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第一节 微分方程的一般概念,一、引例 二、微分方程的一般概念,例1 一曲线通过点 (1,2),且该曲线上任意点P(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标平方,求此曲线的方程.,一、引例,解,把(1)式两端求不定积分,得,其中C为任意常数,把条件(2)代入(3)式,得,即,于是,所求曲线方程为,例2 设有一质量为m的物体，从空中某处由静止状态自由降落，不计空气阻力而只受重力作用.试求物体的运动规律(即物体在自由降落过程中，所经过的路程s与时间t的函数关系).,解,二、微分方程的一般概念,1.微分方程及微分方程的阶,含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；,未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程;,未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程；,(1)和(5)式均是微分方程.,微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶.,微分方程(1)是一阶的，微分方程(5)是二阶的.,能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.,2.微分方程的解、通解与特解,不包含任意常数的解为微分方程特解.,如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解.,3.微分方程的初值条件及其提法,当自变量取定某个特定值时,给出未知函数及其导数的已知值,这种特定条件称为,称为微分方程的初值条件(或初始条件).,初值条件的提法：当x=x0时y=y0,其中 都是已知值,同理可知，二阶微分方城需给出的 初值条件是,当x=x0时y=y0,记作,或,其中 都是已知值。,微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线.通解的图形是一族积分曲线，称为微分方程的积分曲线族.微分方程的某个特解的图形就是积分曲线族中满
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