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令人困惑的悖论令人困惑的悖论湖南新化县教师进修学校 肖乐农“悖论”的含义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的结论，这些结论会使我们惊讶无比。悖论主要有三种形式：1.一种论断看起来好象肯定错了，实际上却是对的(佯谬)；2.一种论断看起来好象肯定对了，实际上却是错的(似是而非)；3.一系列理论看起来好象无懈可击，却导致了逻辑上的自相矛盾。悖论有点象变戏法，人们看完以后，几乎没有一个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的?”当他知道其中的奥妙后，便被不知不觉地引进深奥而有趣的数学世界中。下面辑录一些生动而奇妙的悖论，请读者去欣赏吧！1.奇怪的法律西班牙著名作家塞万提斯写的小说唐吉诃德里，描写过这样一个故事：吉诃德的仆人桑乔潘萨成了一个小岛的国王，在那里他起誓要在这个国家里举行一条奇怪的关于旅游者的法律，每个旅游者进来都要回答一个问题：“你来这里做什么?”如果回答对了，一切都好办；如果回答错了，旅游者就要被绞死。一天，来了个旅游者，他回答说：“我来这里是要被绞死。”旅游者被送到国王那里，国王苦苦想了好久：他回答得是对还是错?究竟要不要把他绞死?如果说他回答得对，那就不要绞死他可这样一来，他的回答又成了错的了!如果说他回答错了，那就要绞死他但这恰恰又证明他回答对了。实在是左右为难!2.钱包游戏数学教授张三先生与他的两个研究生李四和王五一起吃午饭。张三先生建议玩一个游戏。他说：“把你们的钱包放在桌子上，我来数里面的钱，钱包里的钱最少的那个人可以赢掉另一个人钱包里的所有钱。”听了教授的话，李四想：“如果我的钱比王五的多，他就会赢掉我的钱；可是，如果他的钱多，我就会赢得多于我的钱，所以我赢的要比输的多。因此这个游戏对我有利。”同时王五也在想：“如果我的钱比李四多，他就会赢掉我的钱；可是，如果他的钱比我的多，我就可以赢。而我赢的比输的多，所以游戏对我有利。”一个游戏怎么会对双方都有利呢？这是不可能的。是不是因为两个参与者都错误地设想他赢和输的机会是相等的，因而产生了这个谬论呢？可惜，到现在为止，我们还不能用比较简单的方式说清李四和王五的想法错在哪里，也许你愿意在这方面动动脑子去解决这个问题！3.东来西去小燕做了新娘，小家安在了M市中心。小燕的娘家在东城，婆家在西城，两家老人都希望他们能常来。在这座城市里，地铁很发达，向东的列车和向西的列车都是十分钟一趟。于是小俩口约定，每天不定什么时间去地铁车站一次，坐最先到达的列车。车往东开，就去娘家；车往西开，就去婆家。列车时刻表向东 向西1200 12011210 12111220 12211230 12311240 1241 过了一些天，小燕的妈妈高兴地对小燕说：“小燕子，你真是我的好闺女，你们十天里就来看了我九次！”可是，小燕的婆婆却抱怨儿子说：“你呀，娶了媳妇忘了娘，你们十天才来了一次！”哪里出了问题呢？让我们先来看一下列车时刻表（如右）。很明显，尽管开往每个方向的列车都是每隔十分钟一趟，可是列车的运行时刻表却编得使西去的列车总是比东去的列车晚到一分钟。这样一来，为了赶上西去的列车，小燕他们必须在一分钟间隔内的某个时刻到达；而要赶东去的列车，小燕他们只需要在九分钟间隔内的某个时刻到达。因此，向西去的概率只有1/10，往东的概率却是9/10。所以，小燕他们看似公平的安排，实际上并不公平。4.季诺的诡辩古希腊有一位哲学家季诺，他常常提出一些荒谬的想法，但又把道理说得振振有词，使当时的学者们很难驳倒他。他曾经这样说：希腊神话中有“飞毛腿”之称的善跑英雄亚契里斯，如果与爬行很慢的乌龟赛跑，亚契里斯将永远赶不上乌龟。季诺的“理由”是这样的：先假设亚契里斯与乌龟相距1000米，亚契里斯在后面追乌龟。又假定乌龟每分钟爬100米，亚契里斯每分钟行1000米。