离散型随机变量及其分布.ppt

,2.2离散型随机变量及其分布,一.离散型随机变量的概念与性质,定义,若随机变量 X 的可能取值是有限 个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量,描述X 的概率特性常用概率分布或分布律,或,即,说明,离散型随机变量可完全由其分布律来刻划 即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这 些值的概率唯一确定,离散型随机变量概率分布的性质:,从中任取3 个球,取到的白球数X是一个随机变量,X可能取的值是0,1,2,取每个值的概率为,例1,且,（1）列表法：,（2）图示法,（3）公式法,练习,将 1 枚硬币掷 3 次，令： X：出现的正面次数与反面次数之差 试求 X 的分布律 解： X 的取值为-3，-1，1，3 并且,例2,设离散型随机变量 X 的分布律为,例2,设离散型随机变量 X 的分布律为,例2,设离散型随机变量 X 的分布律为,例3 某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元. 因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元. 设每天出租汽车数 X是一个随机变量，它的概率分布如下：,求因代营业务得到的收入大于当天的额外 支出费用的概率.,分析：加油站代营每出租一辆车，可得3元.,每天出租汽车数为X，因代营业务得到的收入 为3 X元.,每天加油站要多付给职工服务费60元，即 当天的额外支出费用.,因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：,P3X60,即 PX20,注意到,也就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.,PX20=PX=30+PX=40=0.6,例4,设随机变量 X 的分布律为,解：由随机变量的性质，得,该级数为等比级数，故有,所以,二.常见离散型随机变量的概率分布,（一）两点（01）分布,如果随机变量 X 的分布律为,或,则称随机变量 X 服从参数为 p 的 两点分布,两点分布也称作 0-1 分布或Bernoulli分布,两点分布的概率背景,进行一次Bernoulli试验，设：,令：,对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即 ，我们总能在W上定义一个服从（01）分布的随机变量,来描述这个随机试验的结果。,检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用（0-1）分布的随机变量来描述,（1）几何分布,若随机变量 X 的分布律为,分 布 律 的 验 证, 由条件, 由条件可知,几何分布的概率背景,在Bernoulli试验中，,试验进行到 A 首次出现为止,即,返回主目录,课本34页例2,（2）超几何分布,如果随机变量 X 的分布律为,超几何分布的概率背景,一批产品有 N 件，其中有 M 件次品，其余 NM 件 为正品现从中取出 n 件 令 X：取出 n 件产品中的次品数则 X 的分布律为,（二）二项分布,n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若,则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作,01 分布是 n = 1 的二项分布,分布律的验证,由于,以及 n 为自然数，可知,又由二项式定理，可知,所以,是分布律,例6,一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案， 其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测至少能 答对4道题的概率是多少？,则答5道题相当于做5重Bernoulli试验,解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，,所以,二项分布中最可能出现次数的定义与推导,可以证明：课本36页例6,例7 独立射击5000次, 命中率为0.001,例7,解 (1) k = ( n + 1)p ,= ( 5000+ 1)0.001 =5,求(1)最可能命中次数及相应的概率；,(2)命中次数不少于1 次的概率.,(2) 令X 表示命中次数,则 X B(5000,0.001),小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件.,本例 启示,如果随机变量 X 的分布律为,则称随机变量 X 服从参数为的Poisson 分布,（三）Poisson 分布,分布律的验证, 由于,可知对任意的自然数 k，有,分布律的验证, 又由幂级数的展开式，可知,所以,是分布律,Poisson分布的应用,Poisson分布是概率论中重要的分布之一 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布 例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的,例 8,设随机变量 X 服从参数为的Poisson分布，且已知,解：随机变量 X 的分布律为,由已知,得,由此得方程,得解,所以，,例 9,例 9,解：设 B= 此人在一年中得3次感冒 ,则由Bayes公式，得,Poisson定理,证明：,Poisson定理的证明(续),对于固定的 k，有,Poisson定理的证明(续),所以，,Poisson定理的应用,由 Poisson 定理，可知,例10 某种药品的过敏反应率为0.0001，今有20000人使用此药品，求20000人中发生过敏反应的人数不超过3的概率。,解 以X表示20000人中发生过敏反应的人数，则X服从二项分布 ，所求的概率为：,如果利用近似公式,计算，可以得到： ，且,比较两个结果可以看到，近似程度是很高的。,设有 80 台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法： 其一，由 4人维护，每人负责 20 台 其二，由 3 人,共同维护 80 台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.,例11,解：按第一种方法. 以 X 记 “第 1 人负责的 20 台 中同一时刻发生故障的台数”，则 X B (20，0.01）.,以 Ai 表示事件 “第 i 人负责的台中发生故障不能及 时维修”， 则 80 台中发生故障而不能及时维修的概 率为：,例11(续),按第二种方法. 以 Y