数学建模作业90分

1. 解：根据地理常识，某地的白昼时间是以一年为周期变化的，以日期在一年中的序号为自变量x，以白昼时间为因变量y,则根据表1.17的数据可知在一年（一个周期）内，随着x的增加，y先增后减，y大约在6月21日（夏至）达到最大值，在12月21日（冬至）达到最小值，在3月21日（春分）或9月21日（秋分）达到中间值。选择正弦函数y=Asin(x1.3712)+12.385预测该地12月21日的白昼时间为5.49小时2解：“两秒准则”表明前后车距D与车速成正比例关系D=K2,其中K2=2s , 对于小型汽车，“一车长度准则”与“两秒准则”不一致。由dD=2（K21）可以计算得到当（K21）/2=54.428/h时有dD，“两秒准则”足够安全，或者吧刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中，根据图形指出“两秒准则”足够安全的车速范围。 用最大刹车距离除以车速，得到最大刹车距离所需要的尾随时间，并以尾随时间为根据，提出更安全的准则，如“3秒准则”、“4秒准则”或“t秒准则”（如下图）。 t秒准则，刹车距离的模型和数据 3、解：（1）考虑每天投入的资金c发生的相对为c/c,则生猪饲养的天数t发生的相对变化t/t是c/c的多少倍，即定义t对c的灵敏度为S（t,c）= 因为c0，所以重新定义t对c的灵敏度为S（t,c）= 由课本上可知t= 所以t=-,所以t是c的减函数为了使t0，c应满足rp(0)-g(0)-c0结合可得S（t,c）= = = 2这个结果表示的意思是如果农场每天投入的资金c增加1%，出售时间就应该提前2% 。（2）同（1）理总收益Q对每天投入资金c的灵敏度为S（Q,c）= Qmax= 结合得Qmax= = =4这结果表示的意思是如果每天投入的资金c增加1%，那么最大利润就会减少4%4、解记第k年山猫 xk,设自然坏境下的年平均增长率为r，则列式得xk+1=(1+r)xk, k=0,1,2其解为等比数列xk=x0(1+r)k, k=0,1,2当分别取r=0.0168 , 0.0055和-0.0450时，山猫的数量在25年内不同的环境下的数量演变为 年 较好 中等 较差 0 100 100 100 1 102 101 96 2 103 101 91 3 105 102 87 4 107 102 83 5 109 103 79 6 111 103 76 7 112 104 72 8 114 104 69 9 116 105 66 10 118 106 63 11 120 106 60 12 122 107 58 13 124 107 55 14 126 108 52 15 128 109 50 16 131 109 48 17 133 110 46 18 135 110 44 19 137 111 42 20 140 112 40 21 142 112 38 22 144 113 36 23 147 113 35 24 149 114 33 25 152 115 32从上可以得出结论：（1） 在较好的自然环境下即r=0.0168时，xk单调增趋于无穷大，山猫的数量将无限增长；（2） 在中等的自然环境下即r=0.0055时，xk单调增并且趋于稳定值；（3） 在较差的环境中即r=-0.0450时，xk单调衰减趋于0，山猫将濒临灭绝。若每年捕获3只,b=3，则列式为Xk+1=(1+r)xkb则山猫在25年内的演变为年 较好 中等 较差 0 100 100 100 1 99 98 93 2 97 95 85 3 96 93 78 4 95 90 72 5 93 88 66 6 92 85 60 7 90 83 54 8 89 80 49 9 87 77 43 10 86 75 39 11 84 72 34 12 83 70 29 13 81 67 25 14 79 64 21 15 78 62 17 16 76 59 13 17 74 56 10 18 73 54 6 19 71 51 3 20 69 48 0 21 67 46 -3 22 65 43 -6 23 63 40 -9 24 61 37 -1125 59 35 -14由图上可知，无论在什么环境下，如果每年捕获山猫3只，单调减趋于0，那么最终山猫的数量都会灭绝，在较差的环境中第20年就会灭绝。同理，如果每年人工捕获山猫1只，那么山猫在不同环境中的演变为年 较好 中等 较差 0 100 100 100 1 101 100 95 2 101 99 89 3 102 99 84 4 103 98 79 5 104 98 75 6 104 97 70 7 105 97 66 8 106 96 62 9 107 96 59 10 107 95 55 11 108 95 51 12 109 94 48 13 110 94 45 14 111 93 42 15 111 93 39 16 112 92 36 17 113 92 34 18 114 92 31 19 115 91 29 20 116 91 26 21 117 90 24 22 118 90 22 23 119 89 20 24 120 88 18 25 121 88 16如果每年人工捕获山猫一只，在较好的环境下山猫的数量仍然会一直增加，在中等的环境下，山猫的数量趋于稳定，但会慢慢减少，在较差的环境下，山猫的数量一直在减少，很快就会灭绝。