相似教材分析

第二十七章 相似 教材分析 201010相似作为图形的一种变换是全等变换的拓广和发展，也是学习锐角三角函数、投影与视图的基础同时相似被广泛应用于现实生活中本章也处于学生逻辑推理证明进一步巩固和提高的重要阶段，通过训练提高学生分析解决实际问题的能力一 、课程学习目标：1了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段2通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边的比相等、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定定理，并能利用这些性质和判定定理解决生活中的一些实际问题3了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化4结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的教学，进一步培养学生综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力，同时对学生进行辨证唯物主义世界观的教育二、2010年中考说明的考试要求：考试内容考试要求ABC空间与图形图形的认识相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题图形与变换相似了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系会用比例的基本性质解决有关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小三、本章知识结构框图：相似图形相似多边形相似三角形位似图形对应角相等对应边的比相等周长比等于相似比面积比等于相似比的平方相似三角形的判定应用四、本章双基：重点：相似多边形的有关性质以及相似三角形的判定难点：相似三角形的判定定理的证明基本知识：比例基本性质，相似多边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，位似的定义及性质基本技能：会用比例线段求线段长或列方程，会用相似多边形、相似三角形的性质与判定解决简单的实际问题，会画位似图形基本思想方法：类比与对比思想、转化与化归思想、方程与函数思想基本实践活动：制作地图，测建筑物的高，测河宽等五、课时安排：本章教学时间约需13（+2）课时，具体分配如下（仅供参考）：预备知识 比例的概念和性质 2课时271 图形的相似 2课时272 相似三角形 共7课时 相似的判定 4课时 相似的性质 2课时 相似的应用 1课时273 位似 2课时数学活动 小结 2课时六、教学建议：1突出图形性质的探索过程，重视实验操作和逻辑推理的有机结合2注意联系实际，突出建模思想3重视运用类比和转化的数学思想方法学习本章知识4进一步培养推理论证能力5从运动变换的角度学习，加强学生对图形的认识和理解6注意把握好教学要求 7重视信息技术的应用七、各节教学要点：271图形的相似一、预备知识：1线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段，长度分别是，那么就说这两条线段的比是，或写成2成比例线段：对于四条线段、，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段3比例的基本性质：（实质是比例式与等积式的互化）4比例的性质：（1）更比：（2）反比：（3）合比：若，则或； 推广：若，则（分母不能为0）（4）等比：如果，那么；推广：如果，那么（分母不能为0）5证明比例式的常用方法：（1）“见比设k”：（以等比性质证明为例），设则又，（2）利用等式性质：（以合比性质证明为例）证明一：， 证明二：， （3）利用比例的性质：（以等比性质证明为例），（更比） （合比）（更比） 同理：注意：教材对于成比例线段和比例的性质的要求有所降低本章要求了解线段的比、成比例线段的相关概念：如比的前项、后项，比例的项、外项、内项等，同时掌握比例的基本性质即可对于合比、等比等性质，可以很容易由比例的基本性质推出，可以向学生介绍，不作一般教学要求另外，由于对成比例线段的要求的降低，教科书在后面叙述相似多边形性质时，使用的是“对应边的比相等”，而不是“对应线段成比例”，这一点在教学时也应引起注意二、图形的相似：1相似图形：我们把这种形状相同的图形叫做相似图形2相似多边形的性质：相似多边形对应角相等，对应边的比相等3相似多边形的判定：两个边数相同的多边形，对应角都相等，对应边的比都相等，同时满足上述条件的两个多边形相似注：（1）相似图形不仅仅是平面图形、也包括立体图形，如两个球体、两个正方体（2）对于相似图形的描述性定义不能直接判定两个多边形相似，在这里相似多边形的性质和判定是统一的，也可以作为相似多边形的定义例1下列图形中，必是相似形的是（ ）C A都有一个角是40的两个等腰三角形 B都有一个角为50的两个等腰梯形C都有一个角是30的两个菱形 D邻边之比为2：3的两个平行四边形272 相似三角形2721 相似三角形的判定一、相似三角形的概念：1相似三角形：三组对应角分别相等，三组对应边的比分别相等的两个三角形相似注：（1）如ABC与DEF相似，记作ABCDEF，其中对应顶点要写在对应位置，如A与D，B与E，C与F相对应，这样比较容易找出对应角和对应边（2）相似比带有顺序性：如：ABCABC的相似比为，反过来ABCABC的相似比为（3）全等三角形是相似比为1的相似三角形，因此全等三角形是相似三角形的特殊情况二、相似三角形的判定定理：1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似注：ABCDE（1）对于这个定理，由于没有平行线分线段成比例的定理的基础，无法进行常规证明因此教科书仅就其特殊情况（这条直线过三角形一边的中点）进行了证明，对于一般情况，可以采用合情推理的方式处理，也可以利用面积给予证明已知：如图，ABC中，DEBC，交AB、AC于D、E求证：ADEABC证明：连接CD、BEDEBC，ADE=B，AED=C，ABCDE又，ABCOEME156cmNEHG图180cmCDEF过点D作DFAC，交BC于F同理又四边形DECF是平行四边形， DE=CF又A=A，ADE=B，AED=C，ADEABC（2）当平行于三角形一边的直线和其他两边延长线相交时，所构成的三角形也和原三角形相似2如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似3如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似4如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似注：（1）三角形相似的判定与三角形全等的判定方法类似，可以通过弱化定义和类比全等判定两方面来研究、记忆、理解相似三角形的判定也是从“边边边”的情况开始的全等的判定相似的判定两角夹一边对应相等（ASA）两角一对边对应相等（AAS）两边及夹角对应相等（SAS）三边对应相等（SSS）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例（2）相似三角形判定定理的证明是在其中一个三角形内部构造一个与另一个三角形全等的三角形，利用前面的引理，证明这个三角形与它相似，在这里利用了相似的传递性（3）“边边角”依然不成立反例：如图，BD=BC，A=A，但ABD与ABC不相似5直角三角形的特殊判定：（1）（书习题272第17题）如果两个直角三角形的斜边的比和另一个对应的直角边的比相等，那么这两个直角三角形相似（2）（书P49练习2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似三、基本图形：1平行型2交叉型四、典型