这样的话，当亚契里斯追到乌龟的起点时（图1中A点），乌龟已爬到前面100米的地方（图1中B点）；当亚契里斯向前追100米到B点时，乌龟又爬到前面10米的地方（图1中C点）；当亚契里斯向前追10米到C点时，乌龟又爬到前1米的地方（图1中D点）；这样追下去，虽然越追越近，但乌龟总在亚契里斯的前面，也就是说，亚契里斯永远追不上乌龟。图11000米 A B C D这就是著名的“季诺诡辩”，当时的人们真被他的“理由”弄糊涂了。显然，季诺的诡辩是荒唐的，怎样去驳倒它呢？只要我们换一个角度去看这个问题就十分容易了。设亚契里斯经过分钟追上乌龟，那么可列方程：10001001000，由此可得10/9。这就是说，只要过10/9分钟，亚契里斯就追上了乌龟。其实，这是一个简单的追及问题，亚契里斯比乌龟每分钟多走900米，要多走1000米，只要100090010/9（分钟）。另外，我们也可以按季诺的说法算下去：亚契里斯追到A点时，花了1分钟；走到B点时，又花了0.1分钟；走到C点时，再花0.01分钟；走到D点时，又花了0.001分钟；所以，追上乌龟应花的时间是：10.10.010.001利用循环小数的知识就可得到：这就是说，亚契里斯只要用10/9分钟就可追上乌龟，决不象季诺说的“永远追不上”。5.好恶不能传递如果一个饮料厂家对三种饮料A、B、C在人们中受欢迎程度进行调查，调查结果显示：的人喜欢饮料A超过B，的人喜欢饮料B超过C。厂家是否应该将饮料C作为最不受欢迎的一种饮料而淘汰呢？表面看，答案是肯定的，而实际上却答案是否定的！因为还有可能喜欢饮料C的人比喜欢饮料A的人更多。请看下面的表格：喜欢次序人数1231/3ABC1/3BCA1/3CAB从表格中可以看出：A有两次排在B的前面，说明有的人喜欢A胜于喜欢B；B有两次排在C的前面，说明有的人喜欢B胜于喜欢C，但令人吃惊的是：C也有两次排在A的前面，说明有的人喜欢C胜于喜欢A。所以厂家不能简单地淘汰饮料C，而应作更深入的市场调查研究后再作决策。上面的例子告诉我们，如果有三个对象，而且具有三种可以比较的指数，将它们按各指标排好顺序，当我们进行两两比较时，就可能出现上述矛盾。出现矛盾的原因在于：我们以为“好恶”关系是可以传递的，如象AB，BC，就可以排出AC那样，但事实上“好恶”关系是不可以传递的！6.年画出售在一家文具商店里，有1元钱3张的年画，也有1元2张的年画。这一天，卖出了30张1元钱3张的年画，收入10元；卖出了30张1元2张的年画，收入15元。这天一共卖得了年画款25元。第二天，老板又拿出60张年画放在了柜台上。他想：“何必将两类年画分开卖呢？既然30张年画是1元钱3张，30张年画是1元钱2张，我为什么不把60张年画放在一起，按2元5张来卖？这应该是一样的嘛。”老板怎么想就怎么做。可是到了晚上，60张年画虽然都按2元5张的价格卖出去了，收到的钱却只有24元。这是怎么回事？那1元钱到哪儿去了？现在，我们对此作一下代数分析吧。假设价格较高的年画是每张卖，价格较低的年画每张卖元。两个分数都要化简为最简分数。比如说，在上面的例子里，贵的年画是1元2张，即每张年画元；便宜的年画是1元3张，即每张元。这里，a=2，b=d=1，c=3。假若所有年画都各以两种不同的价格卖，则一张年画的平均价为b/a和d/c之和的一半，即。如果两种年画合起来，按一个价格卖，那么a+c张年画就卖b+d元钱，一张年画的平均价格就是。显然，两种年画合起来卖，要收入同样多的钱数，必须是：。令人吃惊的是，这个等式只有在a=c时成立，而与b和d的值无关。并且如果ac，则合起来卖就要赔钱；如果ac，则合起来卖可得更多的钱。比如说，假定贵一些的年画卖两块钱3张，或者说是每张年画的价格是2/3元；较便宜的年画卖1块钱两张，或者说每张1/2元。老板把这两种年画混合，按3块钱5张出卖。假设每种有30张，如前面一样，分开来卖，得到35元，可是合起来卖60张共得36元。这样老板就多得了1元，而不是少了1元！这个悖论告诉我们，当购买联合销售的不同种类的货物时，要判断是否真的买到了便宜货，并不是一件轻而易举的事。7.拿红牌的概率在五张红牌和六张黑牌背面标上，再在这些牌中加上三张红牌和四张黑牌，背面没标，这总共是十八张牌组成第一组。把这十八张牌洗过以后，背面向上摊在桌上，从中拿一张牌，若希望拿的是红牌，那么此时应该拿背上有标记的还是拿没有标记的？