（浙江专用）高考数学第三章函数、导数及其应用第八节函数与方程教案（含解析）.docx

第八节 函数与方程1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210小题体验1函数f(x)ln x的零点所在的大致范围是()A(1,2)B(2,3)C.和(3,4) D(4，)解析：选B易知f(x)为增函数，由f(2)ln 210，f(3)ln 30，得f(2)f(3)0.故选B.2函数f(x)ex3x的零点个数是()A0 B1C2 D3解析：选B函数f(x)ex3x在R上是增函数，f(1)30，f(0)10，f(1)f(0)0，函数f(x)有唯一零点，且在(1,0)内，故选B.3函数f(x)kx1在1,2上有零点，则k的取值范围是_答案：1函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象小题纠偏1(2018诸暨模拟)函数f(x)按照下述方法定义：当x2时，f(x)x22x；当x2时，f(x)(x2)2，则方程f(x)的所有实数根之和是()A2 B3C5 D8解析：选C画出函数f(x)的图象，如图所示：结合图象x2时，两根之和是2，x2时，由(x2)2，解得x3，故方程f(x)的所有实数根之和是5，故选C.2给出下列命题：函数f(x)x21的零点是(1,0)和(1,0)；函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)f(b)0；二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点；若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点其中正确的是_(填序号)答案：题组练透1已知实数a1,0b1，则函数f(x)axxb的零点所在的区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1) D(1,2)解析：选Ba1,0b1，f(x)axxb，f(1)1b0，f(0)1b0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(1,0)上存在零点2设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4) 解析：选B函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的范围作出两函数大致图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)故选B.3函数f(x)x23x18在区间1,8上_(填“存在”或“不存在”)零点解析：法一：f(1)123118200，f(8)823818220，f(1)f(8)0，又f(x)x23x18在区间1,8的图象是连续的，故f(x)x23x18在区间1,8上存在零点法二：令f(x)0，得x23x180，(x6)(x3)0.x61,8，x31,8，f(x)x23x18在区间1,8上存在零点答案：存在谨记通法确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数yf(x)必须在区间a，b上是连续的，当f(a)f(b)0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)g(x)h(x)，作出yg(x)和yh(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点典例引领1(2019温州质检)已知函数f(x)xcos x，则f(x)在0,2上的零点个数为()A1B2C3 D4解析：选C如图，作出g(x)x与h(x)cos x的图象，可知其在0,2上的交点个数为3，所以函数f(x)在0,2上的零点个数为3.2已知函数f(x)则函数yf(f(x)1的零点的个数是()A4 B3C2 D1解析：选A由f(f(x)10得f(f(x)1，由f(2)f1得f(x)2或f(x).若f(x)2，则x3或x；若f(x)，则x或x.综上可得函数yf(f(x)1的零点的个数是4，故选A.由题悟法判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点即时应用1已知函数f(x)则函数yf(x)x4的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：选B函数yf(x)x4的零点，即函数yx4与yf(x)的交点的横坐标如图所示，函数yx4与yf(x)的图象有两个交点，故函数yf(x)x4的零点有2个故选B.2函数f(x)的零点个数是()A0 B1C2 D3解析：选C当x0时，令f(x)0，即x22x0，解得x2或x0(舍去)，所以当x0时，只有一个零点；当x0时，f(x)exx2，而f(x)ex1，显然f(x)0，所以f(x)在0，)上单调递增，又f(0)e00210，f(2)e240，所以当x0时，函数f(x)有且只有一个零点综上，函数f(x)只有2个零点，故选C.典例引领(2018杭州七校联考)若函数f(x)mx22ln x在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为_解析：令f(x)mx22ln x0，则mx22ln x令g(x)x22ln x，则g(x)2x，g(x)在上单调递减，在(1，e上单调递增，g(x)ming(1)1，又g4，g(e)e22，45e22，gg(e)，数形结合知，若函数f(x)在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为.答案：由题悟法已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围分离参数法先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解即时应用1(2018浙江名校联考)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)k(x1)在(，1上恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围是()A1,3)B(1,3C2,3) D1，)解析：选A函数g(x)f(x)k(x1)在(，1上恰有两个不同的零点，等价于直线yk(x1)与函数yf(x)的图象在(，1上有两个不同的交点作出f(x)的大致图象如图所示，因为直线yk(x1)过定点(1,0)，定点(1,0)与点(1,2)和(0,3)连线的斜率分别为1和3，结合f(x)的图象可知k的取值范围是1,3)2若函数f(x)4x2xa，x1,1有零点，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)4x2xa，x1,1有零点，方程4x2xa0在1,1上有解，即方程a4x2x在1,1上有解方程a4x2x可变形为a2，x1,1，2x，2.实数a的取值范围是.答案：一抓基础，多练小题做到眼疾手快1下列函数中，在(1,1)内有零点且单调递增的是()AylogxBy2x1Cyx2 Dyx3解析：选B函数ylogx在定义域上是减函数，yx2在(1,1)上不是单调函数，yx3在定义域上单调递减，均不符合要求对于y2x1，当x0(1,1)时，y0且y2x1在R上单调递增故选B.2(2018豫南十校联考)函数f(x)x32x1的零点所在的大致区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析：选A因为f(0)10，f(1)20，则f(0)f(1)20，且函数f(x)x32x1的图象是连续曲线，所以f(x)在区间(0,1)内有零点3(2018宁波期末)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)exx3，则f(x)的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：选C因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)0，即0是函数f(x)的一个零点，当x0时，f(x)exx3为增函数因为f(1)e113e20，fe3e0，所以当x0时，f(x)有一个零点根据对称性知，当x0时，函数f(x)也有一个零点综上所述，f(x)的零点的个数为3.4已知函数f(x)g(x)则函数f(g(x)的所有零点之和是_解析：由f(x)0，得x2或x2，由g(x)2，得x1，由g(x)2，得x，所以函数f(g(x)的所有零点之和是1.答案：5已知关于x的方程x2(k3)xk20的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是_解析：设f(x)x2(k3)xk2，则函数f(x)为开口向上的抛物线，且f(0)k20，关于x的方程x2(k3)xk20的一根小于1，另一根大于1，即函数f(x)的零点位于0,1)，(1，)上故只需f(1)0即可，即1k3k20，解得2k1.答案：(2,1)二保高考，全练题型做到高考达标1(2018宁波高考模拟)设f(x)则函数yf(f(x)的零点之和为()A0 B1C2 D4解析：选C令f(x)0，得x0或x1，f(f(x)0，f(x)0或f(x)1，由以上过程可知f(x)0的解为0,1，令f(x)1，得x1或x2，f(f(x)的零点之和为01(1)22.故选C.2(2019绍兴模拟)设函数f(x)ln x2x6，则f(x)零点的个数为()A3 B2C1 D0解析：选B法一：函数f(x)ln x2x6的定义域为(0，)f(x)2，令f(x)0，得x，当0x时，f(x)0，当x时，f(x)0，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减因为f40，f5ln 20，f(e2)82e20，所以函数f(x)在，上各有一个零点，所以函数f(x)的零点个数为2.法二：令f(x)0，则ln x2x6，令g(x)ln x(x0)，h(x)2x6(x0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f(x)零点的个数，容易看出函数f(x)零点的个数为2.3(2017金华期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x0时，f(x)(x2)(x3)0.02，则关于yf(x)在R上零点的说法正确的是()A有4个零点其中只有一个零点在(3，2)内B有4个零点，其中两个零点在(3，2)内，两个在(2,3)内C有5个零点都不在(0,2)内D有5个零点，正零点有一个在(0,2)内，一个在(3，)内解析：选C根据对称性可以分三种情况研究：x0的情况，f(x)是把抛物线y(x2)(x3)(与x轴交点为2,3)向上平移了0.02，则与x轴交点变到(2,3)之间了，所以在(2,3)之间有两个零点当x0时，f(x)(x2)(x3)0.02，根据对称性(3，2)之间也有两个零点f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)0(奇函数特性)，所以有五个零点，故选C.4已知函数f(x)若关于x的方程f(x)kx恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D若关于x的方程f(x)kx恰有4个不相等的实数根，则yf(x)的图象和直线ykx有4个交点作出函数yf(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线ykx的下方k10，解得k.当直线ykx和yln x相切时，设切点横坐标为m，则k，m.此时，k，f(x)的图象和直线ykx有3个交点，不满足条件，故所求k的取值范围是.5(2018湖南考前演练)设x0是函数f(x)2x|log2x|1的一个零点，若ax0，则f(a)满足()Af(a)0 Bf(a)0Cf(a)0 Df(a)0解析：选A当x1时，f(x)2xlog2x1，易证2xx1x.又函数y2x的图象与ylog2x的图象关于直线yx对称，所以2xx1xlog2x，从而f(x)0.故若a1，有f(a)0；若0a1，因为当0x1时，f(x)2xlog2x1，显然f(x)单调递增，又f(1)10，f20，所以x0是f(x)唯一的零点，且0x01，所以f(a)0，故选A.6(2018余杭地区部分学校测试)已知函数f(x)若方程f(x)a有三个不等的实数根，则a的取值范围为_；不等式f(f(x)1的解集为_解析：作出函数yf(x)的图象如图所示，方程f(x)a有三个不等的实数根，即直线ya与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合图象知a(0,1)设f(x)t，则不等式f(f(x)1可转化为f(t)1，故得t0或t2，由f(x)0得x1，由f(x)2得xlog231，所以f(f(x)1的解集为1,1log231，)答案：(0,1)1,1log231，)7已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_解析：函数g(x)f(x)m有3个零点，转化为f(x)m0的根有3个，进而转化为yf(x)，ym的交点有3个画出函数yf(x)的图象，则直线ym与其有3个公共点又抛物线顶点为(1,1)，由图可知实数m的取值范围是(0,1)答案：(0,1)8(2019台州三校适考)已知f(x)x2，若关于x的方程f(|2x1|)k0有四个不同的实数解，则实数k的取值范围为_解析：令t|2x1|(x0)，则方程f(|2x1|)k0可化为方程f(t)k0，作出函数y|2x1|(x0)的大致图象如图所示，结合图象分析可知，关于t的方程f(t)k0在(0,1)上有两个不同的实数解f(t)k0可化为t2(3k2)t12k0，记g(x)x2(3k2)x12k，则g(x)在(0,1)上有两个不同的零点，所以解得所以实数k的取值范围为.答案：9已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0，使f(x0)x0.证明：令g(x)f(x)x.g(0)，gf，g(0)g0.又函数g(x)在上是连续曲线，存在x0，使g(x0)0，即f(x0)x0.10(2018杭州模拟)已知函数f(x)x22axa2，(1)若f(x)0的解集Ax|0x3，求实数a的取值范围；(2)若g(x)f(x)|x21|在区间(0,3)内有两个零点x1，x2(x1x2)，求实数a的取值范围解：(1)若A，则4a24(a2)4(a2)(a1)0，解得1a2；若A，则2a.综上得1a.故实数a的取值范围为.(2)g(x)x22axa2|x21|若a0时，g(x)无零点；若a0时，由于h(x)2axa3在(0,1)单调，所以在(0,1)内h(x)至多只有一个零点记(x)2x22axa1.若0x11,1x23，