《讲集合与函数》PPT课件.ppt

, 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第一讲 集合与函数,第一章 集合与函数,本章学习要求： 正确理解函数概念，了解反函数和复合函数的概念 。 了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性，熟悉基本初等函数的性质及其图形。,一、集合的基本概念,集合论是现代数学的基础。集合论的创始人是丹麦人 康托尔（犹太人），他在柏林大学学习（工科）期间受大 数学家魏尔斯特拉斯的影响，转而攻读数学，最后成为一 名数学家。他于1847年提出集合论，解决了当时一系列悬 而未决的问题，奠定了现代数学基础。但康托尔创建集合 论的过程是十分艰难的，为此他几乎献出了生命。这也说 明如何一件新生事物的出现往往都不是一帆风顺的。,康托尔将集合定义为： 所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间 有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一 个整体来考虑的结果。,1. 集合,关于集合的几点注意：,集合的元素是确切定义的，不能含糊不清。 集合中的元素互不相同。 当只研究一个集合时，则可不考虑其结构，视集合 中的 元素一律平等。,2. 集合的表示法,列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用 花括号括上。,表示集合的方法有两种:,注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现。,3. 有界集,A，若存在M 0, xA，均有|x|M，则称A为有界集； 若对A中的任何元素x，有xM,则称A为有上界； 若对A中的任何元素有xM，则称A为有下界。,4. 映射,对于映射f：AB ，若 x1,x2A，x1x2推出f(x1)f(x2)，则是单射； 典型的单射：单调函数，不是单射的函数：偶函数,对于对于B中任意一个元素都有原像与之对应，即是满射。 也就是说每一个元素都有原像。一旦规定了是函数，他肯定是一个满射,单射：,满射：,双射,单射但非满射,满射但非单射,非满射但非单射,x0+,(,),x0 ,x0,5.邻 域,x0 + ,(,),x0 ,x0,U ( 3, 0.1 ) = ( 3 0.1, 3 + 0.1 ),点 x0 = 3 的 = 0.1 邻域为,点 x0 = 3 的去心 = 0.1 邻域为, ( 3, 0.1 ) = ( 2.9, 3 ) ( 3, 3.1 ),= ( 2.9, 3.1 ),二、函数的基本概念,1. 函数的定义,2. 函数的表示法,解 析 法,表 格 法,图 示 法,自己看书！,3. 求函数定义域举例,数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的 定义域是一件十分重要的事情。 通常依据：分式的分母不能为零；负数不能开 偶次方；已知的一些函数的定义域；物理意义；几 何意义等来确定函数的定义域。,综上所述,该函数的定义域为 D = ( 1, 2 ) 。,由负数不能开偶次方, 得,由对数函数的定义域, 得,由分母不能为零, 得,该函数为分段函数,它的定义域为,分段函数是一个在自变量的不同取值范 围内具有不同的对应关系的函数, 即在定义 域的一些不相重叠的真子集上, 用不同的表 达式表示的函数.,该函数称为符号函数,其定义域为,1,x,y,O,1,y = sgn x,也称为克朗涅哥函数,将 x 表示为:,函数,称为取整函数，它是一个分段函数。,想想取整函数的图形是什么样子？,故,定义域与对应规则均相同的两个函数相同。,如何判断两个函数是否相同?,4. 判断函数相同,5.函数的图形,称为函数 f ( x ) 的图形。,在平面上建立直角坐标系O x y，则 x y 平面上的点集,是否所有的函数均可绘出几何图形？,单调性,有界性,奇偶性,周期性,三、函数的基本性质,1.单调性,在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调增加, 记为 。,在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调减少, 记为 。,函数的单调性是一个局部性的 性质, 它与所讨论的区间I 有关.,画画图就一目了然.,我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。,2. 有界性,有界性,有 界,有上界,有下界,设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。,若存在实数 A , B , 使对一切 x I 恒有,A f ( x ) B,则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界。,否则, 称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上无界。