静力平衡问题CAI.ppt

1,3.1 平面力系的平衡问题,3.2 含摩擦的平衡问题,3.3 平面桁架,3.4 空间力系的平衡问题,第三章 静力平衡问题,返回主目录,2,静力平衡问题，一般有两类： 对于完全被约束的物体或系统，在已知外载荷的作用下，求约束力。,3.1 平面力系的平衡问题,返回主目录,3,例3.1 求图示结构中铰链A、B处的约束力。,解：1）画整体受力图。 注意BC为二力杆。,验算，再写一个不独立平衡方程，看是否满足。如 MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0 结果正确。,Fy=FAy+FCsin30-F-Fq=0,MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=0,3）解方程得到; FC=4kN; FAy=1kN; FAx=2kN,矩心取在二未知力交点A处，力矩方程中只有一个未知量FC，可直接求解。,4,MA(F)=FBABcos-FCABsin=0 FC=Fcota。 越小，夹紧力越大。,例3.3 夹紧装置如图。设各处均为光滑接触， 求F力作用下工件所受到的夹紧力。,研究整体，受力如图。 需要求的是FC。,列平衡方程： Fy=FB-F=0 FB=F,解：逐一讨论A、B，可解。,5,例3.4 梁ACB如图。梁上起重小车重W=50kN，吊 重 P=10kN，求A、B处的约束力。,由(1)知，FAx=0。 剩余两个方程中含3个未知约束反力，不足以求解。,列平衡方程： Fx=FAx=0 -(1) Fy=FAy+FBy-P-W=0 -(2) MA(F) =MA+12FBy-4W-8P=0 -(3),解：1)取系统整体为研究对象，画受力图。,6,2)小车为研究对象，列平衡方程： MD(F)=2FE-W-5P=0 FE=(50+50)/2=50kN Fy=FD+FE-W-P=0 FD=10kN,有时需要综合研究整体及部分的平衡，联立求解,7,补充例：已知AD=BD=CD=a，求图示杆系A、B 及 D处的约束力。,解：研究整体有：,Fy=FAy-F=0 FAy=F MA(F)=FB2a-Fa=0 FB=F/2 Fx=FAx+FB=0 FAx=-FB=-F/2,研究CD杆，有：,MC(F)=FDya=0 YD=0 Fy=FACsin45 -F=0 FAC Fx=FDx-FACcos45=0 FDx,8,求解平面力系平衡问题的一般方法和步骤为：,弄清题意，标出已知量,9,问题1： 不计杆重，求连杆机构 在图示平衡位置时F1、 F2之关系。,10,问题1. 不计杆重，求连杆机构在图示平衡位置时 F1、 F2之关系。,11,问题2: 三铰拱受力偶M作用，不计拱的重量， 求A、B处的约束力。,解: BC为二力杆; 外力只有力偶M, 以AC为轴写投影方程可知， A处反力为FAy=0 , 整体受力如图所示。,12,问题2再论: 不计拱重，分析三铰拱的约束力。,三力平衡，若有二力汇交，则第三力必过其交点。 三力平衡，若有二力平行，则第三力与其平行。,13,问题3：试求图示双跨梁A端的约束反力。,先分离研究对象，再处理其上的分布载荷。,解： 1）研究整体：,一般力系，3个方程， 4个未知量。不足以求解,14,讨论：判断下述分析的正误。,MA = M+Fa-2Pa,固定铰的约束力作用于销钉上。 多杆用同一销钉连接，讨论某杆时，须考虑各杆与销钉间作用的不同。,15,问题讨论：试求图示A、B、C处的约束力。,16,分析BC和ABD杆受力,再考察AB杆，,由 MA ( F ) = 0 可求得FBx,17,由ABD杆的平衡有：,更简单方法,?,?,18,二、 静不定问题的概念,1)静定问题,由平衡方程即可确定的静力平衡问题 - 未知量数=独立平衡方程数,19,本题作用于小车的是 平行于y轴的平行力系， 系统 三个物体8个平衡方程； 约束 固定端3；中间铰2；活动铰、车轮接触 处各1共8个反力， 是静定问题。,如例3 系统三个物体9个方程， 反力只有8个。 小车可能发生水平运动。,未被完全约束住的物体及系统 约束力未知量数少于独立的平衡方程数，有运动的可能。