数学建模范文

2高等数学建模案例1221一元函数微积分12案例1反复学习及效率12案例2旅游方案的最优选择13案例3星级宾馆的定价14案例4高速问题15案例5最短路径问题16案例6网球比赛的场次18案例7硬币游戏中的数学对称18案例8椅子能在不同地面放稳吗？1922多元函数微积分20案例1竞争性产品生产中的利润最大化21案例2石油转运公司22案例3航天飞机的水箱24案例4绿地喷浇设施的节水构想25案例5平均利润26案例6允许缺货的存贮模型27案例7血管分支28案例8消费者的选择31案例9价格和收入变化对需求的影响34案例10经济增长模型37案例11城市人口3923微分方程40案例1发射登月体的模型40案例2人口数量增长的预测模型42案例3放射性废物处理的模型48案例4战争胜负的数学模型50案例5名画伪造案的侦破问题54案例6“饮酒驾车”问题56案例7长沙马王堆一号墓墓葬的年代问题57案例8商品价格如何随着供求关系变化59参考文献603线性代数建模案例6131行列式与矩阵61案例1过定点的多项式方程的行列式61案例2土地用途变更模型62案例3文献检索模型63案例4运动会成绩记录模型64案例5不同城市之间的交通模型67案例6循环比赛名次模型68案例7一种矩阵密码问题69案例8城市出租汽车相互流动后的数量稳态分析70案例9动物数量的按年龄段预测问题7132线性方程组72案例1卫星定位问题73案例2化学方程式的平衡问题74案例3工资问题75案例4交通流量问题77案例5最佳食谱（不定方程组的非负解）78案例6点兵问题（不定方程组的整数解）80案例7投入产出模型81案例8选课策略(线性规划问题)82案例9调整气象站观测问题84案例10调味品配制问题8533特征值与特征向量87案例1污染与工业发展关系问题87案例2快乐的假期旅游89案例3受教育程度的依赖性93案例4捕食者食饵离散动力系统97案例5小行星的轨道问题98案例6电路中电压的确定99参考文献1004概率论与数理统计部分建模10241概率基础模型102案例1特异功能102案例2有趣的蒙特莫特问题103案例3人口问题104案例4传染病的感染106案例5考试成绩的标准分108案例6这样找庄家公平吗109案例7投资决策111案例8报童的诀窍112案例9保险问题114案例10电瓶的寿命115案例11电话外线总数的设定11642统计基础模型117案例1大学生的平均每月生活费117案例2捕鱼问题118案例3吸烟对血压的影响120案例4刀具寿命的“正态拟合”121案例5身高与体重123案例6论钓鱼问题124案例7投诉问题127例1 存贮模型工厂为了连续生产，必须贮存一些原材料，商店为连续销售必须贮存一些商品，如此等等，我们把这些贮存物统称为存贮。存贮问题的原型可以是真正的仓库存货，水库存水，也可以是计算机的存贮器的设计问题，甚至是大脑的存贮问题。衡量一个存贮策略优劣的直接标准是，计算该策略所消耗的平均费用，费用通常主要包括：存贮费、订货费（订购费和成本费）、缺货损失费和生产费（若外购，则无此项费用）。由此可知，存贮问题一般模型为：min（订货费（或生产费）+存贮费+缺货损失费） (2.1.1)这里考虑一个简单的库存问题，不允许缺货的订货销售模型，假设： (1)在不允许缺货的情况下，则把缺货费用当作无穷大；(2)当存贮降到零时，可立即得到补充；(3)需求是连续均匀的，设需求速度R为常数；(4)每次订货不变，订货费或生产准备费为a元不变；(5)单位存贮费为k元不变。假定每隔时间T补充一次存贮， T也称为订货周期， 货物单价为k，由上述条件，来考虑存贮系统是怎样运行的， 从存贮量为的任一时刻开始，货物以R的速度减少， 直至减少为零时为止，此时，必须立即进行补充，以便满足需求，对于该模型，只有当存贮量减少到零时，才进行补充， 不必提前补充， 否则会增加不必要的存贮费用，而且据假设易知，每次补充量均相等， 这是一个典型的T循环策略，其存贮状态图由图2.1.1所示。 图2.1.1下面根据存贮状态图来建立相应的模型， 只需考虑一个周期T的费用即可，因为各个周期完全相同，只要其中之一的费用极小化了，就可使总费用极小化。由于订货量应满足需求量， 所以订货量应为RT， 从而成本费为kRT，于是，订货费为，平均订货费为。 