若要使山猫的数量稳定在60只左右，设每年需要人工繁殖b只，到第k年山猫的数量为xk=(1+r)xk-1+b, k=0,1,2 这时 xk= xk-1 =60，r=-4.5%，代入上式得b3 5解：记存款的年利息为r ,由于一开始存入银行的本金为x0,第k 年存入银行的钱为Xk,并且每年取出当奖金的钱为b,则它们之间存在的关系有：每年利息=本年存入款项 年利息每年取出款项=上一年存入款项+每年利息每年存入款项=每年取出款项- 奖金列式得：由上式解得由实际情况，已知x0 =20(万元)，r在近10多年的变化幅度在2%4%之间，我们取3个值，分别为2%，3%，4%，（1） 当年利率为2%时，每年存入款项随奖金数变化如下 年数奖金数额 2千元 4千元 6千元 0 20.0000 20.0000 20.0000 1.0000 20.2000 20.0000 19.8000 2.0000 20.4040 20.0000 19.5960 3.0000 20.6121 20.0000 19.3879 4.0000 20.8243 20.0000 19.1757 5.0000 21.0408 20.0000 18.9592 6.0000 21.2616 20.0000 18.7384 7.0000 21.4869 20.0000 18.5131 8.0000 21.7166 20.0000 18.2834 9.0000 21.9509 20.0000 18.0491 10.0000 22.1899 20.0000 17.8101 11.0000 22.4337 20.0000 17.5663 12.0000 22.6824 20.0000 17.3176 13.0000 22.9361 20.0000 17.0639 14.0000 23.1948 20.0000 16.8052 15.0000 23.4587 20.0000 16.5413 16.0000 23.7279 20.0000 16.2721 17.0000 24.0024 20.0000 15.9976 18.0000 24.2825 20.0000 15.7175 19.0000 24.5681 20.0000 15.4319 20.0000 24.8595 20.0000 15.1405 21.0000 25.1567 20.0000 14.8433 22.0000 25.4598 20.0000 14.5402 23.0000 25.7690 20.0000 14.2310 24.0000 26.0844 20.0000 13.9156 25.0000 26.4061 20.0000 13.5939 26.0000 26.7342 20.0000 13.2658 27.0000 27.0689 20.0000 12.9311 28.0000 27.4102 20.0000 12.5898 29.0000 27.7584 20.0000 12.2416 30.0000 28.1136 20.0000 11.8864当年利率为2%，学金定为4千元时，因为， 经验算得知，因此存款的数额将趋于稳定.当年利率为2%，奖学金的数额大于4 千元时，单调递减并且将在某一年变为零.同理，当奖学金的数额小于4 千元时，存款的数额将会无限增长.（2） 当年利率为3%时，每年存入款项随奖金数变化如下年数奖金数额 4千元 6千元 8千元 0 20.0000 20.0000 20.0000 1.0000 20.2000 20.0000 19.8000 2.0000 20.4060 20.0000 19.5940 3.0000 20.6182 20.0000 19.3818 4.0000 20.8367 20.0000 19.1633 5.0000 21.0618 20.0000 18.9382 6.0000 21.2937 20.0000 18.7063 7.0000 21.5325 20.0000 18.4675 8.0000 21.7785 20.0000 18.2215 9.0000 22.0318 20.0000 17.9682 10.0000 22.2928 20.0000 17.7072 11.0000 22.5616 20.0000 17.4384 12.0000 22.8384 20.0000 17.1616 13.0000 23.1236 20.0000 16.8764 14.0000 23.4173 20.0000 16.5827 15.0000 23.7198 20.0000 16.2802 16.0000 24.0314 20.0000 15.9686 17.0000 24.3523 20.0000 15.6477 18.0000 24.6829 20.0000 15.3171 19.0000 25.0234 20.0000 14.9766 20.0000 25.3741 20.0000 14.6259 21.0000 25.7353 20.0000 14.2647 22.0000 26.1074 20.0000 13.8926 23.0000 26.4906 20.0000 13.5094 24.0000 26.8853 20.0000 13.1147 25.0000 27.2919 20.0000 12.7081 26.0000 27.7106 20.0000 12.2894 27.0000 28.1419 20.0000 11.8581 28.0000 28.5862 20.0000 11.4138 29.0000 29.0438 20.0000 10.9562 30.0000 29.5151 20.0000 10.4849年利率为3%，学金定为6千元时，因为， 经验算得知，因此存款的数额将趋于稳定. 当年利率为3%，奖学金的数额大于6 千元时，单调递减并且将在某一年变为零.同理，当奖学金的数额小于6 千元时，存款的数额将会无限增长.（3） 当年利率为4%时，每年存入款项随奖金数变化如下年数奖金数额 6千元 8千元 1万元 0 20.0000 20.0000 20.0000 1.0000 20.2000 20.0000 19.8000 2.0000 20.4080 20.0000 19.5920 3.0000 20.6243 20.0000 19.3757 4.0000 20.8493 20.0000 19.1507 5.0000 21.0833 20.0000 18.9167 6.0000 21.3266 20.0000 18.6734 7.0000 21.5797 20.0000 18.4203 8.0000 21.8428 20.0000 18.1572 9.0000 22.1166 20.0000 17.8834 10.0000 22.4012 20.0000 17.5988 11.0000 22.6973 20.0000 17.3027 12.0000 23.0052 20.0000 16.9948 13.0000 23.3254 20.0000 