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3.4 高阶导数与高阶微分,定义3.4.1,x0二阶可导，且称,若函数y =f (x)的导函数在x0可导，则称y = f (x)在,x0的,在x0的导数为y =f (x)在,若函数y=f(x)在区间I内每一点都二阶可导，,二阶导数，记作,则称它在I内二阶可导，并称,二阶导函数，或简称为二阶导数.,二阶及其以上的各,阶导数统称为高阶导数，,也称为一阶导数.,为f (x)在 I内,类似地可以定义三阶导数,四阶导数,一般说可由n1阶导数定义n阶导数.,y = f (x)的n,阶导数记为,或,例1,解：,设,求,所以,特别地当a=e时有,例2,解：,求y=sinx的n阶导数.,则,若,由数学归纳法可得,类似地有,例3,解：,求y = ln(1+x)的n阶导数.,一般地,注,公式(2)称为莱布尼兹公式.,求函数的高阶导数常用以下两个公式：,其中，u(x)与v(x)都是n阶可导函数，,例4,解：,设y = x2sinx,求,令u = sinx，v=x2，则,代入莱布尼兹公式，得,例5,解：,求,设,由参数方程求导法则得,再运用一次参数方程求导法则，可得,高阶微分,称它为函数y =f (x)的二阶微分,并记作,设自变量的增量为dx，对固定的dx，一阶微分,可看做x的函数.再对x求微分得到,一般地，可由n1阶微分定义n阶微分，记作,dny，,即,注1,注2,一阶微分具有形式不变性，对于高阶微分，,已不再具有这个性质.,dx2指dx
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