《相平面分析》PPT课件.ppt

非线性系统分析 Nonlinear Systems Analysis 北京理工大学自动化学院,2.1 相平面的基本概念 2.2 相轨迹的绘制方法 2.3 奇点与极限环 2.4 线性系统的相轨迹 2.5 非线性系统的相平面分析,第二章 相平面分析,方法背景及应用,相平面法由庞加莱1885年首先提出。该方法通过图解法将一阶和二阶系统的运动过程转化为位置和速度平面上的相轨迹，从而比较直观、准确地反映系统的稳定性、平衡状态和稳态精度以及初始条件及参数对系统运动的影响。相轨迹的绘制方法步骤简单、计算量小，特别适用于分析常见非线性特性和一阶、二阶线性环节组合而成的非线性系统,相平面法概述,相平面法是一种求解一、二阶常微分方程的图解法,即二维状态空间法。这种方法的实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动, 通过研究这个点移动的轨迹, 就能获得系统运动规律的全部信息.,相平面法可以用来分析一、二阶线性或非线性系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精度以及初始条件和参数对系统运动的影响.,式中, 是 的线性或非线性函数.,设二阶系统的常微分方程如下：,2.1 相平面法的基本概念,由微分方程的理论可知，只要 是解析的，那么在给定的初始条件下，方程的解是唯一的。这个唯一的解可以写成时间解的形式x(t), 也可以写成以t为参变量的形式，用 来表示。,方程的解,3.相平面图：相平面及其上的相轨迹族组成的图形称为系统 的相平面图。它表示系统在各种初始条件下的 运动过程。,2.相平面: 平面称为相平面。对于一个系统，初始条件 不同时，其方程的解也不同。因而针对不同的初始条件，可以绘出不同的相轨迹。若以各种可能的状态作为初始条件，则可得到一组相轨迹族。,1.相轨迹：如果我们取 x 和 作为平面的直角坐标，则 系统在每一时刻的 均相应于平面上的一点。当 t 变化时，这一点在 平面上将绘出一条相应的轨迹-相轨迹。它描述系统的运动过程。,二阶系统微分方程： 两个独立变量： 位置量 速度量 构成相平面 为相变量。给定初始条件 相变量 在相平面上的 运动坐标轨迹称为相轨迹。,相平面分析方法:,由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过程，因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分析：,3）稳态误差。,下面举二个例子进行说明：,1）系统的稳定性；,2）瞬态响应性能；,例2-1.设系统的微分方程为：,图中的箭头表示系统的状态沿相轨迹的移动方向。,其相平面图如右图所示（绘制方法在下节介绍）,相平面图,（1）在各种初始条件下（任意一条相轨迹），系统都趋向原点（0,0）,说明原点是系统的平衡点，系统是稳定的。,由图可知：,可将其状态转化为转化 为时间响应曲线x(t)来验证如图所示,（2）如果初始条件为：x(0)=1， 。则相应的相轨迹为ABCDE0。系统的瞬态响应为阻尼振荡形式，最大超调量为p，稳态误差为零。,一、相轨迹的共同特性,1.相轨迹的对称性,相轨迹的对称性可以从对称点上相轨迹的斜率来判断。,2.2 相轨迹的绘制方法,即 是 的偶函数 -相轨迹对称于 x 轴的条件。,1）若相轨迹对称于x轴。则在所有的对称点 和 上，相轨迹的斜率应大小相等，符号相反。即：,相轨迹对称于x轴,2) 若相轨迹对称于 轴，则：,相轨迹对称于 轴,即 是 的奇函数 -相轨迹对称于 轴的条件。,相轨迹对称于原点,2.相平面上的奇点,这样的点称为普通点。通过普通点的相轨迹只有一条。（即相轨迹曲线不会在普通点相交）,若相平面中的某点，同时满足 ,则该点相轨迹的斜率 ,为不定值，这类特殊点称为奇点。通过奇点的相轨迹不止一条，它是相轨迹曲线的交点。,由相轨迹的斜率方程 可知,相平面上的点 只要不同时满足 ,则该点相轨迹的斜率是唯一确定的。,二阶线性系统：奇点是唯一的，位于原点。 二阶非线性系统：奇点可能不止一个。,例： 二阶系统 作出该系统的相平面图。 解： 因为 斜率方程 初值（0, 10）和（0, -10）。,二、解析法作图 方程不显含 时，采用一次积分法得相轨迹方程作图 方程为 因为 代入方程 两边一次积分，得相轨迹方程,例： 二阶系统为 作相平面图。 