2018_2019学年高中数学第二章平面向量第5节平面向量应用举例教案（含解析）新人教A版.docx

2.5平面向量应用举例核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P109P112的内容，回答下列问题(1)利用向量方法可以解决平面几何中的哪些问题？提示：距离、夹角等问题(2)利用向量方法可以解决物理中的哪些问题？提示：可以利用向量解决与力、位移、速度有关的问题2归纳总结，核心必记(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系(2)向量在物理中的应用物理问题中常见的向量有力、速度、位移等向量的加减运算体现在一些物理量的合成和分解中动量mv是向量的数乘运算功是力F与位移s的数量积问题思考用向量解决几何问题时，有时需要选择合适的基底，你知道怎样选择合适的基底吗？提示：所选择基向量的长度和夹角应该是已知的课前反思(1)平面向量在平面几何中的应用： ；(2)平面向量在物理中的应用： .知识点1平面几何中的平行、垂直问题讲一讲1.如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DPEF.尝试解答法一：设正方形ABCD的边长为1，AEa(0a1)，则EPAEa，PFEB1a，APa，()()1acos 1801(1a)cos 90aacos 45a(1a)cos 45aa2a(1a)0.，即DPEF.法二：设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，所以(x，x1)，(1x，x)，由于x(1x)x(x1)0，所以，即DPEF.类题通法(1)向量法证明平面几何中ABCD的方法：方法一：选择一组向量作基底；用基底表示和；证明的值为0；给出几何结论ABCD.方法二：先求，的坐标，(x1，y1)，(x2，y2)，再计算的值为0，从而得到几何结论ABCD.(2)用向量法证明平面几何中ABCD的方法：方法一：选择一组向量作基底；用基底表示和；寻找实数，使，即；给出几何结论ABCD.方法二：先求，的坐标，(x1，y1)，(x2，y2)利用向量共线的坐标关系x1y2x2y10得到，再给出几何结论ABCD.以上两种方法，都是建立在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才有得到ABCD.练一练1已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AEFCAC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形证明：设a，b，则aba，bba，所以，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形.知识点2平面几何中的长度问题讲一讲2已知RtABC中，C90，设ACm，BCn.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CDAB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)尝试解答(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)D为AB的中点，D，|，| |，| |，即CDAB.(2)E为CD的中点，E，设F(x,0)，则，(x，m)A，E，F三点共线，.即(x，m).则故，即x，F，|，即AF.类题通法利用向量法解决长度问题的策略向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a(x，y)，则|a|.练一练2如图，平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2，求对角线AC的长解：设a，b，则ab，ab，而|ab|2，52ab4，ab，又|2|ab|2a22abb2142ab6，|，即AC.知识点3向量在物理中的应用讲一讲3在风速为75()km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向尝试解答设风速，va有风时飞机的航行速度，vb无风时飞机的航行速度，vbva.如图所示设| |va|，|，|vb|，作ADBC，CDAD于D，BEAD于E，则BAD45.设| |150，则|75()|75，|75.从而|150，CAD30.|vb|150，即没有风时飞机的航速为150 km/h，方向为北偏西60.类题通法利用向量法解决物理问题的步骤(1)抽象出物理问题的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题练一练3已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数0.02的水平面上运动了20 m问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g取10 m/s2)解：如图所示，设木块的位移为s，则WFFs|F|s|cos 305020500(J)将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|F|sin 305025(N)，所以摩擦力f的大小为|f|(GF1)|(8025)0.021.1(N)，因此Wffs|f|s|cos 1801.120(1)22(J)即F和f所做的功分别为500 J和22 J.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是平面向量在平面几何中的应用，难点是平面向量在物理中的应用2要掌握平面向量的应用(1)利用平面向量解决平面几何中的平行、垂直问题，见讲1；(2)利用平面向量解决平面几何中的长度问题，见讲2；(3)平面向量在物理中的应用，见讲3.课下能力提升(二十一)学业水平达标练题组1平面向量在平面几何中的应用1已知直线l与x，y轴分别相交于点A，B，2i3j(i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量)，则直线l的方程是()A3x2y60 B3x2y60C2x3y60 D2x3y60解析：选B由于i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量，所以(2，3)，而A，B分别在x轴，y轴上，可得A(2,0)，B(0，3)，由此可得直线l的方程为3x2y60.2在四边形ABCD中，且| |，那么四边形ABCD为()A平行四边形 B菱形C长方形 D正方形解析：选B由知四边形ABCD为平行四边形，由| |知ABCD的邻边相等，四边形ABCD为菱形3已知非零向量与满足0，且，则ABC为()A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形解析：选D是向量，方向上的两个单位向量的和，它在A的平分线上，由0，知此三角形为等腰三角形，再由知A为60，故此三角形为等边三角形4如图所示，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足为E，则ED_.解析：以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，)，C(3，)，D(3,0)，(3，)，设，则E的坐标为(3，)，故(3，)因为BEAC，所以0，即9330，解得，所以E.故，|，即ED.答案：5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点求证：AFDE(利用向量证明)证明：设a，b，则ab，ba，b2a2ab.又，且| |，a2b2，ab0，0，即AFDE.题组2向量在物理中的应用6人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()Av1v2 Bv1v2C|v1|v2| D.解析：选B由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量7一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前行进60 m，若纤绳与行进方向夹角为30，纤夫的拉力为50 N，则纤夫对船所做的功为_J.解析：所做的功W6050cos 301 500 J.答案：1 5008在水流速度为4 km/h的河水中，一艘船以12 km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘船的航行速度的大小与方向解：如图所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸行驶的速度，以为一边，为一对角线作ABCD，则就是船的航行速度| |4，|12，|8，tan ACB，CADACB30，BAD120.即船的航行速度的大小为8 km/h，方向与水流方向的夹角为120.能力提升综合练1设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，ac，|a|c|，则|bc|的值一定等于()A以a，b为邻边的平行四边形的面积B以b，c为两边的三角形的面积C以a，b为两边的三角形的面积D以b，c为邻边的平行四边形的面积解析：选A假设a与b的夹角为，|bc|b|c|cosb，c|b|a|cos(90)|b|a|sin ，即为以a，b为邻边的平行四边形的面积2如图，ABC的外接圆的圆心为O，AB2，AC3，则等于()A. B.C2 D3解析：选B()，因为OAOB，所以在上的投影为| |，所以| | |2，同理|，故2.3已知ABC满足2，则ABC是()A等边三角形 B锐角三角形C直角三角形 D钝角三角形解析：选C由题意得，2()2，0，ABC是直角三角形4已知一物体在共点力F1(lg 2，lg 2)，F2(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为()Alg 2 Blg 5 C1 D2解析：选DW(F1F2)s(lg 2lg 5,2lg 2)(2lg 5,1)(1,2lg 2)(2lg 5,1)2lg 52lg 22.5已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|，则_.解析：由弦长|AB|，可知ACB60，|cosACB.答案：6三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设a，b，c，判断ABC的形状解：由题意得|a|b|c|，由于在合力作用下物体做匀速运动，故合力为0，即abc0.所以acb.如图，作平行四边形APCD，则其为菱形因为acb，所以APC120.同理，APBBPC120.又因为|a|b|c|，所以ABC为等边三角形7.如图，已知直角梯形ABCD中，ADAB，AB2AD2CD，过点C作CEAB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：(