弹性力学与有限元法.ppt

2019/7/1,1,第1节 概 述,有限元方法起源于弹性力学问题求解，最先发展的是平面三角形位移元。经过半个多世纪的发展，发展了一批具有不同精度的单元，也是有限元单元技术发展最成熟的领域，应用最成功的领域是土木工程结构静动力学分析中。在弹性力学问题位移元方法中，有限元法一般包括以下几个步骤：,概 述,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,2,第1节 概 述,概述,Institute of Mechanical Engineering and Automation,整个求解区域的未知场函数可由各个单元节点上的数值以及插值函数近似表示。这样一来，在一个问题的有限元分析中，未知场函数的有限个节点值就成为待求全部的未知量，从而使一个连续体的无限自由度问题简化为有限自由度问题。,将连续体离散化，即将连续求解域离散为一组由虚拟的点、线、面构成的有限个“单元”的组合体，这样的组合体能够解析地模拟或逼近求解区域。 假设上述“单元”由位于单元边界上的节点相互连接在一起，以这些节点位移作为基本未知量。 利用节点未知量，选择一组插值函数唯一地定义每一个单元内相应物理场(位移、应力、应变等)的分布，即选择单元位移模式或单元列式。 将各种类型的载荷变换为只作用在节点上的等效载荷，建立基本未知量与等效节点载荷之间的基本方程。 求解基本方程，得到基本未知量的解答。,2019/7/1,3,Institute of Mechanical Engineering and Automation,弹性力学的研究内容 弹性体在外部因素（外力、温度等）作用下而产生的应力和应变，以及与应变有关的位移。,第2节 弹性力学简介,2019/7/1,4, 弹性力学假设 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,连续性假设 完全弹性假设 均匀性和各向同性假设 小变形、小转动假设 自然状态假设（无初始应力）,弹性力学与我们十分熟悉的材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：,2019/7/1,5,基本定律,牛顿定律 几何连续性定律 物性定律 应力和应变之间的关系 ( 物理方程 ),动量平衡原理 平衡(运动)微分方程 动量矩平衡原理 应力张量的对称性 作用与反作用定律 , 位移和变形的关系 ( 几何方程 ) 位移边界条件,2019/7/1,6,位移,和,应变,和,应力,和,1)、基本力学量：,弹性力学中的物理量,2019/7/1,7, 载 荷 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。,2019/7/1,8, 应力的概念 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,9, 应力的概念 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力x是作用在垂直于x轴的面上同时也沿着x轴方向作用的。,正应力,加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力xy是作用在垂直于x轴的面上而沿着y轴方向作用的。,剪应力,2019/7/1,10, 应力的概念 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,应力的正负 如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。 相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。,剪应力互等定律 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。即：,2019/7/1,11,应力的概念,Institute of Mechanical Engineering and Automation,可以证明：如果 这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。 一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。 六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：,2019/7/1,12, 位 移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。,2019/7/1,13, 应 变 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,14,其中：X、Y、Z为三个方向的均匀分布体力,平衡方程（外力与应力的关系）,弹性力学的基本方程,2019/7/1,15, 几何方程、刚体位移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,16, 几何方程、刚体位移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,17, 位移及应变、几何方程、刚体位移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,18, 位移及应变、几何方程、刚体位移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,19, 位移及应变、几何方程、刚体位移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。 六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：,2019/7/1,20, 位移及应变、几何方程、刚体位移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,21, 应力应变关系、物理方程 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,22, 应力应变关系、物理方程 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,23, 应力应变关系、物理方程 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,24, 应力应变关系、物理方程 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,将应变分量表为应力分量的函数，可称为物理方程的第一种形式。若将式(11)改写成应力分量表为应变分量的函数的形式，并将式(10)代入，可得物理方程的第二种形式：,2019/7/1,25, 应力应变关系、物理方程 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,式(12)可用矩阵的形式表示如下：,式(13)可简写为由弹性体性质决定的物理方程：,2019/7/1,26, 应力应变关系、物理方程 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,D称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数E和,2019/7/1,27,弹性力学的基本方法,从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求解，最后利用边界条件确定解中的常数。,按照方程中保留的未知量，求解方法可分为,应力法（以应力为未知量） 位移法（以位移为未知量） 混合法（同时以应力和位移为未知量）,精确解法：采用数学分析的手段求得精确解 近似解法：最有效的是基于能量原理的变分方法 数值方法：有限元法，有限差分法，边界元法等,2019/7/1,28,Institute of Mechanical Engineering and Automation,总结-弹性力学基本方程（分量形式）,一、平衡方程,二、几何方程,三、本构关系,四、协调方程,五、边界条件(应力,位移),位移,应力,2019/7/1,29