（浙江专用）高考数学第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程教案（含解析）.docx

第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是0，)2斜率公式(1)直线l的倾斜角为()，则斜率ktan_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k.3直线方程的五种形式名称几何条件方程适用范围斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线4线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式小题体验1设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A45B135C135 D45或135解析：选D由倾斜角的取值范围知，只有当045180，即0135时，l1的倾斜角才是45.而0180，所以当135180时，l1的倾斜角为135，故选D.2下列说法中正确的是()A.k表示过点P1(x1，y1)，且斜率为k的直线方程B直线ykxb与y轴交于一点B(0，b)，其中截距b|OB|C在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是1D方程(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)表示过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线解析：选D对于A，直线不包括点P1，故A不正确；对于B，截距不是距离，是B点的纵坐标，其值可正可负，故B不正确；对于C，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为1，故C不正确；对于D，此方程为直线两点式方程的变形，故D正确故选D.3(2018嘉兴检测)直线l1：xy20在x轴上的截距为_；若将l1绕它与y轴的交点顺时针旋转90，则所得到的直线l2的方程为_解析：对于直线l1：xy20，令y0，得x2，即直线l1在x轴上的截距为2；令x0，得y2，即l1与y轴的交点为(0，2)，直线l1的倾斜角为135，直线l2的倾斜角为1359045，l2的斜率为1，故l2的方程为yx2，即xy20.答案：2xy201点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线2截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零3求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论小题纠偏1直线xcos y20的倾斜角的范围是()A. B.C. D.解析：选B设直线的倾斜角为，则tan cos ，又cos 1,1，所以tan ，又0，且ytan 在和上均为增函数，故.故选B.2过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程是_解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x50满足题意；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy105k0.由距离公式，得5，解得k.故所求直线方程为3x4y250. 综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.答案：x50或3x4y250题组练透1若直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C因为直线l的斜率ktan m211，所以.故倾斜角的取值范围是.2经过P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为_，_.解析：如图所示，结合图形，若l与线段AB总有公共点，则kPAkkPB，而kPB0，kPA0，故k0时，倾斜角为钝角，k0时，0，k0时，为锐角又kPA1，kPB1，1k1.又当0k1时，0；当1k0时，.故倾斜角的取值范围为.答案：1,13若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)三点共线，求的值解：kAB，kAC，且A，B，C三点共线，kABkAC，即，整理得ab2(ab)，将该等式两边同除以2ab得.谨记通法1倾斜角与斜率的关系当且由0增大到时，k的值由0增大到.当时，k也是关于的单调函数，当在此区间内由增大到()时，k的值由趋近于0(k0)2斜率的3种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率(3)方程法：若已知直线的方程为AxByC0(B0)，则l的斜率k.典例引领求适合下列条件的直线方程：(1)经过点(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点(1，3)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍；(3)经过点(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形解：(1)设直线方程在x，y轴上的截距均为a，若a0，即直线方程过点(0,0)和(4,1)，直线方程为yx，即x4y0；若a0，则设直线方程为1，直线方程过点(4,1)，1，解得a5，直线方程为xy50.综上可知，所求直线的方程为x4y0或xy50.(2)由已知，设直线y3x的倾斜角为 ，则所求直线的倾斜角为2.tan 3，tan 2.又直线经过点(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.(3)由题意可知，所求直线的斜率为1.又过点(3,4)，由点斜式得y4(x3)即所求直线的方程为xy10或xy70.由题悟法求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)即时应用求适合下列条件的直线方程：(1)经过点A(，3)，且倾斜角为直线xy10的倾斜角的一半的直线方程为_(2)过点(2,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程为_解析：(1)由xy10，得此直线的斜率为，所以倾斜角为120，从而所求直线的倾斜角为60，所以所求直线的斜率为.又直线过点A(，3)，所以所求直线方程为y3(x)，即xy60.(2)由题意可设直线方程为1，则解得ab3，或a4，b2.故所求直线方程为xy30或x2y40.答案：(1)xy60(2)xy30或x2y40锁定考向直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数的几何意义相结合的问题；(3)由直线方程解决参数问题 题点全练角度一：与基本不等式相结合的最值问题1过点P(2,1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：(1)AOB面积的最小值及此时直线l的方程；(2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；(3)|PA|PB|的最小值及此时直线l的方程解：(1)设直线l的方程为y1k(x2)，则可得A，B(0,12k)直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，得k0.SAOB|OA|OB|(12k)4，当且仅当4k，即k时，AOB的面积有最小值4，此时直线l的方程为y1(x2)，即x2y40.