16.6746 14.0000 23.6584 20.0000 16.3416 15.0000 24.0047 20.0000 15.9953 16.0000 24.3649 20.0000 15.6351 17.0000 24.7395 20.0000 15.2605 18.0000 25.1291 20.0000 14.8709 19.0000 25.5342 20.0000 14.4658 20.0000 25.9556 20.0000 14.0444 21.0000 26.3938 20.0000 13.6062 22.0000 26.8496 20.0000 13.1504 23.0000 27.3236 20.0000 12.6764 24.0000 27.8165 20.0000 12.1835 25.0000 28.3292 20.0000 11.6708 26.0000 28.8623 20.0000 11.1377 27.0000 29.4168 20.0000 10.5832 28.0000 29.9935 20.0000 10.0065 29.0000 30.5933 20.0000 9.4067 30.0000 31.2170 20.0000 8.7830年利率为4%，学金定为8千元时，因为， 经验算得知，因此存款的数额将趋于稳定. 当年利率为4%，奖学金的数额大于8 千元时，单调递减并且将在某一年变为零.同理，当奖学金的数额小于8 千元时，存款的数额将会无限增长.6、解：记养老金第k月末的银行账户余额为xk元，则列式为xk+1=(1+r)xkb根据一阶线性常系数非齐次差分方程得xk=（x0+）(1+r)k k=0,1,2,3由题目可知x0=100000，b=1000元，r=0.003,所以账户余额的变化如下月份 余额 0 10.0000 1.0000 9.9300 2.0000 9.8598 3.0000 9.7894 4.0000 9.7187 5.0000 9.6479 6.0000 9.5768 7.0000 9.5056 8.0000 9.4341 9.0000 9.3624 10.0000 9.2905 11.0000 9.2183 12.0000 9.1460 13.0000 9.0734 14.0000 9.0007 15.0000 8.9277 16.0000 8.8544 17.0000 8.7810 18.0000 8.7074 19.0000 8.6335 20.0000 8.5594 21.0000 8.4851 22.0000 8.4105 23.0000 8.3357 24.0000 8.2607 25.0000 8.1855 26.0000 8.1101 27.0000 8.0344 28.0000 7.9585 29.0000 7.8824 30.0000 7.8060 31.0000 7.7295 32.0000 7.6526 33.0000 7.5756 34.0000 7.4983 35.0000 7.4208 36.0000 7.3431 37.0000 7.2651 38.0000 7.1869 39.0000 7.1085 40.0000 7.0298 41.0000 6.9509 42.0000 6.8717 43.0000 6.7924 44.0000 6.7127 45.0000 6.6329 46.0000 6.5528 47.0000 6.4724 48.0000 6.3918 49.0000 6.3110 50.0000 6.2300 51.0000 6.1486 52.0000 6.0671 53.0000 5.9853 54.0000 5.9032 55.0000 5.8210 56.0000 5.7384 57.0000 5.6556 58.0000 5.5726 59.0000 5.4893 60.0000 5.4058 61.0000 5.3220 62.0000 5.2380 63.0000 5.1537 64.0000 5.0691 65.0000 4.9844 66.0000 4.8993 67.0000 4.8140 68.0000 4.7284 69.0000 4.6426 70.0000 4.5566 71.0000 4.4702 72.0000 4.3836 73.0000 4.2968 74.0000 4.2097 75.0000 4.1223 76.0000 4.0347 77.0000 3.9468 78.0000 3.8586 79.0000 3.7702 80.0000 3.6815 81.0000 3.5926 82.0000 3.5033 83.0000 3.4138 84.0000 3.3241 85.0000 3.2341 86.0000 3.1438 87.0000 3.0532 88.0000 2.9623 89.0000 2.8712 90.0000 2.7798 91.0000 2.6882 92.0000 2.5963 93.0000 2.5040 94.0000 2.4116 95.0000 2.3188 96.0000 2.2257 97.0000 2.1324 98.0000 2.0388 99.0000 1.9449 100.0000 1.8508 101.0000 1.7563 102.0000 1.6616 103.0000 1.5666 104.0000 1.4713 105.0000 1.3757 106.0000 1.2798 107.0000 1.1837 108.0000 1.0872 109.0000 0.9905 110.0000 0.8934 111.0000 0.7961 112.0000 0.6985 113.0000 0.6006 114.0000 0.5024 115.0000 0.4039 116.0000 0.3051 117.0000 0.2060 118.0000 0.1067 119.0000 0.0070 120.0000 -0.0930 121.0000 -0.1933 122.0000 -0.2939 123.0000 -0.394