例题：例2图中相似的三角形是：例3在ABCD中，E是BC上一点，BE:EC=2:3，AE交BD于点F，求：BF:BD的值例4如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC的垂直平分线与AD交于点E，与BC交于点F，求EF例5如图，ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连结DE并延长交BC的延长线于点F，连结DC，BE，若BDE+BCE=180，写出图中的相似三角形，并证明例6已知ABC，DCE，FEG是三个全等的等腰三角形，且，BC=1，求证：BFGFEG，并求BF例7已知，如图EFBC，FGCD，求证：AEGABD五、证明等积式或比例式的基本方法：1“三点定形”例8如图，AD、CE是ABC的高，AD和CE相交于点F，求AFFD=CFFE例9如图，点E是四边形ABCD对角线BD上一点，且BAC=BDC=DAE求证：AEAC=ADAB2等线段代换、等比代换、等积代换例10已知，ABCD是正方形，GFBE，求证：EFAE=BEEC例11已知：在ABC中，ACB=90，D是AB中点，过D作AB的垂线交CB于E，交AC的延长线于F，求证：CD2=DEDF3添加平行线：例12已知，AD=BE，求证：例13如图，ABC中，D是BC中点，E是AD上一点，CE的延长线交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB4中考链接例14（2009泰安）如图，ABC是直角三角形，ACB=90，CDAB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F（1）求证：FD2=FBFC（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由例15(2009年潍坊)已知，延长BC到D，使取的中点，连结交于点（1）求的值；（2）若，求的长2722相似三角形应用举例一、知识点：1比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实地距离2太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线在同一时刻，两物体影子之比等于其对应的高的比3视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）；视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉所成的角，物体越小或距离越远，视角越小；盲区：观察者看不到的区域；仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角4会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度如：测量旗杆的高度 BEFGH平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法二、中考链接：例16（2009年宜宾）如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A端的人可以将B端的人跷高15米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高 米（1）例17(2009年陕西省)小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同此时，测得小明落在墙上的影子高度CD12m，CE08m，CA30m（点A、E、C在同一直线上）已知小明的身高EF是17m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到01m）（20.0）例18如图，花丛中有一路灯杆AB在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH=5米如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度（精确到0.1米）2723 相似三角形的周长与面积一、知识点：1 相似三角形的性质：（1）对应角相等，对应边的比相等（2）对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比（2）周长比等于相似比（3）面积比等于相似比的平方2 相似多边形的性质：（1）对应角相等，对应边的比相等（2）周长比等于相似比（3）面积比等于相似比的平方注意：本节课的关键词就是相似比。加深对相似比的认识和理解可以帮助我们更加灵活简便地分析和解决问题二、典型例题：例19锐角ABC中，BC6，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MNBC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与ABC公共部分的面积为y（y 0），当x ，公共部分面积y最大，y最大值 例20如图，在ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQAB，P点在AC上，Q在BC上，（1）当PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求PC的长；（2）当PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求PC的长二、中考链接：例21（2009年湖州）如图，在正三角形中，分别是，上的点，则的面积与的面积之比等于（ ）A13B23C2D3 EDBCA例22（2009恩施市）如图，在中，A=90，BC=10，ABC的面积为25，点为边上的任意一点（不与、重合），过点作，交于点设，以为折线将翻折（使落在四边形所在的平面内），所得的与梯形重叠部分的面积记为（1）用表示的面积；（2）求出时与的函数关系式；（3）求出时与的函数关系式； （4）当取何值时，的值最大？最大值是多少？解：（1） DEBC ADE=B，AED=C ADEABC ，即 （2）当0 时 （3）10时，点A落在三角形的外部，其重叠部分为梯形SADE=SADE=DE边上的高AH=AH=由已知求得AF=5，AF=AAAF=x5由AMNADE知 （4）在函数中， 0x5 当x=5时y最大为： 在函数中， 当时y最大为： 当时，y最大为： 273 位似一、知识点：1位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心注：位似变换是一种特殊的相似变换对于位似图形，有外位似和内位似之分，外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外；内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上2位似图形的性质：（1）位似图形是相似图形（2）位似图形的每组对应点所在的直线都交于一点（3）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比（4）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行3在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于或4利用位似将图形放大或缩小的作图步骤： 例23：利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍.A1B1C1D1E1ABCDE作法： 1在平面上任取一点O； 2以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE；3在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A、B、C、D、E；使OA：OAOB：OBOC：OCOD：ODOE：OE1.5； 4连结AB、BC、CD、DE、EA；这样：1.5；则五边形ABCDE为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.