性相反.,【规范解答】对数型函数的值域问题,【典例】,【条件分析】,【规范解答】 即 1分 log2x3. 2分 =(log2x-log22)(log2x-log24) 4分 =(log2x-1)(log2x-2). 6分,令t=log2x, 则 t3, f(x)=g(t)=(t-1)(t-2)=(t- )2- . 8分 t3, f(x)max=g(3)=2, 10分 f(x)min=g( ) = 11分 函数 的值域为 2. 12分,【失分警示】,【防范措施】 1.重视对数运算性质的应用 恰当应用对数的运算性质，可以实现简化函数解析式的目的. 例如,本题中 均可化为用log2x表示的形式. 2.分析复杂函数与基本初等函数的关系 化未知为已知，化复杂为简单是解答数学问题的基本思路.例 如,本题中通过转化变形最终只要解答t=log2x， g(t)=(t-1)(t-2)两个函数的值域问题即可.,【类题试解】(2013黔西南高一检测)设函数y=f(x)且 lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x). (1)求f(x)的解析式及定义域. (2)求f(x)的值域.,【解析】(1)因为 解得0x3，所以函数的定义域是 (0,3). 因为lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),所以lgy=3x(3-x), 所以y=103x(3-x). (2)令u=3x(3-x)，则y=10u.因为u=3x(3-x)=-3(x- )2- , 且x(0,3), 所以u(0, ， 又因为函数y=10u在(0, 上是关于u的增函数, 所以函数f(x)的值域为(1, .,1.若log2a1，则( ) A.01,b0 D.a1,b0 【解析】选A.函数y=log2x在(0，+)上为增函数， 由log2a1=( )0,得b0.,2.函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)为( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数,【解析】选A.由 得-1x1. 所以函数f(x)的定义域是(-1,1). f(x)loga(1x)loga(1+x) =-loga(1x)loga(1x)=-f(x), 所以函数f(x)是奇函数.,3.函数 的定义域为( ) A.(0，+) B.1,+) C.3,+) D.(0,3) 【解析】选B.由log3x0得log3xlog31,故x1. 所以函数 的定义域为1,+).,4.函数y=2+log2x(x1)的值域是_. 【解析】y=log2x在1,+)上是增函数, 由x1得y=log2xlog21=0,