(2)A，B(0,12k)(k0)，截距之和为212k32k32 32，当且仅当2k，即k时等号成立故截距之和的最小值为32，此时直线l的方程为y1(x2)，即xy20.(3)A，B(0,12k)(k0)，|PA|PB|24，当且仅当k，即k1时上式等号成立故|PA|PB|的最小值为4，此时直线l的方程为y1(x2)，即xy30.角度二：与导数的几何意义相结合的问题2设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为()A.B.C0,1 D.解析：选A由题意知y2x2，设P(x0，y0)，则k2x02.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，所以0k1，即02x021，故1x0.角度三：由直线方程解决参数问题3已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值解：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，所以四边形的面积S(2a)2(a22)2a2a42，当a时，四边形的面积最小，故a.通法在握处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值演练冲关1设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)当P与A和B均不重合时，因为P为直线xmy0与mxym30的交点，且易知两直线垂直，则PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|PB|5(当且仅当|PA|PB|时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|PB|0，故|PA|PB|的最大值是5.答案：52已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程解：(1)证明：直线l的方程可化为yk(x2)1，故无论k取何值，直线l总过定点(2,1)(2)直线l的方程为ykx2k1，则直线l在y轴上的截距为2k1，要使直线l不经过第四象限，则解得k0，故k的取值范围为.(3)依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，A，B(0,12k)又0且12k0，k0.故S|OA|OB|(12k)(44)4，当且仅当4k，即k时取等号故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y40.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019金华一中模拟)直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围为()A.B.C. D.解析：选B由直线方程可知斜率k，设倾斜角为，则tan ，而10，1tan 0，又0，)，故选B.2直线xsin y20的倾斜角的取值范围是()A0，) B.C. D.解析：选B设直线的倾斜角为，则有tan sin ，其中sin 1,1又0，)，所以0或.3(2018湖州质检)若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为()A. BC D.解析：选B依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得a5，b3，从而可得直线l的斜率为.4.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2解析：选D直线l1的倾斜角1是钝角，故k10，直线l2与l3的倾斜角2与3均为锐角且23，所以0k3k2，因此k1k3k2，故选D.5(2018豫西五校联考)曲线yx3x5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为_解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为(0，)，因为y3x211，所以tan 1，结合正切函数的图象可知，的取值范围为.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1已知A(1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则ABC的BC边上的高所在直线方程为()Axy0 Bxy20Cxy20 Dxy0解析：选B因为B(3,1)，C(1,3)，所以kBC1，故BC边上的高所在直线的斜率k1，又高线经过点A，所以其直线方程为xy20.2已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x2y40的斜率的倒数，则直线l的方程为()Ayx2 Byx2Cyx Dyx2解析：选A直线x2y40的斜率为，直线l在y轴上的截距为2，直线l的方程为yx2，故选A.3(2018温州五校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l1：axyb0和直线l2：bxya0的图象可能是()解析：选B当a0，b0时，a0，b0，选项B符合4若直线x2yb0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是()A2,2 B(，22，)C2,0)(0,2 D(，)解析：选C令x0，得y，令y0，得xb，所以所求三角形面积为|b|b2，且b0，因为b21，所以b24，所以b的取值范围是2,0)(0,25函数ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在mxny10(mn0)上，则的最小值为()A2 B4C8 D1解析：选B函数ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A(1,1)把A(1,1)代入直线方程得mn1(mn0)(mn)222 4(当且仅当mn时取等号)，的最小值为4.6(2018温州调研)已知三角形的三个顶点为A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为_解析：BC的中点坐标为，BC边上中线所在直线方程为，即x13y50.答案：x13y507若直线axy3a10恒过定点M，则直线2x3y60关于M点对称的直线方程为_解析：由axy3a10，可得a(x3)(y1)0，令可得M(3,1)，M不在直线2x3y60上，设直线2x3y60关于M点对称的直线方程为2x3yc0(c6)，则，解得c12或c6(舍去)，所求直线方程为2x3y120.答案：2x3y1208若圆x2y22x6y10关于直线axby30(a0，b0)对称，则的最小值是_解析：由圆x2y22x6y10知其标准方程为(x1)2(y3)29，圆x2y22x6y10关于直线axby30(a0，b0)对称，该直线经过圆心(1,3)，即a3b30，a3b3(a0，b0)(a3b)，当且仅当，即ab时取等号故的最小值是.答案：9已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(3,4)；(2)斜率为.解：(1)设直线l的方程为yk(x3)4，它在x轴，y轴上的截距分别是3,3k4，由已知，得(3k4)6，解得k1或k2.故直线l的方程为2x3y60或8x3y120.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是yxb，它在x轴上的截距是6b，由已知，得|6bb|6，b1.直线l的方程为x6y60或x6y60.10.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45和30角，过点P(1，0)的直线AB分别交O