,20,2）静不定问题或超静定问题,完全约束的物体或系统，若约束力数独立平衡方程数，问题的解答不能仅由平衡方程获得，称静不定问题。,3n=3; m=4 一次静不定,3n=3; m=6 三次静不定,3n=3; m=4 一次静不定,21,讨论：试判断下列问题的静定性。,约束力数 m=8 物体数 n=3 m3n 未完全约束,m=6 n=2 m=3n 静定结构,m=3 n=1+2+2+4=9 m=3n 静定结构,22,思考题：3-1， 习题：3-1，3-3，3-5，3-6。,返回主目录,23,摩擦给运动带来阻力，消耗能量，降低效率； 利用摩擦可进行传动、驱动、制动、自锁。,3.2 含摩擦的平衡问题,返回主目录,24,只要滑动未发生，物体仍静止，则F由平衡方程确定。,FT=0 , 静止，无运动趋势；F=0 0FTcr , 运动状态； 一般有 FTFmax,25,二、 含摩擦的平衡问 题的分析方法,特点：,26,A,O,M,C,F1min,e,a,L,2）制动杆受力如图。有平衡方程 MA(F)=FNa-Fmaxe-F1minL=0 摩擦方程 Fmax=f FN; FN=M/fr 代入后求得 F1min=(Ma/fr-Me/r)/L =M(a-fe)/frL,1）取轮O研究，画受力图。 有平衡方程 MO(F)=M-Fmaxr=0 得到 Fmax=M/r,解：讨论F1最小而制动，摩擦 力最大的临界状态。,例3.5 刹车装置如图。块C与轮间摩擦因数为 f，求F1min。,27,例3.6 图示悬臂可沿柱滑动, 摩擦因数为f。为保证 不卡住，试确定力Fo的作用位置。,解：1) Fo向下，悬臂下滑。,临界状态 x=xmax；有： Fx=FND-FNA=0； Fy=FA+FD-Fo=0 MA(F)=FNDh+FDd-Fo(xmax+d/2)=0 及 FA=fFNA , FD= fFND 解得： FNA=FND=Fo/2f, xmax=h/2f.,悬臂不卡住， 应有 xmaxh/2f 而与Fo无关。,28,例3.6 图示悬臂可沿柱滑动, 摩擦因数为f。为保证不 卡住，试确定力Fo的作用位置。,解：2) Fo向上，悬臂上滑。,临界状态 x=xmax；有： Fx=FNB-FNC=0； Fy=Fo-FB-FC=0 MB(F)=FCd-FNCh-Fo(xmax-d/2)=0 及 FB=fFNB , FC= fFNC 同样解得： FNB=FNC=Fo/2f xmax=h/2f.,悬臂不卡住， 应有 xmaxh/2f， 而与Fo无关； 与上下滑无关。,29,含摩擦的平衡问题的分析方法：,研究对象 受力分析 平衡方程求解,先回忆静力平衡问题的一般方法：,30,讨论一：摩擦角及自锁现象,设主动力之合力FA的作用线与法向夹角为a， 若ajf，则无论FA多大，总有全反力FR与之平衡， 物体保持静止； 这种现象称为自锁。,全反力FR: 支承面法向反力 FN和摩擦力F之合力。,若ajf, 则无论FA多小，物体都不能保持平衡。,31,1. 木楔打入墙内，摩擦角为jf，试问a为多大时木楔打入后才不致退出？,利用自锁条件，研究下述问题：,32,1. 木楔打入墙内，摩擦角为jf ，试问a为多大时 木楔打入后才不致退出？,不计重力，木楔受全反力FR1、FR2二力作用而处于平衡，则FR1、FR2必共线且沿铅垂方向(对称性)。 临界状态有： a=jf; 自锁条件为： a jf,33,问题： 2. 夹紧装置如图。夹紧后OA水平，欲在Fo力除去 后工件不松，求偏心距e.,自锁条件： a jf tga=e/(d/2) tgjf=f 得: ef d/2,34,讨论二：皮带传动的摩擦力,皮带在轮O上，包角。紧边FT2，松边FT1，轮O逆时针转动。,Fy=dFN-FTsin(d/2) -(FT+dFT)sin(d/2)=0,35,注意d是小量，有sin(d/2)=d/2, cos(d/2)=1；略去二阶小量 dFTd； 得到： fdFN=dFT 和 dFN=FTd; 再消去dFN， 即得： dFT/FT=fd,积分,注意=0时，FT=FT1；=时，FT=FT2；有：,36,思考题：3-4 习题：3-13, 3-14, 3-16(b)，3-17(b)。