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2 6 求直线的实长和平面的实形,在前面学习直线和平面的投影时，我们讨论了一般位置直线和一般位置平面的投影特点。由于二者均与三个投影面成倾斜位置，因此三个投影都不能反映实长或实形。 在绘制机械图样时，常常会遇到需要解决实际长度和实际形状的问题。,求一般位置直线的实长和一般位置平面的实形的方法有多种，这一节介绍的是用变换投影面的方法求得实长和实形。,一、换面法的基本概念,变换投影面法的应用1： 在V、H两投影面体系中，AB为一般位置直线，其两面投影均不能反映实长。 为求AB实长可设一V1投影面，V1面与AB平行并垂直于H投影面。将AB线向V1面作正投影，则AB线在V1面上的投影便可反映实长。 直线的新投影还可反映角的实际大小。,正投影的“真实性“表明，当空间的直线或平面与投影面成平行时，其投影能够反映直线的实长和平面的实形。变换投影面的基本方法是，设置新的投影面来代替原来的某一投影面，并使新投影面与空间几何元素处于有利于解题的特殊位置。,一、换面法的基本概念,变换投影面法的应用2： 图中ABC平面为一铅垂面，其水平投影积聚为一直线，正面投影为缩小的类似图形。 为求得ABC平面的实际形状，可设一新投影面V1，V1面与 ABC平面平行并垂直于H投影面。,一、换面法的基本概念,关于换面法的术语解释： 1.旧投影面 指图中的V、H面 2.旧投影 指几何元素在V、 H面上的投影 3.被替换的投影面 图中的新 面V1与H面垂直，替换了旧投影 面V，因此V面为被替换的投影面, V面上的投影称为被替换的投影 4.不变投影面及不变投影 指 图中的H面以及几何要素在H面上的 投影,从下图可以看到，所设置的新投影面应符合以下两点原则： 1.新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面，并与它组成新的投影面体系。必要时可作连续变换。 2.新投影面应处于有利于解题的位置。,一、换面法的基本概念,关于换面法的术语解释： 5.新投影面指图中的V1面，如果需要也可设H1面 6.新投影轴新投影面与不变投影面的交线，如图中的O1X1 7.新投影指几何要素在新投影面上的投影,如a1b1,关于换面法的投影规律和投影面的转换方法：,在对几何要素进行投影变换时，仍旧遵循着正投影的基本规律以及投影面的转换方法。,换面法的投影面转换过程如图所示。 （点击图形演示动画）,二、点的投影变换,1.点的一次变换 同前面分析点的投影一样，分析点的投影变换、掌握点的变换规律是解决直线和平面变换的基础。 V、H两投影面体系中有一A点，现在适当位置设一V1面， V1和H面构成新的两投影面体系。,A点在V1面上的正投影记做a1。a1与a的连线和O1X1轴的交点记做ax1。,将V1与H面展开。 （点击图形演示动画）,二、点的投影变换,1.点的一次变换 问题1：点的新投影a1与不变投影a的连线？ 垂直于新轴O1X1。（点的变换规律1） 问题2：点的新投影a1到新轴O1X1（ax1)的距离？ 等于被替换的投影a到旧轴（ax）的距离。（点的变换规律2） 根据上述两点规律便可作出点的投影变换。,在用换面法解决实长或实形等问题时，也可采用变换H1面的方法。,变换H1面与变换V1面的规律是一样的，即： 1.点的新投影与不变投影的连线垂直于新轴 2.点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到旧轴的距离。,需要注意的是谁是点的不变投影、被替换的投影。,1.点的一次变换 例：已知A点的两面投影a、a，试作出给定位置的A点新投影。,作图分析：,从图中标注可知变换的是V1投影面，a为被替换的投影，a为不变投影。按照点的变换规律即可作出A点的新投影。,作图步骤：,1.点的一次变换 例：已知A点的两面投影a、a，试作出给定位置的A点新投影。又：作出A点在H1面上的投影。,作图分析：,变换H1面与变换V1面的作图分析和作图步骤相同 。