由于按记号拿到背上标有记号的红牌概率为，拿到背上没有记号的红牌概率为，而因此，此时应拿背上标有记号的牌。又在六张红牌和三张黑牌的背面标上，在这些牌中另加背面没有的九张红牌和五张黑牌，总共二十三张牌组成第二组。仍按上法，在洗牌后再摊放在桌上，从中取一张牌，同样若希望取得的为红牌，则此时应该拿背上有标记的还是背上没有标记的？由于按记号拿到背上有标记的红牌概率为，拿到背上没有标记的红牌概率为，而因此，此时也应拿背上标有记号的牌。现在把两组牌合成四十一张的一套，洗牌后摊开，仍从中取一张牌，同样希望取得红牌，则此时应该拿背上有标记的还是背上没有标记的？由于按记号拿到背上有标记的红牌概率为，拿到背上没有标记的红牌概率为，而因此，此时拿背上没有标的牌，竟与上面的决策相反！在统计中若让牌表示参与两种研究试验的人。表示服用药物的人，没有的表示服用安慰药（无实际药效）的人。红牌表示情况好转的人，黑牌表示情况没有变化的人。这样如上分成两组来分析，每一组试验均表明药物有效，然而当把两组试验合起来分析，却得出药物无效的结论，两者恰好相反！这个悖论说明，要设计出一种试验，使其统计分析结果总是可信，这是有一定困难的。8.雪花曲线许多数学悖论是饶有趣味的，它不仅能开阔我们的眼界，还可以从中享受到无穷的乐趣。这里介绍的雪花曲线，就是一个令人惊奇的数学悖论，从中可以看到大自然的又一项神奇的杰作，这在数学课本中或许是永远体会不到的。雪花曲线的形状可以按下述程序画出：先画一个正三角形（图6）；然后将这个三角形每边三等分，再以每边的两个三等分点为顶点分别向原三角形外画小正三角形，并擦去各边两个三等分点间的线段，这样就成了六角星型（图6）；再在六角星形的每边用同样的方法向外画更小的正三角形，并擦去相应的线段，这时的图形（图6）开始像天上飘下的雪花了。再重复以上的过程，图形可以不断地画下去。 图6现在的问题是，这个不断画出的图形的周长会是多少？假如第一个三角形每边长为1厘米，那么这个不断画出的图形始终在一个半径为厘米的小圆内，其周长大不了有1米吧？怎么看也不像会有1米长；如果我们的直觉判断如此，那就太糟糕了。事实上，这个图形的周长可以任意长。也就是说，只要上述画雪花的过程一直继续下去，这个图形的周长将趋于无穷大。这不是太神奇了吗？我们具体来算算看：由于图6的边数为3，图6的边数为34，图6的边数为342，图6的边数为 34n-1，它们的边长分别为1厘米、厘米、厘米、厘米，而雪花曲线的周长等于边数与边长的乘积，因此，如果用C1、C2、C3、Cn分别表示图6、图6、图6、图6的周长的话，于是有：C1133（厘米）；C2344（厘米）；C3342（厘米）；Cn34n-13（厘米）。由此我们不难看出，当n足够大时，Cn能比我们指定的任何数更大。也就是说，雪花曲线并不像我们想象的不够1米长，还是要多长就有多长！9.甲虫爬行有些问题让你的直觉经受严峻考验，比如有这样一个问题：一只甲虫沿着一条长1公里的橡皮绳以每秒1厘米的匀速由一端向另一端爬行。每过1秒钟，橡皮绳就伸长1公里。比如，10秒钟后，橡皮绳就伸长10公里了。假定橡皮绳可以任意拉长，并且拉伸是均匀的。甲虫也会不知疲倦地一直往前爬，在绳子均匀拉长时，甲虫的位置理所当然地相应均匀向前挪动。如此下去，甲虫最后究竟能不能爬到橡皮绳的另一端呢?乍一想，甲虫爬行的那点可怜的路程，肯定赶不上橡皮绳成万倍的不断伸长，随着橡皮绳的拉伸，甲虫只怕是离终点越来越远了！然而，甲虫却千真万确地爬到了终点（即橡皮绳的另一端）。如果你不信，就看看下面的计算结果吧：1公里等于100000厘米，第1秒后，甲虫爬行了整个绳长的；第2秒后，它又爬行了整个绳长的（因为橡皮绳是均匀拉长的，所以甲虫在第二个1秒里爬行了厘米，这里的1是甲虫的爬行速度，是橡皮绳由2公里拉伸到3公里的拉伸系数。因此，甲虫在第2秒内爬行了整个绳长的）；以此类推，第3秒后，甲虫又爬行了整个绳长的；第4秒后，甲虫又爬行了整个绳长的；如此下去，甲虫第n秒后在橡皮绳上的位置到起点的距离与整个不断拉伸的橡皮绳长的比为：当n足够大时，括号内的和值可以要多大