解 方程不显含 ，由解析法有 一次积分 相轨迹方程为椭圆方程,三、绘制相平面图的图解法,当用解析法求解微分方程比较困难，甚至不可能时，可采用图解法绘制相平面图。它有：,下面介绍等倾线法:,原理：任一曲线都可以用一系列足够短的折线来近似，如果我们能用简便的方法求得相平面中任意一点相轨迹的斜率，就能画出通过该点相轨迹的切线，并用它来近似该点及其附近的相轨迹曲线。如果点取得足够密，就能用一系列的切线来近似相轨迹曲线了。,（2）园弧近似法(略),（1）等倾线法,等倾线法作图步骤：,1）首先画出等倾线-确立相平面中相轨迹斜率的分布；,等倾线：在相平面中，相轨迹斜率相等的点的连线,即 等倾线应满足方程：,由前述可知，相轨迹的斜率方程为：,2）从初始条件开始，用连续的切线段来近似画出相轨迹曲线。,注意：两等倾线之间用其平 均值来表示相轨迹。,若给定系统参数： =0.5, =1.,取不同的 值，求得等倾线如右图所示：,若给定初始条件为A,则可作出相轨迹为ABCDE .,等倾线和相轨迹,可见，等倾线为过原点、斜率为 的直线。,所有通过等倾线的相轨迹都有相同的斜率,用等倾线绘制相轨迹时，必须注意以下几点： 1、为使导数 等于轨迹的几何斜率，必须对相平面上的 轴和 轴采用相同的坐标比例。 2、相平面上，当 时，相轨迹的走向应沿着 增加的方向由左向右；当 时，相轨迹的走向应沿着 减少的方向自右向左。 3、绘图时可利用相轨迹的对称性减少作图的工作量。 4、在斜率变化很快的区域，必须画出更多的等倾线，以期改善作图的精确程度。,注意：,1）等倾线法在作图过程中会产生积累误差。一般来说,等倾线越密，则近似程度越好。但等倾线过密，绘图条数增多，致使积累误差加大。所以，一般间隔510画一条等倾线较合适。,2）为减少作图误差，可事先在等倾线上画好表示切线 方向的平行短线，然后从初始状态开始逐步仔细地将它们联成光滑的相轨迹曲线。,3）一般，线性系统的等倾线是直线。因此用等倾线法 比较方便。非线性系统的等倾线则有可能是曲线,甚至是比较复杂的图形-不适用于等倾线法。,由前述可知，奇点是相平面中斜率不确定的点，即有多条相轨迹以不同的斜率通过或逼近该点。,所以奇点是平衡点。奇点及临近的相轨迹反映了系统的稳定性问题。,一、奇点,2.3 奇点与极限环,二、线性系统的奇点与相轨迹,由线性理论可知，系统的特征根不同，则其稳定性及瞬态响应性能不同。在相平面中则表现为相轨迹的形状和奇点性质不同。,可见，原点为奇点或稳定点。,奇点邻域的运动性质 由于在奇点上，相轨迹的斜率不定， 所以可以引出无穷条相轨迹。 相轨迹在奇点邻域的运动可以分为 1.趋向于奇点 2.远离奇点 3.包围奇点,二阶线性系统自由运动的微分方程：,当b0，可表为,特征根,相轨迹微分方程,则等倾线方程为,(k为等倾线的斜率),当,可得满足k=的两条特殊等倾线，其斜率为,令,具有两个互异负实根，相轨迹趋于原点，该奇点称为稳定节点。,具有两个正实根，相轨迹远离原点，该奇点为不稳定节点。,具有一对负实部的共轭复根， 相轨迹振荡趋于原点， 该奇点为稳定焦点。,具有一对正实部的共轭复根，相轨迹振荡远离原点，为不稳定焦点。,具有一对纯虚根，相轨迹为同心圆，该奇点为中心点。,b0,系统特征根一正一负，相轨迹先趋向于然后远离原点，称为鞍点。,节点,稳定焦点,中心,不稳定节点,不稳定焦点,鞍点,根与相轨迹,极点分布,奇点,相迹图,中心点,稳定的 焦点,稳定的 节点,鞍 点,不稳定 的焦点,不稳定 的节点,三、非线性系统的奇点,再用线性方程来讨论相轨迹的形状和奇点的性质。,设：奇点为 ， 线性化为 即：,只要 是解析的，总可以将方程在奇点附近线性化。,非线性系统的方程如下： 试画出系统的相平面图。,解：式中,由 求得系统的奇点为：,在奇点（0,0）附近，线性化方程为：,即：,式中阻尼比： ，则奇点(0,0)为稳定焦点。,在奇点（-2,0）附近，令y=x+2，则方程变为：,在 这一点附近，方程线性化为：,可知，奇点（-2,0）为鞍点。,由以上两种奇点类型的相平面图结合起来，可以画出系统相平面图的大致形状,如下图所示。,四、极限环,极限环对应于非线性系统特有的自振荡现象,它 描述了自振荡的振幅和频率.,所谓孤立的封闭轨迹,是指它临近的相轨迹都不 是封闭的.它们或是趋向于极限环,或是远离极限环.,在相平面图中,极限环是孤立的封闭轨迹.,将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域的特殊相轨迹，称为奇线。