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文档简介

第五节 平面及其方程,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,第七章,平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本节和下节我们将以向量作为工具讨论平面和直线的问题。介绍平面和直线的各种方程及线面关系、线线关系。,确定一个平面可以有多种不同的方式，但在解析几何中最基本的条件是：平面过一定点且与定向量垂直。这主要是为了便于建立平面方程，同时我们将会看到许多其它条件都可转化为此。,这里先介绍平面的点法式方程：,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,已知,设平面上的任一点为,必有,一、平面的点法式方程,平面的点法式方程,其中法向量,已知点,若取平面的另一法向量,此时由于,平面方程为,平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形,解,所求平面方程为,化简得,一般地,过不共线的三点,的平面的法向量,平面方程为,三点式方程,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,分析:利用三点式,按第一行展开得,即,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,由平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般方程,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 情形.,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,设平面为,将三点坐标代入得,解,则平面与,三轴分别交于,、,、,（其中,，,，,）,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,化简得,令,所求平面方程为,例6,求过点,且平行于,z 轴的平面方程.,解一,用点法式,设所求平面的法向量为,由点法式得，所求平面的方程为,即,解二,用一般式,因平面平行于 z 轴，故可设平面方程为,在平面上,解得,所求平面方程为,即,由以上几例可见，求平面方程的基本思路和基本步骤：两定定点，定向,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,三、两平面的夹角,按照两向量夹角余弦公式, 可以得出：,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,例7 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,例8,一平面过点,且垂直于,平面,求其方程。,解,设所求平面的法向量为,在所求平面上,又所求平面与已知平面垂直,解得,代入点法式方程并整理得,解,四、点到平面距离公式,例10.,解: 设球心为,求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成四面体的球面方程.,则它位于第一卦限,且,因此所求球面方程为,从而,平面的方程,（熟记平面的几种特殊位置的方程）,两平面的夹角.,点到平面的距离公
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