,返回主目录,37,节点： 杆件间的结合点。,桁架： 杆组成的几何形状不变的框架。,平面桁架: 杆轴线和外力在同一平面内。,3.3 平面桁架,返回主目录,38,平面桁架的 基本假设:,2) 载荷都在桁架平面内，且作用于桁架的节点处， 或可作为集中载荷分配到节点处。,故：力系是平面力系；杆都是在二端节点处受力 的二力杆。杆内力是沿杆的拉/压力。,1) 杆均为无重直杆， 节点均为铰接点。,3) 桁架只在节点处受到约束。,39,无余杆桁架： 除掉任一根杆便不能保持其形状的桁架。,n个节点均为汇交力系，有2n个平衡方程；未知量有m根杆的内力和3个约束，m+3=2n，是静定问题。,基本三角形有3根杆和3个节点，其余(n-3) 个节点各对应2根杆，故无余杆桁架中杆数m和节点数n应当满足：m=3+2(n-3), 即 m=2n-3,显然，无余杆桁架是静定桁架。 有余杆桁架（m2n-3）则是静不定的。,保证桁架形状的必要条件： 以基本三角形框架为基础，每增加一个节点就增加二根杆件。,40,讨论下列桁架及问题的静定性,杆数m=7 节点数n=5 m=2n-3 静定桁架 约束力3 静定问题,静定桁架，反力4 一次静不定问题,杆数m=6 节点数n=4 m-(2n-3)=1 静不定桁架 约束力3 一次静不定,m-(2n-3)=2 静不定桁架，约束力4 三次静不定问题,41,3.3.1 节点法,用节点法求平面桁架中杆内力的步骤为： 1)研究整体，求约束反力。,求反力FAx、FAy 由A节点平衡求F1、F2 由D节点求F3、F4 由 C节点求F5、F6 ,3)从含已知力且只有二杆受力未知的节点开始， 逐一列平衡方程求解。若求得的结果为负，则是压力。,2)选取节点，画受力图。假定杆内力为拉力。,42,3.3.2 截面法,2)任取一截面，截取部分桁架作为研究对象，画受 力图。杆内力假定为拉力。,截面法求解桁架问题时，不需逐个节点分析， 其分析方法可归纳为：,3)列平衡方程求解。因为作用在研究对象上的是平 面一般力系，可以求解3个未知量。,1)研究整体，求约束反力。,43,例3.11 求图示桁架中各杆内力。,解：1)由整体求得： FAx=0; FAy=FE/3; FB=2FE/3,2)截取上部研究，受力如图。 有 Fx=0 F2=0 MD(F)=-FE(2a/3)-F3a=0 F3=-2FE/3 Fy=-FE-F3-F1=0 F1=-FE/3,综合应用截面法和截点法，可提高求解的效率。,3)研究节点D，可求得 F4、F6； 4)研究节点C，可求得 F5、F6； 5)研究节点B，可求得 F8、F9； 6)研究节点A，可求得 F7、F9；,44,讨论1：求桁架指定截面内力。,45,讨论2：广告牌由杆系支撑，风载作用如图。如何求各杆内力？,思考： 零杆是否可以不要？,46,思考题：3-4 习题：3-13, 3-14, 3-16(b)，3-17(b)。,返回主目录,47,力F 为Fz、Fxy； Fxy Fx、Fy； 显然有： F=Fx+Fy+Fz；,且各分力为：,由定义知后者正是力在各轴上的投影。故正交坐标系中，投影和分力大小相等。,1. 力在空间坐标轴上的投影,一、空间中力的投影及力对轴之矩,3.4 空间力系的平衡问题,返回主目录,48,物体绕轴转动效果的度量。 以门绕Z轴的转动为例来讨论。 显然有：Mz(F1)=0； Mz(F2)=0,2.力对轴之矩,将力F分解成Fz和Fxy，可见 Mz(Fz)=0; Mz(Fxy)=MO(Fxy),力F对轴z之矩Mz(F)等于力在垂直于z轴之平面内的分量Fxy对轴z与该平面交点O之矩。 正负用右手螺旋法确定，（图中为正）。,力与轴相交或平行，对轴之矩为零,故力F对轴z之矩可写为：Mz(F)=MO(Fxy)=Fxyh,49,例: 试写出图中力F在轴上的投影及对力轴之矩。,Fx=0 Fy=(4/5)F=40 N FZ=(3/5)F=30 N Mx(F)=-Fyz+Fzy =-40+36=-4 Nm My(F)=-FZx=-6 Nm Mz(F)=Fyx=8 Nm,利用合力矩定理，进一步有： Mz(F)=Mz(Fx)+Mz(Fy)+Mz(Fz)=Fxy+ Fyx,50,二、力偶矩的矢量表示,故：力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所确定。 