,非线性系统的极限环情况比较复杂，不同的系统会有不同形式的极限环。,1.稳定极限环,特点:极限环内外的相轨迹都卷向极限环,自振荡 是稳定的. 环内:不稳定区域,相轨迹发散 环外:稳定区域,相轨迹收敛,稳定极限环,如果系统具有这种极限环，且极限环不超过允许 的范围，则可以认为系统是稳定的。设计时应尽量减 少极限环的大小,以满足准确度的要求。,2.不稳定极限环,特点:极限环内外的相轨迹都卷离极限环,环内:稳定区域,相轨迹收敛 环外:不稳定区域,相轨迹发散 这种系统是小范围稳定,大范围不稳定.设计时 应尽量增大稳定区域(即增大极限环).,不稳定极限环,3.半稳定的极限环,环内,环外都不稳定.,具有这种极限环的系统是不会产生自振荡的,系 统的状态最终是发散的。,a),半稳定的极限环,环内,环外都是稳定的. 具有这种极限环的系统也不会产生自振荡的,系 统的状态最终是趋向于环内的稳定奇点。.,b),半稳定的极限环,注意：,在非线性系统中，可能没有极限环，也可能 具有一个或几个极限环。在进行一般系统设计时， 应尽量避免产生极限环。如不可能避免时，应尽 量缩小稳定的极限环，或加大不稳定的极限环。,振荡器是具有稳定极限环的非线性系统的典型例子。,相平面图分析 1、作出系统的相平面图。对于具有间断特性的非线性系统，一般表示为数学上的分区作用，因此，在相平面上的相轨迹也是分区作出的。 2、分析系统的稳定性。由分区穿越的各段构成的相轨迹，最终是收敛还是发散。 3、分析系统是否具有极限环。 4、可以参考线性系统的性能指标来考虑该非线性系统的调节时间与超调量等。,系统如图 其中T,K为正实数.,由图写出系统的微分方程：,（在相平面分析法中，一般皆分析误差函数）,以c=r-e代入，即可写出以误差e为变量的二阶微分方程：,初始状态为静止,即:,线性系统,2.4 线性系统的相平面分析,1. 阶跃响应性能分析,（1）一对负实部的共轭复根,奇点为稳定焦点，相轨迹及时间解如下：,欠阻尼时的相轨迹及时间解,(2)两个不等的负实根,响应性能：(a),(b)与前同; (c)响应是单调衰减的。,过阻尼时的相轨迹及时间解,2. 斜坡响应性能分析,分析后可知，相轨迹与阶跃输入时相同，只是向右移动了 一段距离。,与阶跃响应的差异：（1）奇点位置，初始状态不同; （2）稳态误差为 .,斜坡输入时的相轨迹,3. 脉冲响应性能分析,下面求初始条件：,相轨迹如下：,结论：,脉冲输入时的相轨迹,a).欠阻尼,b).过阻尼,对于分段线性的非线性系统来说，相平面分析法的 步骤为：,（1）用n条分界线（开关线，转换线）将相平面分成n个线性区域；,（2）分别写出各个线性区域的微分方程；,（3）求出各线性区的奇点位置并画出相平面图；,（4）将各相邻区的相轨迹联成连续曲线-非线性系统的相轨迹。,2.5 非线性系统的相平面分析,关于奇点：,（2）当奇点位于本线性区域之内-实奇点； 当奇点位于本线性区域之外-虚奇点；该区域的相轨迹永远不能到达此点；,下面分析几种具有典型非线性特性的控制系统：,（3）二阶非线性系统只可能有一个实奇点。,（1）每个线性区有一个奇点；,1.具有非线性增益的系统,采用非线性增益的优点： 使系统的响应速度较快， 而超调和振荡都比较小。,具有非线性增益的系统,为了改善系统的性能，一般选用较大的K值和适当的k值，使得：,当 时，为满足快速性要求，应使系统为欠阻尼,即:,当 时，为减小超调，应使系统为临界阻尼以致过阻尼,即:,(1)阶跃响应分析,再将两个区的相轨迹联成连续曲线，当输入信号 幅值 R 较大时，相轨迹曲线为,区的相轨迹,稳态时，系统皆不存在稳态误差。,由上可知，响应特性与阶跃输入的幅值有关。,相轨迹及响应曲线如下图所示：,图8-42 具有非线性增益的系统在阶跃输入下的相轨迹及响应曲线,（2）斜坡响应分析,区的相轨迹,输入信号：,注意：奇点 的具体位置与输入信号幅值 有关，它 可以用图解法求得。,区的相轨迹,作法：在非线性特性图中， 作水平线： 该直线与m=ke相交点 的e值即为 的e值。 该直线与m=e相交点 的e值即为 的e值。,求奇点 的图解法,下面分几种情况来讨论：,较小时的奇点位置及相轨迹图,增大时的奇点位置及相轨迹图,结论：非线性系统的响应特性与输入信号的大小有关。,图8-48 较大时的奇点位置及相轨迹图,2.继电型控制系统,（1）理想继电特性系统如下图所示：,继电型控制系统,系统初始为静止状态：,系统的微分方程为：,对于阶跃输入信号：,注意：上两个方程都不是前述的典型二阶系统的方程。因此，我们有必