思易学教育寒假专题——三角函数及三角变换(1)

年 级高一学 科数学版 本人教新课标A版课程标题寒假专题三角函数及三角变换编稿老师王志国一校林卉二校李秀卿审核王百玲一、学习目标： 1. 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；2. 角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（/2，的正弦、余弦、正切）。3. 能画出y=sin x，y=cos x，y=tan x的图象，了解三角函数的周期性；4. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在0，2，正切函数在（/2，/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴的交点等）；5. 结合具体实例，了解y=Asin（x+）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（x+）的图象，观察参数A，对函数图象变化的影响。6. 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程；7. 能根据两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系；8. 运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。二、重点、难点：重点：三角函数的性质。难点：能综合运用公式进行恒等变换。三、考点分析：从近几年的新课标高考考卷来看，试题内容主要考查三角函数的图象与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。近几年的新课标高考加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具。三角变换是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。从近几年的高考考查方向来看，考察这部分内容的题型以选择、解答题为多，有时也以填空题的形式出现，它们经常与解三角形及向量知识综合在一起考查。 知识点一：任意角的三角函数及诱导公式例1： 若A、B是锐角ABC的两个内角，则点P（cosBsinA，sinBcosA）在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限思路分析：要判断点所处的象限，关键在于判断其横纵坐标的正负，而已知条件中的锐角三角形到底给了我们什么信息，需要充分挖掘。解答过程：A、B是锐角ABC的两个内角，AB90，B90A， cosBsinA，sinBcosA，故选B。解题后的思考：类似于锐角三角形，三角形内角等条件很容易被同学们忽略。例2：求证：（1）；（2）。思路分析：证明以上恒等式可采取常用的方法，也可运用分析法，即要证，只要证AD=BC，从而将分式化为整式证明：（1）要证等式，即为只要证 2（）（）=即证：，即1=，显然成立，故原式得证。（2）由题意知，所以。左边=右边。原式成立。解题后的思考：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边的差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边；（2）证明左右两边同等于同一个式子；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。小结：1. 几种终边在特殊位置时对应角的集合为：角的终边所在位置角的集合x轴正半轴y轴正半轴x轴负半轴y轴负半轴x轴y轴坐标轴2. 、2之间的关系。若终边在第一象限，则终边在第一或第三象限，2终边在第一或第二象限或y轴正半轴。若终边在第二象限，则终边在第一或第三象限，2终边在第三或第四象限或y轴负半轴。若终边在第三象限，则终边在第二或第四象限，2终边在第一或第二象限或y轴正半轴。若终边在第四象限，则终边在第二或第四象限，2终边在第三或第四象限或y轴负半轴。3. 任意角的概念的意义，任意角的三角函数的定义，同角间的三角函数的基本关系、诱导公式由于本讲重点是任意角的三角函数的基础，因而在学习本讲内容时要注意如下几点：（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制；（2）既要注意差异分析，又要活用公式，还要善于瞄准解题目标进行有效的变形，其解题的一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化。4. 运用同角三角函数关系式化简、证明常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等，应用 “弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的，得到一个只含的较简单的三角函数式。知识点二：三角函数的图象与性质例3：函数y=x+sin|x|，x，的大致图象是（ ）思路分析：利用函数的性质来判断函数的图象。解答过程：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x，为非奇非偶函数。选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数。故选C。解题后的思考：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。例4：把曲线ycosx+2y1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）A.（1y）sinx+2y3=0 B.（y1）sinx+2y3=0C.（y+1）sinx+2y+1=0 D.（y+1）sinx+2y+1=0思路分析：我们熟悉的是函数图象的平移，所以解本题的关键在于把曲线的平移转化成函数图象的平移。解答过程：将原方程整理为：y=，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位，因此可得y=1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.故选答案C。解题后的思考：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移的性质有深刻的理解，可直接将原式化为：（y+1）cos（x）+2（y+1）1=0，即得C选项。小结：1. 数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的。2. 作函数的图象时，首先要确定函数的定义域。3. 对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象。4. 求函数的定义域时，若需先化简式子，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化。5. 求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地将原式化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误。6. 函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两个三角函数值的大小，一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数，再由该函数的单调性来比较大小。7. 判断y=Asin（x+）（0）的单调区间，只需求出y=Asin（x+）的相反区间，常用数形结合的方法求解，而求y=Asin（x+）（0）的单调区间时，则需先将x的系数变为正的，再设法求之。知识点三：三角恒等变形及应用例5：已知，求cos。思路分析：本题需要通过将等式两边平方并相加、减，得到sinsin、coscos 进而令条件和结论建立联系。解答过程：已知sin+sin=1，cos+cos=0，由22得 2+2cos； cos。由22得 cos2+cos2+2cos（）=1，即2cos（）=1。解题后的思考：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin、cos、sin、cos，但未知数有四个，显然前景并不乐观，错误原因在于没有注意到所求式与已知式的关系解本题的关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。例6：已知求。思路分析：由韦达定理可得进而可求出的值，再将所求值的三角函数式用tan表示便可知其值。解答过程：解法一：由韦达定理得tan，所以tan解法二：由韦达定理得tan，所以tan，。解题后的思考：（1）本例中解法二比解法一简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题知识的“最近发展区”。（2）运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数的关系，三角函数名等。抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，且抓住公式的结构特征后，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如：例7：已知正实数a，b满足。思路分析：从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a，则已知等式可化为关于程，从而可求出由；若注意到等式左边的分子、分母都具有的结构，则可考虑引入辅助角求解。解答过程：解法一：解法二：解题后的思考：解法一通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式，或在历年高考中的使用频率相当高，应加以关注；解法二利用了换元法，解法二最佳。小结：1. 证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆中的三角函数线及判别法等。2. 加强三角函数应用意识的训练三角函数部分的考查保持着内容稳定，难度稳定，题量稳定的特点，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题及三角变换的方法。3. 变为主线、抓好训练变是本讲的主题，在三角变换的考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，需用到较特殊技巧的题目不做，应立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中的习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。针对高考题目来看，还要强化变角训练，注意经常收集角间关系的观察分析方法.另外，如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要 加强，这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合题目的解法。下一讲我们将进行平面向量的专题复习，请同学们提前做好准备。 （答题时间：45分钟）1. 函数的最小值是（ ）A. -1 B. C. D. 12. 若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函的图象重合，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 3. 将函数y=sinx的图象向左平移0 2个单位后，得到函数y=sin的图象，则等于 （ ）A. B. C. D. 4. 函数的图象按向量平移到，的函数解析式为当为奇函数时，向量可以等于（ ）A. B. C. D. 5. 已知函数=Acos（）的图象如图所示，则=（ ）A. B. C. D. 6. 函数的最小值是_ .7. 已知向量与互相垂直，其中.（1）求和的值；（2）若，求的值。8. 设函数f（x）=2在处取得最小值。（1）求的值；（2）在ABC中，分别是角A，B，C的对边，已知，求角C。1. 答案：B解析：，故选B。2. 答案：D解析：本题考查正切函数的图象及图象的平移，由平移的性质及周期性得出min=。3. 答案：D解析：函数的图象向左平移个单位得到的图象，由条件知函数可化为函数，比较各答案，只有符合题意，所以选D项。4. 答案：B