力偶矩矢是自由矢，可平行移动。 空间力偶系的合成可按力偶矩矢量求和进行。,力偶矩矢 M：矢的长度-力偶矩的大小； 矢的指向-力偶作用平面的法向； 转向由右手螺旋规则确定。,1）力偶矩矢：,空间力偶对刚体的作用效果取决于 力偶矩的大小； 力偶作用平面； 力偶的转动方向。,51,2）空间中力对点之矩与力对轴之矩间的关系,如图，力F对O点之矩矢MO垂直于 OAB平面且大小为： MO=MO(F)=Fh=2OAB,另一方面：力F 对轴z之矩等于其在垂直于轴 z之的平面内的分量F 对交点O之矩，即：,故可知：力对某点之矩矢在过该点任一轴上 的投影等于力对该轴之矩。,Mz(F)=Mo(F )=2Oab=2OABcos= MOcos,52,三、空间一般力系的简化和平衡,1.空间中力的平移,力F平移到A点，得到力F 和作用于Abc面以力偶矩矢表示的力偶M。,53,空间一般力系,向某点 O平移,主矢F R,主矩Mo,若F R 0，Mo=0；为一合力，且 FR=FR,54,3.空间力系的平衡方程,Fx=0； Fy=0； Fz=0 Mx(F)=0； My(F)=0； Mz(F)=0,55,四、空间平衡问题的求解,例3.11 列传动轴的平衡方程。 解：画受力图。,1. 直接求解法,0 0 0 FByAB 0 0 -FCrAC 0 FDrAD,0 0 0 0 -FBzAB FCtAC 0 FDtAD 0,0 0 0 0 0 -FCtr1 0 FDtr2 0,0 0 FAz 0 FBz -FCt 0 -FDt 0,0 FAy 0 FBy 0 0 -FCr 0 FDr,FAx 0 0 0 0 0 0 0 0,列表给出各力 在轴上的投影及对轴之矩。,56,Fx=FAx=0 -(1) Fy=FAy+FBy-FCr+FDr=0 -(2) Fz=FAz+FBz-FCt-FDt=0 -(3) Mx(F)=-FCtr1+FDtr2=0 -(4) My(F)=FCtAC+FDtAD-FBzAB=0 -(5) Mz(F)=-FCrAC+FDrAD+FByAB=0 -(6),利用上述6个方程，除可求5个约束反力外，还可确定平衡时轴所传递的载荷。,由表中各行可列出6个平衡方程为：,57,空间平衡力系在任一平面上的投影分量所形成的平面力系，必为平衡力系。,如由Axy平面力系可写出平衡方程： Fx=FAx=0 -(1) Fy=FAy+FBy-FCr+FDr=0 -(2) (Mz(F)=) MA(F)=-FCrAC+FDrAD+FByAB=0 -(6),58,同理，由Axz平面力系可写方程(1) (3) (5)； 由Ayz平面力系可写出平衡方程(2) (3) (4)。,空间力系投影到三个坐标平面上，即可转化为平面力系的平衡问题。 优点是图形简明，几何关系清楚，工程常用。,x,z,A,y,FCr,B,C,D,FCt,FDr,FDt,FBy,FBz,FAy,FAx,FAz,59,讨论：试分析图中钢架各销饺处的约束反力。,Z方向无载荷作用，设各处z方向反力为零。,Fz=0 (自动满足) Mz2(F)=0 FAy=F1; Fy=0 FBy=-FCy; Mx(F)=-150F1+50FCy-50FBy=0 FCy=3F1/2 Fx=FAx+FBx+FCx+F2=0 My(F)=-150F2-50FCx+50FBx=0,剩余2个方程，不足以确定FAx、FBx、FCx3个未知量；需要考虑三铰装配时在 x方向的间隙情况。,FCy,FCx,FBy,FBx,60,五、重心,起重机翻倾；船舶稳定；旋转机械振动,重力 W=mg, 重心在质量对称轴上。,重心是物体各部分所受重力之合力的作用点。,重心不一定在物体上。,61,例：单位厚度拼合板框如图，求重心。,3. 组合法（利用合力矩定理）,确定简单均质图形组合而成的非均质物体的重心。,后一种方法也称 负面积法或加减法。,62,讨论1：试确定图中平面图形的重心xC。,组合图形 =三角形