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文档简介

第一节 线性变换的概念,设V是数域K上的一个线性空间. V到自身的映射称为V的一个变换. 线性变换是线性空间的一种基本变换.,一 映射与变换,设 M 与M是两个集合，集合M到M 的一个映射，是指一个法则, 根据这个法则，对于M中每个元素，都有M中一个确定的元素 与之对应，记为,定义8.1,称为在映射 下的象，而 称为的一个原象.,例1 M=(, +) , N=1, 1, 则,是M到N的一个映射.,例2 M是全体实n阶方阵的集合, P是实数集, 则,是M到P的一个映射.,这是Pnx到自身的一个映射.,例3 Rn是n维向量空间, 则,是到自身的映射. 其中A为n阶满秩方阵.,例4 Pnx是次数小于n次多项式的全体(包括零次多项式)组成的集合, 则,二 线性变换的概念,一元方程ax=b及非齐次方程组Ax=b的共同点:,对函数f(x)=ax, 可视为从实数集(M)到实数集(N)的映射.,实质: 在N中给定一个元素b, 能否在M中找到一个元素(x), 使f(x)=ax=b. f 满足,方程组Ax=b中, g(x)=Ax是Rn到Rn的映射, Ax确定了一个变换.,方程组的实质: 给定一个向量b, 能否找到一个原象x(可能不止一个), 使在变换g下映射为b.,定义,且满足,设V是K上的一个线性空间, T为V内的一个变换(即V到自身的一个映射), 若满足,则称T是线性空间V中的一个线性变换.,例1 区间(a, b)内全体任意次可微的实函数集合D0(a, b)关于普通函数的加法与实数的乘法构成一个实数域上的线性空间. 在集合D0(a, b)上的变换,是一个线性变换.,例2 在线性空间C0, 1中的变换,是线性变换.,例3 线性空间V中的任意元都与零元对应的变换称为零变换, 即,恒等变换,都是线性变换.,三 线性变换的简单性质,设T是线性空间V上的线性变换.,1. T(0)=0, T()= , V.,2. 线性变换把线性组合变成同样的线性组合.,即如果=k11+k22+krr, 则,T()=k1T(1)+k2T(2)+krT(r).,3. 若1, 2, , r线性相关, 则T(1), T(2), , T(r)亦线性相关.,性质3的逆命题不成立. (零变换),四 线性变换的代数运算,定义 设T1, T2为线性空间V中的两个线性变换,1. 定义T1的T2和T1+T2为,(T1+T2)()= T1()+ T2 () V,2. 定义数量k与T的数乘kT为,(kT)()=kT() V , kK,3. 定义T1与T2的乘积T1T2为,(T1T2)()= T1(T2 () ) V,定理1.1 设T1, T2是V中两个线性变换, 则T1+T2, kT1, T1T2都是线性变换.,线性变换的乘法满足结合律, 不满足结合律.,定义 如果对V中的线性变换T, 存在V中线性变换S, 使得,TS=ST=I,称S为T的逆变换, 此时称T是可逆线性变换.,同矩阵相同, 并不是任何线性
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