经济数学-一阶微分方程.ppt

,一、可分离变量的微分方程,二、齐次方程,第二节 一阶微分方程,三、一阶线性微分方程,四、小结与思考题,一、可分离变量的微分方程与分离变量法,设有一阶微分方程,其中,都是连续函数.,根据这种方程的特点,我们可通,过积分来求解.,设,以使得未知函数,与自变量置,得,两边积分,得,如果,求解可分离变量的方程的方法,上述,例1 求微分方程,解,分离变量,两端积分,从而,则得到题设方程的通解,解,分离变量得,得,设,两端积分,得,于是,则得到题设方程的通解,记,注：,在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过,程中,用它除方程,两边,这样得到的通解,但是,其失去的解仍包含在通解中.,如在本例中,我们得,则,到的通解中应该,但这样方程就失去特解,而如果允许,则,仍包含在通解,中.,例4,并且资,产本身以每年5%的速度连续增产,同时该公司每,年要以30百万元的数额连续支付职工工资.,(1),(2),求解方程,这时假设初始净资产为,(3),变化特点.,解,(1),利用平衡法,即由,净资产增长速度,得到所求微分方程,解,(1),得到所求微分方程,(2),分离变量,得,两边积分,得,于是,得方程通解:,上式推导过程中,或,通常称为平衡解,仍包含在通解表达式中.,(3),由通解表达式可知,产额单调递减,公司将在36年破产;,净资,万元时,公司将收支平衡,将资产保持在600百万元,不变;,不断增大.,公司净资产将按指数,二、齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,得,可分离变量的方程,1.定义,解,原方程变形为,求解微分方程,令,则,故原方程变为,即,分离变量得,齐次方程,分离变量得,两边积分得,或,便得所给方程的通解为,回代,求下列微分方程的通解:,解,原方程变形为,令,则,代入原方程并整理,两边积分得,即,变量回代得所求通解,课堂练习 求解微分方程,解,微分方程的解为,一阶线性微分方程的标准形式:,上面方程称为齐次的.,上面方程称为非齐次的.,例如,线性的;,非线性的.,三、一阶线性微分方程,齐次方程的通解为,1. 一阶线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,由分离变量法,2. 一阶线性非齐次方程,讨论,两边积分,即非齐次方程通解形式,对照,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例7,第一步，求相应的齐次方程的通解,解,例7,第二步，常数变易法求非齐次方程的通解,解,例7,例8,解,方程化为,其中,所以,四、利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,例10 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,贝努利方程,解,分离变量法得,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,（一阶线性微分方程）,五、小结,1.可分离变量的微分方程:,分离变量法,（1）分离变量;,（2）两端积分-隐式通解.,可分离变量的微分方程解法：,3.线性非齐次方程,2.齐次方程,齐次方程的解法,线性非齐次方程的解法,思考题,1.求