又因平均存贮量为所以平均存贮费为，则在时间T内，总的平均费用为为于是，问题归结为 T 取得何值时，最小，即存贮模型为： 这是一个简单的无条件极值问题，易求得它的最优解为： 即每隔时间订货一次， 可使平均费用最小，而每次订货批量为：这便是存贮论中著名的经济订购批量（Economic Order Quantity）公式，简称EOQ公式，亦即最优库存方针的数学模型。例2.1.1是一种理想情况下的最简库存模型， 在建模过程中，作了若干简化，这些简化对建模是必要的，但实际的市场销售情况是复杂的，因此， 所得到的模型只是一种近似情况， 还需经过实践的检验，不过，式(2.1.3)和(2.1.4)所提供的信息对做出库存方针的决策也是很有价值的。例2 怎样使饮料罐制造用材最省的问题首先，把饮料罐假设为正圆柱体(实际上由于制造工艺等要求，它不可能正好是数学上的正圆柱体，但这样简化确实是近似的、合理的)在这种简化下，我们就可以来明确变量和参数了，例如可以假设：V一罐装饮料的体积，r一半径，h一圆柱高，b一制罐铝材的厚度，l一制造中工艺上必须要求的折边长度。上面的诸多因素中，我们先不考虑l这个因素于是： 由于易拉罐上底的强度必须要大一点，因而在制造上其厚度为罐的其他部分厚度的3倍因而制罐用材的总面积A ，每罐饮料的体积V是一样的，因而V可以看成是一个常数(参数)，解出A： 代入A得： 从而知道，用材最省的问题就是求半径r使A(r)达到最小。A(r)的表达式就是一个数学模型。可以用多种精确的或近似的方法求A(r)最小时相应的r。 从而求得 例3 数据拟合模型在数学建模过程中，常常需要确定一个变量依存于另一个或更多的变量的关系，即函数。但实际上确定函数的形式（线性形式、乘法形式、幂指形式或其它形式）时往往没有先验的依据。只能在收集的实际数据的基础上对若干合乎理论的形式进行试验，从中选择一个最能拟合有关数据，即最有可能反映实际问题的函数形式，这就是统计学中的拟合回归方程问题。“人口问题”是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础。有人口统计年鉴，可查的我国从1949年至1994年人口数据智料如下：年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994人口数 (百万) 541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 908.59 975.42 1034.75 1106.76 1176.74分析：（1） 在直角坐标系上作出人口数的图象。（2） 估计出这图象近似地可看做一条直线。（3） 用以下几种方法（之一）确定直线方程，并算出1999年人口数。方法一：先选择能反映直线变化的两个点，如（1949，541.67），（1984，1034.75）二点确定一条直线，方程为N = 14.088 t 26915.842代入t =1999,得N 12.46亿方法二：可以多取几组点对，确定几条直线方程，将t = 1999代入，分别求出人口数，在取其算数平值。方法三：可采用“最小二乘法”求出直线方程。设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), , (x n, y n)是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1x 2x n,我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能最好的反映出这组数据的变化。对个别观察值来说，它可能是正的，也可能是负的。为了不使它们相加彼此抵消，故最好应该是 它可能是正的，也可能是负的。为了不使它们相加彼此抵消，故最好应该是例4 贷款买房问题某居民买房向银行贷款6万元，利息为月利率1%，贷款期为25年，问该居民每月应定额偿还多少钱？确定参变量：用n表示月份， 表示第n个月欠银行的钱，r表示月利率，x表示每月还钱数， 表示贷款额，则可得下表：时间 欠银行款初始 一个月后 二个月后 三个月后 n个月后 由递推关系式 可得 令 =60000元， ,n=300,r=0.01得 元因此，该居民每月应偿还632元。餐厅选菜的规律学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有两样菜：A，B可供选择。调查资料表明，凡是在星期一选A菜的，下星期一会有20%