,函数有界性的定义,y = f ( x ),x,x,y,y,A,A,B,B,O,O,y = f ( x ),函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界,成立，则称函数 y = f ( x ),在区间 I 上是上方有界的,简称有上界。,设函数 y = f ( x ) 在区间,I 上有定义。,若存在实数 M (可正，,可负)，对一切 x I 恒有,y = f ( x ),f ( x ) M,f ( x )m,在区间 I 上是下方有界的,简称有下界。,设函数 y = f ( x )在区间,I 上有定义。,若存在实数 m (可正，,可负), 对一切 x I 恒有,成立，则称函数 y = f ( x ),y = f ( x ),函数 y = f ( x ) 有界,f ( x ) 既有上界又有下界.,在区间 I 上:,无穷多个下界，所有下界中最大者称为函数在区,间 I 上的下确界，记为,无穷多个上界，所有上界中最小者称为函数在区,间 I 上的上确界，记为,有上(下)界的函数是否必有上(下)确界？,如何证明或判断函数无界？,提一个问题：,证明或判断无界，通常依据:,易知：,在任何一个有限区间内有界。,3. 奇偶性,若 x Df , 有,f ( x ) = f ( x ),成立，则称 f ( x ),为偶函数。,偶函数的图形 关于 y 轴对称。,若 x Df , 有,f ( x ) = f ( x ),成立，则称 f ( x ),为奇函数。,奇函数的图形 关于坐标原点对称。,设函数 y = f ( x ) 的定义域 Df 关于坐标原点对称。,哪些是奇函数,哪些是偶函数:,指出下列函数在其定义域内,在关于坐标原点对称的区间 I 内：,两个偶(奇)函数之和仍是一偶(奇)函数。,两个偶(奇)函数之积均为一个偶函数。,一个偶函数与一个奇函数之积是一个奇函数。,的形式。,在关于坐标原点对称的区间 I 内有,定义的任何一个函数 f ( x )，均可表示为,区间 I 内的一个偶函数与一个奇函数之和,4. 周期性,则称 f ( x )为周期函数， 称为函数 f ( x ),设函数 y = f ( x ) , x (, ) 。,若存在 0 , 对一切 x (, ) 恒有,y = f ( x ) = f ( x ) ,的一个周期。,如果一个周期函数有最小正周期,存在, 记为,则称 T 为周期函数的周期。,T = min , 0,通常所说的周期是,故称正弦函数 y = sinx 的周期为2 。, = 2k ( k Z 且 k 0) 均为函数,y = sin x 的周期, 而它的最小正周期为,T = min 2k = 2 kZ+,截尾周期函数（最终周期函数）的定义：,请自己看书！,请自己看书！,请自己看书！,请自己看书！,四、基本初等函数,大家在中学就已熟悉它们了！,以下六种简单函数 称为基本初等函数,1. 常值函数 y = C ( C 为常数 ),2. 幂函数 y = x ( R 为常数 ),3. 指数函数 y = a x ( a 0, a 1 ),4. 对数函数 y = loga x ( a 0, a 1 ),5. 三角函数 y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x y = sec x y = csc x,6. 反三角函数 y = arcsin x y = arccos y = arctan x y = arccot x y = arcsec x y = arccsc x,详 情 见 书,四、复合函数、反函数,？,如何,描述,1.复合函数,的每一个 x 所对应的 u 值，都属于 f (u) 的定义域 Df ，,其中，u 称为中间变量。,由函数,可构成复合函数,函数复合而成 ?,它是由以下几个函数复合而成:,以上过程称为 对复合函数的分解,自由落体运动中,位移与时间的关系是,选时间 t 为自变量:,选位移 s 为自变量:,直接函数,反函数,习惯上称,2. 反函数,是一一对应 (即映射 f 是一一对应), 称 f 的,f 的反函数.,反函数的定义,自己画一下草图,反函数的图形,将函数 y = f (x) 的反函数写成 x = f 1(y) 时， 函数与其反函数的图形相同.,将函数 y = f (x) 的反函数记为 y = f 1(x) 时， 函数 y = f (x) 与其反函数 y = f 1(x) 的图形关于 第、 象限的角平分线 y = x 对称。,反函数的图形,综上所述，所求反函数为,故所求反函数为,增加的.,减少,减少,六、初等函数,由基本初等函数经过有限次四则运算,和复合运算而成的函数, 称为初等函数。,例如,都是初等函数.,一般说来, 分段函数不是初等函数.,但有个别分段函数例外，例如,故该幂指函数是一个初等函数.,六、双曲函数反双曲函数,学习双曲函数时,注意与中学学习过的 三角函数进行比较,找出它们之间有关定义 及计算公式的相同处和不同处。,1. 双曲函数的定义及性质,双曲正弦,双曲余弦,双曲正切,双曲余切,双曲正割,双曲余割,悬链线,双曲正弦函数是奇函数,双曲余弦函数是偶函数,y = cth x,y = th x,双曲正切函数是奇函数,2. 常用的公式,(1) 反双曲正弦函数,习惯上写成,x (, )。,双曲正弦函数 y = sh x 是 (, ) 到,(, ) 的一一对应, 故它的反函数存在,通过初