简记方法:（1）选点；（2）作射线；（3）定对应点；（4）连线注意：一般情况下，经过位似变换后的图形位置有两种，这两种在取点时要防止错误二、典型例题：ABC例24（2009年凉山州）如图，在方格纸中（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，并求出点坐标；（2）以原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形；（3）计算的面积16例25：在已知三角形内求作内接正方形作法：（1）在AB上任取一点G，作GDBC；（2）以GD为边，在ABC内作一正方形DEFG；（3）连接BF，延长交AC于F；（4）作FGCB，交AB于G，从F、G各作BC的垂线FE，GD；四边形DEFG即为所求八、本章专题：（一）黄金分割：1定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割 设AB=1，AP=x，则BP= (负舍)2黄金分割的历史文化早在古希腊，数学家、天文学家欧多克索斯（约公元前400前347）曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题而发现黄金分割的是古希腊哲学家毕达哥拉斯一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定0618 ：1的比例截断最优美后来，意大利著名科学家、艺术家达芬奇给这个比例冠以“黄金”二字的美名天文学家开普勒（15711630）把这种分割线段的方法称为神圣分割，并指出，毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割“是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉” 而历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆（17921872）19世纪以后，“黄金分割”的说法逐渐流行起来3黄金三角形：顶角为36的等腰三角形，它的底角为72，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割4黄金矩形：例26（2009年枣庄市）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EFAD，交AD的延长线于FABCDEFMN请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形证明：在正方形ABCD中，取， N为BC的中点， 在中，又 ， 故矩形DCEF为黄金矩形 （二）双垂：1判定定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似2射影定理：在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，ABCACDCBD（“角角”）； ； （射影定理）； （等积）3基本图形：4典型例题：例27如图，ABC中，ACB=90，BM=MC，CPAM于P，交AB于D，求证：ABM=BPM例28如图，已知在ABC中，BAC=90，ADBC，E是AC的中点，求证：AB：AC=DF：AF例29（2009年湖北十堰市）如图，四边形ABCD是正方形， 点G是BC上任意一点，DEAG于点E，BFAG于点F (1) 求证：DEBF = EF(2) 当点G为BC边中点时， 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由 (3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变请你在图中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）证明:(1) ABF DAE DEBF = AFAE = EF （2）EF = 2FG 理由如下： ABBC ， BFAG ， AB =2 BG AFB BFG ABG AF = 2BF ， BF = 2 FG 由(1)知，AE = BF， EF = BF = 2 FG (3) DE + BF = EF （三）一线三等角：1基本图形： 如图，在ABC中，点F在BC上，且B=DFE=C，则DBFFCE2典型例题：例30在正方形ABCD中，P是BC上的点，BP=3PC，Q是CD的中点，求证：ADQPCQ例31（怀柔一模）已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形 （1）求证：梯形是等腰梯形； （2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变设求与的函数关系式； （3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由证明：（1）是等边三角形是中点 梯形是等腰梯形（2）在等边中， （3）为直角三角形当取最小值时，是的中点，而 例32（2009年安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DMEAB ，且DM交AC于F，ME交BC于G（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果45，AB，AF3，求FG的长证：（1）AMFBGM，DMGDBM，EMFEAM以下证明AMFBGMAFMDMEEAEBMG，ABAMFBGM （2）当45时，可得ACBC且ACBCM为AB的中点，AMBM分又AMFBGM， 又， （四）综合题：1图形运动问题：例33（房山二模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点（1）求n的值及反比例函数的解析式；（2）设直线分别交x轴、y轴于A、B两点，过点C作CDx轴于D若点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同的速度分别沿线段AD、CA向点D、A运动，设AP=m问m为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似？解：（1）n=6(2)A(4，0)， B(0，3) C(4，6) ，AD=8，CD=6，C=10，AQ=10m，(3)AO=4，OB=3，AB=5当APQAOB，即， 当AQPAOB，即， 综上所述，当或时，以A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似例34（怀柔二模）已知如图，在RtABC中，C=90，AC = 3，AB = 5点P从点C出发沿CA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点P、Q同时出发，当点P到达点A时停止运动，点Q也随之停止伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E设点P、Q运动的时间是t秒（t0）(1)当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；(2)在运动的过程中，求APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）ACBPQED(3)在