2018_2019学年高中数学第一章三角函数第2节任意角的三角函数（第2课时）三角函数及其应用教案.docx

第2课时三角函数及其应用 核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P15P17的内容，回答下列问题(1)观察教材P16的图1.27，有向线段MP，OM，AT的方向是如何规定的？提示：当方向与x轴或y轴的方向一致时，则有向线段MP，OM，AT的方向为正；当方向与x轴或y轴的方向相反时，则有向线段MP，OM，AT的方向为负(2)观察教材P16的图1.27，你认为sin ，cos ，tan 与有向线段MP，OM，AT有什么关系？提示：|sin_|MP|，|cos_|OM|，|tan_|AT|.2归纳总结，核心必记(1)有向线段带有方向的线段，叫做有向线段(2)三角函数线图示正弦线的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线余弦线有向线段OM即为余弦线正切线过A(1,0)作x轴的垂线，交的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段AT即为正切线问题思考(1)三角函数线的长度等于三角函数的值吗？提示：不等于，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值(2)三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗？提示：能，当三角函数线与x轴(或y轴)正向同向时，所表示三角函数值为正的，与x轴(或y轴)正向反向时，所表示三角函数值为负的课前反思(1)有向线段的概念： ；(2)三角函数线的概念及作法： .知识点1作已知角的三角函数线讲一讲1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线(1)；(2)；(3).尝试解答如图其中MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线类题通法三角函数线的作法步骤(1)作直角坐标系和角的终边(2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A.(3)过点P作x轴的垂线，垂足为M.(4)过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T.(5)有向线段MP，OM，AT即分别为角的正弦线，余弦线和正切线练一练1作出的正弦线、余弦线和正切线解：如图所示，的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.知识点2利用三角函数线解简单不等式讲一讲2在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合(1)sin ；(2)cos .尝试解答(1)如图所示，作直线y交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(阴影部分)即为角的终边的范围故满足条件的角的集合为.(2)如图所示，作直线x交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(阴影部分)即为角的终边的范围故满足条件的角的集合为.类题通法利用三角函数线解简单不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sin xb，cos xa(或sin xb，cos xa)，只需作直线yb，xa与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围；对于tan xc(或tan xc)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得练一练2利用三角函数线，求满足下列条件的的范围(1)sin ；(2)cos .解：(1)如图，过点作x轴的平行线交单位圆于P，P两点，则sinxOPsinxOP，xOP，xOP，故的范围是.(2)如图，过点作x轴的垂线与单位圆交于P，P两点，则cosxOPcosxOP，xOP，xOP，故的范围是.知识点3利用三角函数线比较大小讲一讲3(1)下列关系式中正确的是()Asin 10cos 10sin 160Bsin 160sin 10cos 10Csin 10sin 160cos 10Dsin 160cos 10sin 10(2)设asin，bcos，ctan，则a，b，c的大小顺序排列为_尝试解答(1)由三角函数线知，sin 160sin 20sin 10，而cos 10sin 20，所以选C.(2)由如图的三角函数线知：M1P1MPAT，因为，所以MPOM，所以cossintan，所以bac.答案：(1)C(2)bac类题通法(1)利用三角函数线比较大小的步骤角的位置要“对号入座”；比较三角函数线的长度；确定有向线段的正负(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向练一练3比较sin 1 155与sin(1 654)的大小解：先化为0360范围内的角的三角函数：sin 1 155sin(336075)sin 75，sin(1 654)sin(5360146)sin 146.在单位圆中，分别作出表示sin 75和sin 146的正弦线M2P2，M1P1(如图)因为M1P1sin(1 654)课堂归纳感悟提升1本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小问题，难点是对三角函数线概念的理解2本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题(1)三角函数线的画法，见讲1；(2)利用三角函数线解简单不等式，见讲2；(3)利用三角函数线比较大小，见讲3.3理解三角函数线应注意以下四点(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；(2)方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与的终边(或其延长线)的交点；(3)正负：三条有向线段中与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值；(4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后课下能力提升(四)学业水平达标练题组1作已知角的三角函数线1角和角有相同的()A正弦线 B余弦线C正切线 D不能确定解析：选C在同一坐标系内作出角和角的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等2如果MP，OM分别是角的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是()AMPOM0 BMP0OM0 DOMMP0解析：选D在单位圆中作出的正弦线和余弦线，如图所示由图可知，OMMP0.3角(0cos 成立的的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C如图所示，OP是角的终边，则sin MP，cos OM.当时，恒有MPOM；而当时，则有MPsin ，利用三角函数线得角的取值范围是_解析：因为cos ，所以cos sinsin ，利用三角函数线易知角的取值范围是(kZ)答案：(kZ)6求函数f(x)ln的定义域解：由题意，得自变量x应满足不等式组即则不等式组的解的集合如图阴影部分所示，所以所求定义域为.题组3利用三角函数线比较大小7若是第一象限角，则sin cos 的值与1的大小关系是()Asin cos 1 Bsin cos 1Csin cos 1 D不能确定解析：选A如图，角的终边与单位圆交于P点，过P作PMx轴于M点，由三角形两边之和大于第三边可知sin cos 1.8若，则sin ，cos ，tan 的大小关系是()Asin tan cos Btan sin cos Ccos sin tan Dsin cos tan 解析：选D如图，在单位圆中，作出内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线由图知，|OM|MP|AT|，考虑方向可得sin cos tan .9sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是()Asin 1sin 1.2sin 1.5Bsin 1sin 1.5sin 1.2Csin 1.5sin 1.2sin 1Dsin 1.2sin 1sin 1.5解析：选C如图，易知011.21.5，|MA|NB|QC|，且MA，NB，QC同向，sin 1sin 1.2sin 1.5.10试利用单位圆中的三角函数线证明当0时，sin tan .证明：如图，单位圆与的终边OP相交于P点，过P作PMx轴，垂足为M，连接AP，过单位圆与x轴正半轴的交点A作AT x轴交OP于T，则sin MP，l，tan AT，由S扇形OAPSOAT，即OAlOAAT，所以lAT.又MPPAl，因此MPlAT.即sin tan .能力提升综合练1如果MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是()AMPOM0 BOM0MPCOMMP0 DMP0OM解析：选D如图所示，正弦线为MP，余弦线为OM，结合图象，可知：MP0，OM0，故OM0MP.2已知角的正切线是单位长度的有向线段，那么角的终边()A在x轴上B在y轴上C在直线yx上D在直线yx，或yx上解析：选D由题意可知，如图，|AT|1，AT1.则tan 1，角的终边在直线yx上，故选D.3设asin(1)，bcos(1)，ctan(1)，则有()Aabc BbacCcab Dacb解析：选C如图作出角1 rad的正弦线、余弦线及正切线，显然bcos(1)OM0，ctan(1)asin(1)0，即cab.4如果cos cos ，则角与的终边除可能重合外，还有可能()A关于x轴对称 B关于y轴对称C关于直线yx对称 D关于原点对称解析：选A利用单位圆中的余弦线解题易知A正确5若02，且sin ，cos .利用三角函数线，得到的取值范围是_解析：利用三角函数线得的终边落在如图所示AOB的区域内，所以的取值范围是.答案：6函数y的定义域为_解析：2cos x10，cos x.作直线x交单位圆于P，P，连接OP，OP，如图，所以满足条件的集合为x2kx2k，kZ.该函数的定义域为(kZ)答案：(kZ)7利用三角函数线写出满足下列