,作图步骤：,本题的投影变换作图为点A的两个一次变换。,2.点的次变换 在用投影变换的方法求解一些实际问题时，需要变换两次投影面，这样的变换方法称为二次变换。 二次变换实际上就是连续作出的两个一次变换。其变换的原则和变换的规律与一次变换方法完全相同。 不过在作二次变换时要正确判断出不变投影、被替换的投影、新轴和旧轴，准确定出点的新投影的位置。,点的二次变换的分析： 图中先变换的是V1面，接着作第二次变换。此时的H1面与V1面垂直，被替换是H面，而V1面为不变投影面。 O2X2为新的投影轴，O1X1则成了旧投影轴。,（点击图形演示动画）,2.点的次变换 例：作出A点的二次变换投影图。,作图分析： 两次变换的规律是一样的，要注意的是在作第二次变换时定准点的新投影的位置。,作图过程如图所示。,三、直线的投影变换,直线的变换主要解决以下两个方面问题： 求直线的实际长度或倾角 求直线的积聚性投影 变换直线可归结于变换直线上的两端点的作图。只是要根据解决的实际问题确定变换的新投影面的位置。,1.将一般位置直线变换为投影面平行线,通过一次变换可将一般位置直线变换为投影面平行线，求得直线的实际长度以及直线对投影面的夹角。 为求得AB线的实长，所设置的新投影面V1应与AB平行。 从直观图上可看出，体现新面位置的新轴就应平行于AB线的水平投影 ab。,三、直线的投影变换,1.将一般位置直线变换为投影面平行线,例：求出AB直线的实长以及对H面倾角。,作图分析： 在水平投影图的适当位置作一平行于ab的新轴O1X1，然后按照点的变换规律作出AB线的新投影。,作图步骤如图示。,三、直线的投影变换,2.将一般位置直线变换为投影面垂直线,通过一次变换使得直线在新投影面上的投影积聚为一点。因此所设置的新投影面应与直线成垂直。,例：将AB直线变换为一投影面垂直线。,注意：应在反映直线实长的投影图中进行变换。,作图分析： 因AB直线为一正平线，故所设的新投影面应垂直于AB线的正面投影。体现 新面位置的新轴 O1X1应垂直于ab。,三、直线的投影变换,3.将一般位置直线变换为投影面垂直线,要将一般位置直线变换为投影面垂直线则需要作两次换面。从下图可看出，第一次换面将直线变换为投影面平行线。再将投影面平行线变换成投影面垂直线，使变换后直线的新投影积聚为一点。,例：试将AB直线变换为一投影面垂直线。,作图分析：第一次设置一与 AB平行的V1面，将AB直线变换为投影面平行线。再设置垂直于AB线的H1面，则AB的新投影积聚为一点。作图过程如图示。,四、平面的投影变换,1.将投影面垂直面变换为投影面平行面,通过平面的变换主要解决两方面的问题： 将平面变换为投影面平行面，求得平面的实际形状 将平面变换为投影面垂直面，求得平面与投影面的夹角 变换平面的方法同变换点、直线相同，只是由于要找的点比较多，在作图时更要细心。,作图分析：图中的ABC平面为一铅垂面，通过一次换面便可求得其实际形状。因新投影面应平行于空间的平面， 所以新投影轴就应平行于空间平面的积聚 性投影。即O1X1abc。投影面的空间转 换关系如图所示。,（点击图形演示动画）,四、平面的投影变换,例：用换面法求出ABC平面的实际形状。,作图分析：由于ABC平面为一铅垂面 ，O1X1轴应平行于平面的积聚性投影。作图过程如图所示。,四、平面的投影变换,2.将一般位置平面变换为投影面垂直面,将一般位置平面变换为投影面垂直面的作图步骤如下： 1.在空间平面内作一投影面平行线（下图中作了一条水平线） 2.设置与投影面平行线成垂直的新投影 面（如下图中设置的V1面）,作图分析：可通过一次变换将一般位置平面变换成投影面垂直面。 在作图时首先要考虑的是如何确定新投影面的位置。 根据变换原则和变换的要求，可以想到所设置的新面既要与投影面垂直又要与空间的平面成垂直。,要注意理解新投影面垂直于空间平面内的一条线，也就垂直于空间平面。,四、平面的投影变换,作图步骤如图示：,例：将ABC平面变换为投影面垂直面。,四、平面的投影变换,3.将