平面向量的数量积(学生)

第3讲平面向量的数量积最新考纲1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.知 识 梳 理1平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.(2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积2平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夹角：cos .(4)两非零向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| .3平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)辨 析 感 悟1对平面向量的数量积的认识(1)两个向量的数量积是一个向量，向量加、减、数乘运算的结果是向量( )(2)已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为.( )(3)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角( )2对平面向量的数量积的性质、运算律的理解(4)ab0，则a0或b0.( )(5)(ab)ca(bc)( )(6)abac(a0)，则bc.( ) 考点一平面向量数量积的运算【例1】 (1)已知a(1,2)，2ab(3,1)，则ab()A2 B3 C4 D5(2) 设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若ae13e2，b2e1，则向量a在b方向上的射影为_规律方法 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用【训练1】 (1)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件(8ab)c30，则x()A6 B5 C4 D3(2) 已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_考点二向量的夹角与向量的模【例2】 (1)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_(2) 已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|_.【训练2】 (1)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.(2) 若平面向量a，b满足|a|1，|b|1，且以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为，则a和b的夹角的取值范围是_考点三平面向量的垂直问题【例3】 已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0)(1)求证：ab与ab互相垂直；(2)若kab与akb的模相等，求(其中k为非零实数)规律方法 (1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明ab，则只需证明ab0x1x2y1y20.(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明ab0.(3)数量积的运算ab0ab中，是对非零向量而言的，若a0，虽然有ab0，但不能说ab.【训练3】 已知平面向量a(，1)，b.(1)证明：ab；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使ca(t23)b，dkatb，且cd，试求函数关系式kf(t) 教你审题5数量积的计算问题【典例】 )在矩形ABCD中，设AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的取值范围是_【自主体验】如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_基础巩固题组一、选择题1向量a(1,2)，b(0,2)，则ab()A2 B(0,4) C4 D(1,4)2在边长为2的菱形ABCD中，BAD120，则在方向上的投影为()A. B. C1 D23已知向量a(，1)，b(0,1)，c(k，)若a2b与c垂直，则k()A3 B2 C1 D14若非零向量a，b满足|a|b|，且(2ab)b0，则向量a，b的夹角为()A. B. C. D.5在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为()A. B2 C5 D10二、填空题6已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_.7在平面直角坐标系xOy中，已知(3，1)，(0,2)若0，则实数的值为_8.如图，在ABC中，O为BC中点，若AB1，AC3，60，则|_.三、解答题9已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.10已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；能力提升题组一、选择题1若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|a|，则向量ab与a的夹角为()A. B. C. D.2在ABC中，设222，那么动点M的轨迹必通过ABC的()A垂心 B内心 C外心 D重心二、填空题3设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye